北师大版数学八年级下册第一章第三节线段的垂直平分线课时练习

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北师大版数学八年级下册1.3线段的垂直平分线课时练习
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D.11
答案：C
解析：解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C.
分析：由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC.
2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）
A. 48° B. 36° C. 30° D. 24°
答案：A
解析：解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°－60°－24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°－24°=48°，
故选：A.
分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数.
3．如图，在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，若已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC的长为（　　）
A. 10 B. 9 C. 7 D. 5
答案：C
解析：解：如图，∵在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，
∴AG=BG，
∵AB=10，△GBC的周长为17，
∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17，AC=AB=10，
∴BC=7．
故选C.
分析：首先根据题意在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，根据线段垂直平分线的性质，可得AG=BG，继而可得△GBC的周长=AC+BC=17，则可求得答案.
4．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（　）
A. 30° B. 40° C. 70° D. 80°
答案：A
解析：解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．
故选A.
分析：由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案.
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，则△BCE的周长为（　　）
A. 6 B. 14 C. 18 D. 24
答案：B
解析：解：∵AC=10，BC=4，
∴AC+BC=10+4=14，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=14．
故选B.
分析：先根据AC=10，BC=4，可得出AC+BC的长，再根据DE是线段AB的垂直平分线可得到AE=BE，进而可得出答案.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，AB边的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点，则△BCM的周长为（　　）
A. 18 B. 16 C. 17 D. 无法确定
答案：C
解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，
由勾股定理得，BC=5，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MB=MA，
∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，
故选：C
分析：根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.
7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（　　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
答案：C
解析：解：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
则AO=OB，AO=OC，
所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，
∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC＞90°，
即△ABC是钝角三角形，
故选C
分析：先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可.
8. 已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（　　）
A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D.无法确定
答案：B
解析：
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，
∴AC=BC，AD=BD，
∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，
如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，
∴∠CAD=∠CBD；
如图2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA，
∴∠CAD=∠CBD．
故选B.
分析：首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，则可证得∠DAB=∠CBA，
∠DAB=∠DBA，继而求得答案.
9. 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为（　　）
A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm
答案：D
解析：
解：如图，连接BD，
∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴BD=AD，
∴BD+DC+BC=AC+BC=38 cm，且AB+AC+BC=60 cm，
∴AB=60 cm－38 cm =22 cm，
∴AC=22 cm，
∴BC=38 cm－AC=38 cm－22 cm =16 cm，
即等腰三角形的腰为22 cm，底为16 cm，
故选D.
分析：连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD，可知两三角形周长差为AB，结合条件可求得腰长，再由周长可求得BC，可得出答案.
10．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
答案：A
解析：解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A
分析：根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点.
11. 三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（　　）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
答案：B
解析：解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B.
分析：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案.
12. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．60° C．150° D．50°或130°
答案：D
解析：解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时
易得∠A=90°－40°=50°，
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
易得∠DAB=90°－40°=50°，
∴∠A=130°，
故选D.
分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC=8，BC=6，则△DBC的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．无法计算
答案：B
解析：解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14，
故选：B
分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB，根据三角形周长公式求出周长.
14. 如图，在△ABC中，AB=A，AC=B，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（　　）
A．A+B B．A－B C．2A+B D．A+2B
答案：A
解析：解：∵ED垂直且平分BC，
∴BE=CE．
∵AB=A，AC=B，
∴AB=AE+BE=AE+CE=A．
∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=A+B．
故选A
分析：要求三角形的周长，知道AC=B，只要求得AE+EC即可，由DE是BC的垂直平分线，结合线段的垂直平分线的性质，知EC=BE，这样三角形周长的一部分AE+EC=AE+BE=AB，代入数值，答案可得.
15. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　 ）
A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
答案：C
解析：解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选C.
分析：要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得.
二、填空题
16．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于E，交BC于F．若FC=3 cm，则BF=_________．
答案：6 cm
解析：
解：连接AF．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°；
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF，∠FAC=30°，
∴∠BAF=90°，
∴BF=2AF（30°直角边等于斜边的一半），
∴BF=2CF=6 cm．
故答案是：6 cm
分析：利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=
120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6 cm.
17. 如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC=________．

答案：3
解析：解：∵ED为AC上的垂直平分线，
∴AE=EC，
∵AB=AE+EB=5，△BCE的周长=AE+BE+BC=AB+BC=8，
∴BC=8－5=3．
故答案为：3
分析：根据ED为AC上的垂直平分线，得出AE=CE，再根据AB=5，△BCE的周长为AB+BC=8，即可求得BC.
18．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC=__________ ．

答案：6
解析：解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD，
∵AC=10，△BDC的周长为16，
∴BC=16－AC=16－10=6．
故答案为：6
分析：先根据DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周长为16即可求出答案.
19. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=
答案：15
解析：解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°－40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=65°，
∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°，
故答案为：15
分析：根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案.
20. 点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= _________．
答案：7
解析：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，
∴PB=PA=7，
故答案为：7
分析：根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．
三、解答题
21. 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使
三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
答案：解：如图，①连接AB，AC，
②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，
则P即为售票中心
解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点.
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数
答案：140°
解析：解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠EAB.
∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，
∴∠B=20°，
∴∠AEB=180°－20°－20°=140°.
分析：根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案.
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长
答案：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形.
（2）30°（3）32
解析：解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°－40°）÷2=70°.
∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，
∴AB=2AD=12.
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；
（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.
24．如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数．
（2）若AB=AC，且△BCD的周长为18 cm，△ABC的周长为30 cm，求BE的长.
答案：（1）15°；（2）6 cm
解析：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=65°.
又∵DE垂直平分AB，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=15°．
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18 cm．
∵△ABC的周长=30 cm，
∴AB=30－18=12 cm，
∴BE=AE=6 cm．
分析：（1）已知∠A=50°，易求∠ABC的度数．又因为DE垂直平分AB根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数．
（2）同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．
25．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数
答案：=26°
解析：解：∵MN是边AB的中垂线，
∴AM=BM，
∴∠BAM=∠B.
设∠B=x，则∠BAM=x，
∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，
在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，
∴x=26°，
即∠B=26°
分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可
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