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专题16.4 二次根式运算的四大题型专项训练（40题）
【人教版】
【题型1 二次根式的乘除运算】
1．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，熟练掌握二次根式性质，合并同类二次根式法则，是解题关键．
首先将和二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：．
2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用平方差公式、二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
【详解】解：原式
．
3．（24-25九年级下·湖北十堰·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，先根据算术平方根、零指数幂、绝对值的代数意义以及负整数指数幂运算法则项后再合并即可．
【详解】解：
．
4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，立方根等知识点，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解决此题的关键．先利用乘法分配律进行计算，然后再进行加减运算即可得解．
【详解】解：
．
5．（2025·陕西西安·一模）计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算、二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂分别化简，进而得出答案．
【详解】原式
6．（2025·陕西西安·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算绝对值，负整数次幂，二次根式的乘法，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
7．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式、绝对值、计算二次根式的除法和零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：
8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先算立方根，二次根式的乘法，再根据完全平方公式展开，然后合并即可．
【详解】解：
．
9．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先算乘法，零指数幂，化简二次根式，最后合并即可．
【详解】解：
．
10．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据运算顺序先算除法，再算加减，解决此题的关键是正确的计算．
【详解】解：原式
．
【题型2 二次根式的加减运算】
11．（23-24九年级·辽宁盘锦·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算，先计算算术平方根，立方根，乘法运算，再合并即可；
【详解】解：
；
12．（23-24九年级·广东汕头·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式性质，先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
13．（23-24九年级·青海西宁·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
14．（23-24九年级·广西玉林·期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根和绝对值的运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先去括号，再加减运算即可；
（2）先计算立方根和化简绝对值，然后加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
15．（23-24九年级·四川自贡·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式
．
16．（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的加减法，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
17．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）先化简各二次根式，再合并即可；
（2）先化简各二次根式，再合并即可；
【详解】解：（1）
；
（2）
；
18．（23-24九年级·河北保定·期中）计算
（1）4 （2）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，去括号合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握化简与合并同类二次根式的法则是解题的关键．
19．（23-24九年级·湖北黄冈·阶段练习）化简：
【答案】
【分析】分别将每项计算出来，再化简．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查学生的计算能力，此题属于低档试题，计算要小心．
20．（23-24九年级·四川广安·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将二次根式， ， 化简，然后再合并同类二类根式即可．
（2）二次根式里的未知数保证二次根式有意义，化简 ， ， ，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
故答案是： ．
（2）解：原式
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，二次根式的加减法运算．掌握二次根式的意义，性质，化简的方法是解题的关键．
【题型3 二次根式的混合运算】
21．（23-24·甘肃金昌·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
先把除法化为乘法，再算乘除法，最后合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
22．（23-24九年级·山东聊城·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式进行计算，再计算加减即可得出答案；
（2）先根据完全平方公式将括号打开，根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．（23-24九年级·云南昆明·期末）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶
（1）先利用二次根式的除法、乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式．
．
（2）解：原式
．
24．（23-24九年级·山东烟台·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）先利用二次根式的乘除法法则运算，再进行相减即可；
（2）先根据完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
25．（23-24九年级·河南驻马店·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，考查了二次根式的除法法则，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式．正确化简二次根式是解题的关键．
（1）先算括号内的减法，再算除法；
（2）先利用平方差公式及完全平方公式将原式展开，然后去括号再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
26．（23-24九年级·吉林白城·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
27．（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
28．（23-24九年级·上海·期末）计算：．
【答案】
【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
【详解】
=
=
=.
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
29．（23-24九年级·广东肇庆·期中）
【答案】
【分析】先通分，然后再进行加减即可．
【详解】原式=
=
=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了完全平方公式，平方差公式，分式的化简等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
30．（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）计算
(1)；
(2)（）．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）
解：
＝
＝－＋
．
（2）
解：
＝·
．
【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
【题型4 二次根式的化简求值】
31．（23-24九年级·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值．
【答案】，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先根据非负数的性质求出，再根据二次根式乘除法法则把所给代数式化简，再把代入计算即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
原式
，
当，时，
原式
32．（23-24九年级·河南许昌·期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将代入式子即可得到答案．
【详解】解： ，
.
33．（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、分式加法运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据题意可得，，进而可得，，，然后将原式整理为，然后代入求值即可；
（2）将原式整理为，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
，
∴；
（2）解：
．
34．（23-24九年级·全国·专题练习）若，为实数，且．求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴即，
∴，
∴，，
∴
．
35．（23-24九年级·上海嘉定·阶段练习）已知求：的值．
【答案】77
【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可．
【详解】解：
原式=．
故原式的值为77．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案．
36．（23-24九年级·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
当时，
原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
37．（23-24九年级·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值．
【答案】
【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可．
本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
【详解】，，
，，
∴原式=
．
原式．
38．（23-24九年级·北京·专题练习）已知，，求的值．
【答案】970
【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．
39．（23-24九年级·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值．
【答案】
【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．
【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得，
解得，且为奇数，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．
40．（23-24九年级·四川成都·阶段练习）已知，．
（1）求的值．
（2）求值．
【答案】（1）40；（2）
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；
（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．
【详解】（1），
，
，，
．
（2），，
，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、完全平方公式的变形等知识点．
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专题16.4 二次根式运算的四大题型专项训练（40题）
【人教版】
【题型1 二次根式的乘除运算】
1．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算：．
2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）计算：．
3．（24-25九年级下·湖北十堰·阶段练习）计算：
4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
5．（2025·陕西西安·一模）计算：．
6．（2025·陕西西安·一模）计算：．
7．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算：．
8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：．
9．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算：．
10．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：．
【题型2 二次根式的加减运算】
11．（23-24九年级·辽宁盘锦·阶段练习）计算：．
12．（23-24九年级·广东汕头·期末）计算：．
13．（23-24九年级·青海西宁·期末）计算：．
14．（23-24九年级·广西玉林·期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
15．（23-24九年级·四川自贡·期末）计算：．
16．（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）计算：．
17．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）（1）计算：
（2）化简：
18．（23-24九年级·河北保定·期中）计算
（1）4 （2）
19．（23-24九年级·湖北黄冈·阶段练习）化简：
20．（23-24九年级·四川广安·期中）计算：
(1)
(2)
【题型3 二次根式的混合运算】
21．（23-24·甘肃金昌·模拟预测）计算：．
22．（23-24九年级·山东聊城·阶段练习）计算：
(1)
(2)
23．（23-24九年级·云南昆明·期末）计算
(1)；
(2)．
24．（23-24九年级·山东烟台·期末）计算：
(1)；
(2)．
25．（23-24九年级·河南驻马店·期末）计算：
(1)；
(2)．
26．（23-24九年级·吉林白城·阶段练习）计算：．
27．（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算：
(1)
(2)
28．（23-24九年级·上海·期末）计算：．
29．（23-24九年级·广东肇庆·期中）
30．（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）计算
(1)；
(2)（）．
【题型4 二次根式的化简求值】
31．（23-24九年级·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值．
32．（23-24九年级·河南许昌·期末）已知，求的值．
33．（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
34．（23-24九年级·全国·专题练习）若，为实数，且．求的值．
35．（23-24九年级·上海嘉定·阶段练习）已知求：的值．
36．（23-24九年级·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中.
37．（23-24九年级·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值．
38．（23-24九年级·北京·专题练习）已知，，求的值．
39．（23-24九年级·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值．
40．（23-24九年级·四川成都·阶段练习）已知，．
（1）求的值．
（2）求值．
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