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专题16.5 二次根式单元提升卷
【人教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·上海·假期作业）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（24-25八年级上·四川成都·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25九年级上·山西长治·期中）下列各式化简后，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级上·河南南阳·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
7．（3分）（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：）
A． B． C． D．
8．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）三角形的一边长是，这边上的高是，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
10．（3分）若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与(m﹣4)相等的是( )
A． B．- C． D．-
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期中）计算： ．
12．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期中）已知，则x= ．
13．（3分）（23-24九年级·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ．
14．（3分）（23-24·山东潍坊·九年级期末）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
15．（3分）（23-24九年级·吉林松原·期中）如果，，那么 ．
16．（3分）（23-24九年级·山东威海·期中）观察下列等式：
第1个等式： ，
第个等式： ，
第个等式： ，
第个等式： ，
…
按上述规律，计算 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·浙江绍兴·期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）已知：，求：
(1)
(2)
19．（8分）（23-24九年级·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
20．（8分）（23-24九年级·广东江门·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简．
(1)例如，∵，
∴______，请完成填空．
(2)仿照上面的例子，请化简；
(3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值．
21．（8分）（23-24九年级·北京·期中）读取表格信息，解决问题．
… … … …
(1)计算：_________；__________；
(2)满足的可以取得的最小整数是_____．
22．（8分）（23-24九年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式．
（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）；
①一个根式的共轭根式是唯一的；
②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式；
③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式．
（2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简．
________；________；________；________．
（3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性．
23．（8分）（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
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专题16.5 二次根式单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·上海·假期作业）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键．
根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，根据平方根的定义，算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：，选项A正确；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D错误．
故选：A．
3．（3分）（24-25八年级上·四川成都·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
4．（3分）（24-25九年级上·山西长治·期中）下列各式化简后，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．对二次根式进行化简，找到与为同类项的即是答案．
【详解】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意；
，不能与合并，故选项B不符合题意；
，能与合并，故选项C符合题意；
，不能与合并，故选项D不符合题意；
故选C．
5．（3分）（24-25八年级上·河南南阳·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答．
【详解】解：由数轴得，
∴，
则
，
故选：C．
6．（3分）（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先把原式变形为，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：．
当时，
原式．
故选：D．
7．（3分）（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数．
【详解】解：一个周期，
∵，
∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为；
故选：C．
8．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）三角形的一边长是，这边上的高是，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟记二次根式乘法法则是解此题的关键，
根据三角形的面积一边的长这边上的高，计算面积．
【详解】解：∵三角形的一边长是，这边上的高是，
∴这个三角形的面积为 ．
故选：B．
9．（3分）（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为．
故选：C．
10．（3分）若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与(m﹣4)相等的是( )
A． B．- C． D．-
【答案】D
【分析】根据等式可确定m的取值：m≤3，则m-4＜0，m-3≤0，可知m-4是负数，化简时，负号留下，所以结果为负数．
【详解】由|m-4|=|m-3|+1得，m≤3，
∴m-4＜0，m-3≤0，
∴（m-4）=-=-．
故选D．
【点睛】考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定m的取值m≤3．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期中）计算： ．
【答案】
【分析】先分母有理化，然后根据二次根式的加减运算进行计算即可得到结果．
【详解】解：
=
=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期中）已知，则x= ．
【答案】7
【分析】由二次根式的定义，求出，然后由二次根式的性质进行化简，即可求出x的值．
【详解】解：根据题意，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题．
13．（3分）（23-24九年级·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且，
∴，
解得，
∴，，，
∴，
解得，∴．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键．
14．（3分）（23-24·山东潍坊·九年级期末）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【答案】（或或，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
15．（3分）（23-24九年级·吉林松原·期中）如果，，那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
16．（3分）（23-24九年级·山东威海·期中）观察下列等式：
第1个等式： ，
第个等式： ，
第个等式： ，
第个等式： ，
…
按上述规律，计算 ．
【答案】/
【分析】首先根据题意，可得： ，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式： ，
第个等式： ，
第个等式： ，
第个等式： ，
…
第个等式： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·浙江绍兴·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
（1）先化简二次根式，根据二次根式的除法法则运算，再计算加减即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（6分）（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）已知：，求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简，二次根式的混合运算；
（1）先计算的值，然后根据整式的乘法化简，代入代数式，即可求解；
（2）将分式化简，再代入即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，，
∴
（2）解：∵
∴，，
∴
19．（8分）（23-24九年级·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为
【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为，设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可．
【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为：
，
设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，
根据题意得，
解得．
答：圆柱形玻璃容器的底面半径为．
20．（8分）（23-24九年级·广东江门·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简．
(1)例如，∵，
∴______，请完成填空．
(2)仿照上面的例子，请化简；
(3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果．
（2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．
（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．
【详解】（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴．
（3）∵
∴
∵
∴
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：和熟练运用完全平方公式．
21．（8分）（23-24九年级·北京·期中）读取表格信息，解决问题．
… … … …
(1)计算：_________；__________；
(2)满足的可以取得的最小整数是_____．
【答案】(1)；
(2)6
【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键．
（1）根据表格中的数据确定出，的值即可；
（2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围．
【详解】（1）解：根据表格中的数据得：；
，
∴,
故答案为：；．
（2）解：，
，
，
又 ，
∴
解得：，
可以取得最小正整数是6,
故答案为：6．
22．（8分）（23-24九年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式．
（1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）；
①一个根式的共轭根式是唯一的；
②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式；
③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式．
（2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简．
________；________；________；________．
（3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性．
【答案】（1）②；（2）；；；；（3）
【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可；
（2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式；
（3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证.
【详解】解：（1）①错误，例如根式，，，
∴原命题错误；
②正确，∵与是同类二次根式，则×=中，ab为平方数（式），即结果不含根式，故原命题正确；
③∵若A与B是共轭根式，令A=，B=，则，
，故原命题错误；
故答案为：②；
（2）=，则共轭根式为：；
=，则共轭根式为：；
，∵，则共轭根式为：；
=，=1，则共轭根式为：；
故答案为：；；；；
（3）的一个共轭根式为：，
验证：
=
=
=4.
故验证正确.
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答.
23．（8分）（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；
（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
【详解】（1）
（2）
，
，
，
故答案为：；
（3）
；
（4）
，
，
，
故．
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