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专题17.1 勾股定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 由勾股定理求线段长度】 1
【题型2 由勾股定理求面积】 2
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】 3
【题型4 勾股定理的证明方法】 4
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】 6
【题型6 以弦图为背景的计算】 7
【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】 8
【题型8 勾股树】 10
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】 11
【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】 12
知识点1：勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
直角三角形两直角边的和等于的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么
【题型1 由勾股定理求线段长度】
【例1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？
【变式1-1】（22-23八年级上·陕西榆林·期中）已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长．
【变式1-2】（23-24八年级下·广东阳江·期中）如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长．
【变式1-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）点O是等边三角形的边的中点，点D，E分别在，，，求的长．
【题型2 由勾股定理求面积】
【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【变式2-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ；
【变式2-2】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【变式2-3】（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：
(1)求的面积；
(2)求线段的长：
(3)求高的长．
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）在中，，，则（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
【变式3-2】（23-24八年级·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．
【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．
【题型4 勾股定理的证明方法】
【例4】（23-24八年级·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且．
(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．
【变式4-1】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且．
(1)求证：；
(2)四边形的形状是 ；
(3)若，请借助图中几何图形的面积关系来证明．
【变式4-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？
(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，）
解：用两种方法计算四边形的面积，
方法1：四边形的面积_______，
方法2：四边形的面积_______，
因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______．
化简可得：．
(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．
【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）阅读材料，解决问题．
材料一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的的一半．如图1，四边形中，若，则有．
材料二：教材中介绍了可以通过“拼图”的方法证明勾股定理；通过下面的方法，也可以证明勾股定理．已知 ，将它们按如图2所示那样摆放，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接．
结合材料给出的信息解决下面问题：
(1)求证：；
(2)若，请用含有a或b的代数式分别表示图2中和的面积；
(3)在（2）的条件下，若，请结合材料信息，证明勾股定理．
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】
【例5】（23-24八年级·四川南充·期末）如图，是等腰直角三角形斜边上一点，将旋转到的位置，作，与交于．
(1)求的度数；
(2)线段相等吗？线段有无确定的数量关系？请说明你判断的理由．
【变式5-1】（23-24八年级·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．
(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
【变式5-2】（23-24·河北廊坊·八年级期末）已知和都是等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，求证：：
(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：．
【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)请直接写出、和之间的数量关系_____；
(3)求证：．
【题型6 以弦图为背景的计算】
【例6】（23-24八年级·浙江金华·期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是 ．
【变式6-2】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】
【例7】（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，甲每个网格边长均为，乙每个网格边长均为，若正方形的面积均为且各顶点均在甲、乙两个网格线的交点上．以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24八年级·四川眉山·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °．
【变式7-3】（23-24八年级·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ．
【题型8 勾股树】
【例8】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为 ．
【变式8-2】（23-24八年级·江西上饶·阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】
【例9】（23-24·山东烟台·八年级期末）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．
【变式9-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 ．
【变式9-3】（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．
【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】
【例10】（23-24八年级·山东潍坊·阶段练习）在中，，，边上的高为24，，则面积为 ．
【变式10-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为 ．【变式10-2】（23-24·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ．
【变式10-3】（23-24八年级·河南信阳·期末）如图，在矩形中，、F分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形．
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专题17.1 勾股定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 由勾股定理求线段长度】 2
【题型2 由勾股定理求面积】 5
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】 7
【题型4 勾股定理的证明方法】 10
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】 16
【题型6 以弦图为背景的计算】 22
【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】 26
【题型8 勾股树】 29
