人教A版高中数学选择性必修三7.5正态分布-同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修三7.5正态分布-同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 129.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-12 10:52:14 | ||
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文档简介
人教A版高中数学选择性必修三7.5正态分布-同步练习
1．已知随机变量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7A．0.135 8 B．0.271 6
C．0.135 9 D．0.271 8
2．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)内与落在(10,10.3)内的概率相等
3．已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p等于( )
A. B. C. D.
4．某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2)．若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165 cm的同学数目约为( )
A．80 B．160 C．240 D．320
5．(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3
C．μ2＝μ3 D．σ2<σ3
6．(多选)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是( )
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
7．设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξa＋1)，则实数a＝________.
8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
9．若X～N(μ，σ2)，根据P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.341 35，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈0.135 9，写出下列各概率值：
(1)P(μ－σ≤X≤μ)；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ)．
10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
11．已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58,60)内的概率为( )
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
12．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2,101.1,98.8，100.4，100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.根据行业标准，概率低于0.002 7视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( )
A. B. C. D.
13．一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，则下列结论正确的是( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
14．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ＝______.
15．(多选)若随机变量ξ～N(0,2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有( )
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2φ(x)
C．P(|ξ|D．P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)
16．已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9,8.8]的概率．
参考数据：≈0.9.
参考答案与详细解析
1．C [由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，
P(4≤X≤8)≈0.954 5，
则P(72．D [因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，
所以测量的结果的概率分布关于直线x＝10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，
对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A正确；
对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；
对于C，由于概率分布关于直线x＝10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
对于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项D错误．]
3．B [因为随机变量X～B(6，p)，
所以E(X)＝6p，
因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝，所以μ＝2，
即E(Y)＝2，
又E(X)＝E(Y)，所以6p＝2，即p＝.]
4．B [P(X≤165)＝×＝，
则样本中不高于165 cm的同学数目约为1 600×＝160.]
5．ACD [根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故B错误，C正确；
又σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正确．]
6．ACD [由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数(均值)相等，
由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，
故三种手表日走时误差的标准差(或方差σ2)从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好．]
7．6
解析 由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3，
又由P(ξa＋1)，可得x＝a－5和x＝a＋1关于直线x＝4对称，
所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6.
8．0.8
解析 因为正态分布的均值为1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，
所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.
9．解 (1)根据对称性，P(μ－σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.341 35.
(2)P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋2σ)
＝P(μ≤X≤μ＋σ)＋P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)
≈0.341 35＋0.135 9＝0.477 25.
10．解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5＝＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)．
若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率
P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6＝＋P(μ－2.5σ≤X≤μ＋2.5σ)．
因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
11．A [由题意知X～N(60，σ2)，所以μ＝60，
所以P(X<62)＝0.8＝P(X<60)＋P(60所以P(6012．B [10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝.]
13．C [依题意N(1 000,52)，μ－3σ＝1 000－15＝985，μ＋3σ＝1 000＋15＝1015，[μ－3σ，μ＋3σ]＝[985,1 015]，
1 011∈[985,1 015]，982 [985,1 015]，
所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．]
14．4
解析 因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，
故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
15．ACD [因为ξ～N(0,2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称，
因为φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正确；
因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正确；
因为P(|ξ|因为P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正确．]
16．解 (1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，
方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8.
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8.
(2)由(1)知X～N(7,0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9，
因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以P(7.9≤X≤8.8)＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，
即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9,8.8]的概率约为0.135 9.
1．已知随机变量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7
C．0.135 9 D．0.271 8
2．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)内与落在(10,10.3)内的概率相等
3．已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p等于( )
A. B. C. D.
4．某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2)．若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165 cm的同学数目约为( )
A．80 B．160 C．240 D．320
5．(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3
C．μ2＝μ3 D．σ2<σ3
6．(多选)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是( )
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
7．设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξ
8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
9．若X～N(μ，σ2)，根据P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.341 35，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈0.135 9，写出下列各概率值：
(1)P(μ－σ≤X≤μ)；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ)．
10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
11．已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58,60)内的概率为( )
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
12．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2,101.1,98.8，100.4，100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.根据行业标准，概率低于0.002 7视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( )
A. B. C. D.
13．一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，则下列结论正确的是( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
14．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ＝______.
15．(多选)若随机变量ξ～N(0,2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有( )
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2φ(x)
C．P(|ξ|
16．已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9,8.8]的概率．
参考数据：≈0.9.
参考答案与详细解析
1．C [由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，
P(4≤X≤8)≈0.954 5，
则P(7
所以测量的结果的概率分布关于直线x＝10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，
对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A正确；
对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；
对于C，由于概率分布关于直线x＝10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
对于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项D错误．]
3．B [因为随机变量X～B(6，p)，
所以E(X)＝6p，
因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝，所以μ＝2，
即E(Y)＝2，
又E(X)＝E(Y)，所以6p＝2，即p＝.]
4．B [P(X≤165)＝×＝，
则样本中不高于165 cm的同学数目约为1 600×＝160.]
5．ACD [根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故B错误，C正确；
又σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正确．]
6．ACD [由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数(均值)相等，
由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，
故三种手表日走时误差的标准差(或方差σ2)从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好．]
7．6
解析 由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3，
又由P(ξ
所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6.
8．0.8
解析 因为正态分布的均值为1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，
所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.
9．解 (1)根据对称性，P(μ－σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.341 35.
(2)P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋2σ)
＝P(μ≤X≤μ＋σ)＋P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)
≈0.341 35＋0.135 9＝0.477 25.
10．解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5
若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率
P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6
因为P1
11．A [由题意知X～N(60，σ2)，所以μ＝60，
所以P(X<62)＝0.8＝P(X<60)＋P(60
13．C [依题意N(1 000,52)，μ－3σ＝1 000－15＝985，μ＋3σ＝1 000＋15＝1015，[μ－3σ，μ＋3σ]＝[985,1 015]，
1 011∈[985,1 015]，982 [985,1 015]，
所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．]
14．4
解析 因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，
故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
15．ACD [因为ξ～N(0,2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称，
因为φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正确；
因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正确；
因为P(|ξ|
16．解 (1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，
方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8.
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8.
(2)由(1)知X～N(7,0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9，
因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以P(7.9≤X≤8.8)＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，
即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9,8.8]的概率约为0.135 9.