人教A版高中数学选择性必修三7.1.1第2课时-条件概率的性质及应用-同步练习
1．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.8，P(B)＝0.3，则P(A|B)等于( )
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
2．下列式子成立的是( )
A．P(A|B)＝P(B|A)
B．0
C．P(AB)＝P(A)P(B|A)
D．P(A∩B|A)＝P(B)
3．(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则( )
A．P(AB)＝ B．P(AB)＝
C．P(B)＝ D．P(B)＝
4．某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为( )
A．1.98% B．0.98% C．97.02% D．99%
5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
6．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则P(|A)等于( )
A. B. C. D.
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.
8．已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(BC)＝，P(A∪B|C)＝，则P(A|C)＝________.
9．已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．
10.已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
11．(多选)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B：“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是( )
A．事件A包含80个样本点
B．P(A)＝
C．P(AB)＝
D．P(B|A)＝
12．(多选)某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是( )
A．第一次就接通电话的概率是
B．若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是
C．拨号不超过三次接通电话的概率是
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话的概率是
13．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
14．将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的序号是________．
①“至少出现一个1点”的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91；
②三个点数都不相同的样本点数为A＝120；
③P(A|B)＝；
④P(B|A)＝.
15．近年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店(外卖店的编号分别为1,2，…，r，其中r≥3)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余r－1个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r－1个外卖店取单．设事件Ak表示“第k次取单恰好是从1号店取单(k∈N*)”，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)＝1，P(A2)＝0，则P(A3)＝________，P(Ak＋1)与P(Ak)的关系式为__________________．
16．在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
参考答案与详细解析
1．B [因为事件A，B相互独立，所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)＝0.8.]
2．C [由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．]
3．AC [P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，
由P(A|B)＝，
得P(B)＝＝×2＝.]
4．A [设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮疹”，
则P(A)＝2%，P(B|A)＝99%，所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝2%×99%＝1.98%.]
5．A [记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，
则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.95
＝0.665.]
6．D [由题意知，因为n(A)＝C·C＋1＝7，
n(AB)＝6，
所以P(|A)＝1－P(B|A)＝1－
＝1－＝.]
7．0.65 0.3
解析 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)
＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；因为A，B相互独立，
所以P(A|B)＝P(A)＝0.3.
8.
解析 由题意知，
P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)＝，
P(B|C)＝＝＝，
则P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝－＝.
9．解 设事件Ai表示“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，
P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得
P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
10．解 用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B＝B，C＝.
P(A)＝；
P(B)＝P(B)＝P()P(B|)＝×＝；
P(C)＝P()＝P()P(|)＝×＝.
因为P(A)＝P(B)＝P(C)，所以中奖的概率与抽奖的次序无关．
11．BC [事件A包含A＋CCA＝78(个)样本点，故A错误；
P(A)＝＝＝，故B正确；
P(AB)＝＝＝，故C正确；
P(B|A)＝＝＝，故D错误．]
12．ACD [设Ai表示“第i次接通电话”，i＝1,2,3，…，10；B表示“拨号不超过3次接通电话”．
由题意，知P(A1)＝，选项A正确；
若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，选项B错误；
事件B＝A1∪A2∪A3，
则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋×＋××＝，选项C正确；
若已知最后一位数字是奇数，
则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋×＋××＝，选项D正确．
13．BD [因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；
因为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
所以P(B)＝＝＝，
故B正确；
同理P(B|A2)＝＝＝，
P(B|A3)＝＝＝，
所以P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝，故A错误；
因为P(BA1)＝×＝，P(B)·P(A1)＝×＝，所以P(BA1)≠P(B)·P(A1)，故C错误．]
14．①②③
解析 根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个1点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个1点”的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”即只有一个1点，共C×5×4＝60(种)，所以P(A|B)＝；P(B|A)的含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个1点”的概率，三个点数都不相同的样本点数为A＝120，所以P(B|A)＝＝.
15. P(Ak＋1)＝[1－P(Ak)]
解析 根据题意，事件A3表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，
因此P(A3)＝P(A3)＝P()P(A3|)＝[1－P(A2)]＝；
同理P(Ak＋1)＝P(Ak＋1)
＝P()P(Ak＋1|)
＝[1－P(Ak)]·P(Ak＋1|)
＝[1－P(Ak)].