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】 33
【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】 36
知识点1：勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
【题型1 由勾股定理求线段长度】
【例1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？
【答案】24米
【分析】本题考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：．
答：滑雪台整体的水平距离为24米
【变式1-1】（22-23八年级上·陕西榆林·期中）已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键．
利用勾股定理来计算求解．
【详解】解：由勾股定理得
斜边的长为：．
【变式1-2】（23-24八年级下·广东阳江·期中）如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得到，得到由旋转得到，即可得到结论．
【详解】解：，线段，
在中，
由题意可知：，
∴．
【变式1-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）点O是等边三角形的边的中点，点D，E分别在，，，求的长．
【答案】
【分析】在上取点F，使，连接，过O作于H，过O作于M；先证明，得，；由等边三角形的性质及四边形内角和得，从而得，进而得，有，进而有，由勾股定理求得，在中由勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】解：如图，在上取点F，使，连接，过O作于H，过O作于M；
∵是等边三角形，O是的中点，
∴；
∵，
∴，
∴，；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴，
由勾股定理得，;
∵，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【题型2 由勾股定理求面积】
【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论；
【详解】解：∵在Rt中，,
∴
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意；
故选：A
【变式2-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ；
【答案】18
【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
．
在中，，
，
解得：．
故答案为：18．
【变式2-2】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键．
（1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理求出，再求出，再根据 求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：
(1)求的面积；
(2)求线段的长：
(3)求高的长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解；
（）根据勾股定理计算即可求解；
（）利用三角形面积即可求解；
本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）∵，，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）在中，，，则（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】C
【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．
【答案】69
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2 AD2，
CD2＝AC2 AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2），
＝132 102，
＝69．
故答案为：69．
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．
【答案】8
【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
因为和都是等腰直角三角形，，
即
故
故答案为：
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．
【题型4 勾股定理的证明方法】
【例4】（23-24八年级·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且．
(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．
【答案】(1)．理由见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明，
（1）根据证明，可得答案；
（2）根据，可得答案．
【详解】（1）解：．
理由如下：
如图，
，，
．
又，
．
，，
．
在和中，
，．
，．
又，
．
（2） ，
，
，
．
【变式4-1】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且．
(1)求证：；
(2)四边形的形状是 ；
(3)若，请借助图中几何图形的面积关系来证明．
【答案】(1)见解析
(2)正方形
(3)见解析
【分析】（1）在正方形中，由可得：，即可求证；
（2）由（1）可用同样的方法证得，，可得到，然后证明，即可得证；
（3）根据大正方形的面积等于4个直角三角形和一个小正方形的面积和，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，．
又∵，
∴．
∴；
（2）解：四边形的形状是正方形，
证明：由（1）得，，
同理，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形；
故答案为：正方形；
（3）证明：∵，
∴大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，
则其面积为：，
∴，
整理得．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，三角全等的判断和性质，勾股定理的证明，熟练掌握并会灵活应用相应知识点是解题的关键．
【变式4-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？
(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，）
解：用两种方法计算四边形的面积，
方法1：四边形的面积_______，
方法2：四边形的面积_______，
因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______．
化简可得：．
(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．
【答案】(1)，，
(2)见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法的探究，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）根据三角形的面积公式直接解答即可；
（2）先构建图形，如图所示，由全等的性质推出，，，求得；可得；结合且，可得，即可证明勾股定理．
【详解】（1）解：用两种方法计算四边形的面积，
方法1：四边形的面积 ，
方法2：四边形的面积 ，
因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：．
化简可得：．
（2）如图，将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且．点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接．
求证：，
证明：由题意得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
∵，
即且，
∴
=
，
∴，即．
【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）阅读材料，解决问题．
材料一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的的一半．如图1，四边形中，若，则有．
材料二：教材中介绍了可以通过“拼图”的方法证明勾股定理；通过下面的方法，也可以证明勾股定理．已知 ，将它们按如图2所示那样摆放，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接．
结合材料给出的信息解决下面问题：
(1)求证：；
(2)若，请用含有a或b的代数式分别表示图2中和的面积；
(3)在（2）的条件下，若，请结合材料信息，证明勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形性质得，再利用直角三角形性质得，则，再根据三角形内角和定理得，即可得到本题答案；
（2）根据全等三角形性质得，再由三角形面积公式得，即可；
（3）根据全等三角形性质得，再由材料一可知，再由列式为即可得出结论．
【详解】（1）解：证明： ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，；