故P(A3)＝；
P(Ak＋1)＝[1－P(Ak)].
16．解 记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，
可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故获得优秀成绩的概率为.人教A版高中数学选择性必修三7.1.1第1课时-条件概率-同步练习
1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学不放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. B. C. D．1
3．在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A.， B.，
C.， D.，
5．袋子中有5个大小和质地完全相同的球，其中2个红球，3个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知第一次摸到的是红球，那么第二次摸到绿球的概率为( )
A. B. C. D.
6．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1 000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为( )
A．0.324 B．0.39 C．0.4 D．0.54
7．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为________．
8．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地激发了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为________．
9．已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个．
(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率．
10．盒内装有两种(E型和F型玻璃球)除颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
11．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是，连续二次遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为( )
A. B. C. D.
12．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
13．如图，地面上现有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率是( )
A. B. C. D.
14．2022年6月3日是中国的传统节日“端午节”，这天人们会吃粽子、赛龙舟．现有七个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)＝________.
15．某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有四个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，同时有4个需要帮助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件A＝“4个志愿者小组去的养老院各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个养老院”，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
16．盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色．假设是红色，那么剩下的一面也是红色的概率是多少？
考察下面的解法：
随意从三张卡片中抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的这张展示的一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是.
好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是.所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是.这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是.
肯定什么地方出错了．
请问：上述解法中，哪里出现错误呢？
参考答案与详细解析
1．D [由条件概率的计算公式，可得
P(A|B)＝＝＝.]
2．B [因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.]
3．A [设事件A为“数学不及格”，事件B为“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝0.2.所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2.]
4．C [P(A|B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝.]
5．D [已知第一次摸到的是红球，则还有4个球，其中1个红球，3个绿球，那么第二次摸到绿球的概率为.]
6．C [设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1 000次”，则P(A)＝90%＝0.9，P(AB)＝36%＝0.36，所以若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，则他的车能够达到充放电1 000次的概率为P(B|A)＝＝＝0.4.]
7.
解析 设事件A为“猫的寿命超过10岁”，事件B为“猫的寿命超过12岁”．
依题意有P(A)＝0.9，P(B)＝P(B∩A)＝0.6，
则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为
P(B|A)＝＝＝.
8.
解析 设“甲同学被选出”记为事件A，“乙同学被选出”记为事件B，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率P(B|A)＝＝＝.
9．解 (1)两次都取得白球的概率P＝×＝.
(2)记事件A为“第一次取出的是红球”，
事件B为“第二次取出的是红球”，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
利用条件概率的计算公式，
可得P(B|A)＝＝×＝.
10．解 由题意得球的分布如下：
E型玻璃球 F型玻璃球 总计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
设A表示“取得蓝色玻璃球”，B表示“取得E型玻璃球”，则AB表示“取得蓝色E型玻璃球”．
方法一 因为P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(A)＝11，n(AB)＝4，
所以P(B|A)＝＝.
11．C [设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件A，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为P(B|A)＝＝＝.]
12．B [由题意得P(A)＝，
事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”，
若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；
若第一次取到的为1,5,7，第二次有3种情况，
故共有2×2＋3×3＝13(个)样本点，
则P(AB)＝＝，
由条件概率的定义，得P(B|A)＝＝.]
13．D [设“他在8号位置停留”为事件A，“恰好已经投掷了四次硬币”为事件B，
事件A：投掷三次，一个正面两个反面，或者投掷四次全部为正面，
事件AB：投掷四次全部为正面．
则所求为P(B|A)＝＝＝.]
14.
解析 由题意，可知P(B|A)＝＝＝.
15．A [由题意P(A)＝，P(AB)＝P(A)，
P(B)＝，
∴P(A|B)＝＝＝.]
16．解 没有考虑到已经抽出并展示出抽出的这张的一面为红色或黑色，即题目属于条件概率，我们以抽出的这张展示的一面是红色为例，正确的方法是：设抽出的这张展示的一面是红色为事件A，抽出的卡片两面全是红色为事件B，如果展示的一面是红色，且这张卡片是两面全是红色的那张为事件AB，因为P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率可得P(B|A)＝＝，当然抽出的这张展示的一面是黑色也是如此，概率为.