（3）解：证明：∵ ，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，整理得：．
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】
【例5】（23-24八年级·四川南充·期末）如图，是等腰直角三角形斜边上一点，将旋转到的位置，作，与交于．
(1)求的度数；
(2)线段相等吗？线段有无确定的数量关系？请说明你判断的理由．
【答案】(1)
(2)线段有确定的数量关系．理由见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得，则，根据三线合一的性质，即可得出；
（2）证明得出，由（1）可得，则，勾股定理可得，等量代换可得
【详解】（1）由旋转，．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）线段有确定的数量关系．
理由：连接．
由（1），．
∵．
∴．
又由（1），．
∴．
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．
(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可．
【详解】（1）．理由如下：
∵与都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴．
∴，
∴．
（2）．理由如下：
由（1）可得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出．
【变式5-2】（23-24·河北廊坊·八年级期末）已知和都是等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，求证：：
(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“”即可证明；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质，利用“”证明，得对应角相等，对应边相等，从而可证，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，构造直角三角形是解决问题的关键．【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)请直接写出、和之间的数量关系_____；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得到，再利用证明即可；
（2）证明是等腰直角三角形，得到，再根据全等的性质得到，，得到，利用勾股定理即可得到关系；
（3）延长到点，使，连接，证明，得到，，进一步证明，可得，推出，即可证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
；
（2）∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）延长到点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【题型6 以弦图为背景的计算】
【例6】（23-24八年级·浙江金华·期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值为 ．
【答案】；
【分析】本题考查勾股定理，根据面积加减关系求解减即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，根据题意得出，进而根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：依题意，
∵
∴
∴，
故答案为：．
【变式6-2】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，由勾股定理得，，根据风车的外围周长是，计算求解即可．
【详解】解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，
由勾股定理得，，
∴这个风车的外围周长是，
故选：C．
【变式6-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【答案】（1），见解析；（2）EF为或
【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积和证明；
（2）分a＞b和a＜b两种情况求解．
【详解】解：（1）（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），
证明如下：
∵如图①，∵△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH，
∴AB=BC=CD=DA=c，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BAE+∠HAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
同理可证，四边形EFGH是正方形，且边长为（b﹣a），
∵
∴，
∴
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
分两种情况：
①a＞b时，
∴a+b＝12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5，
∴
解得：a=，
∴EF=；
②a＜b时，同①得：，
解得：a=，
∴EF=；
综上所述，EF为或．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握面积法证明勾股定理，并灵活运用是解题的关键．
【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】
【例7】（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，甲每个网格边长均为，乙每个网格边长均为，若正方形的面积均为且各顶点均在甲、乙两个网格线的交点上．以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形与网格问题和勾股定理的应用，先根据题意将S求出来，再根据图象分别将正方形的边长关系求出是解决本题的关键．
【详解】解：甲图中，
乙图中，
∵正方形的面积均为，
∴，
∴，
故A，B，C错误，D正确；
故选D．
【变式7-1】（23-24八年级·四川眉山·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
首先根据勾股定理求出，然后根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：∵是的高，，
∴的面积
∴，
解得，，
故选：D．
【变式7-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °．
【答案】/135度
【分析】延长交网格于格点D，连接，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到的度数，此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交网格于格点D，连接，
则，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式7-3】（23-24八年级·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ．
【答案】或1
【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关键．
根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出的长即可．
【详解】解：若，如图1所示；
则；
若，如图2所示，
则．
故答案为：或1．
【题型8 勾股树】
【例8】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【答案】2024
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，
根据勾股定理可得：，
∵,
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为；
第n代勾股树中所有正方形的面积为；
∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．
故答案为：2024．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律．
【变式8-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查勾股树，根据根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积的和等于正方形E的面积，可得正方形C，D的面积的和等于正方形F的面积，正方形E，F的面积的和等于正方形G的面积．
【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，
，
，
，
故答案为：12．
【变式8-2】（23-24八年级·江西上饶·阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个），
第二代勾股树中正方形有（个），
第三代勾股树中正方形有（个），
由此推出第五代勾股树中正方形有（个）
故选：B．
【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【答案】(1)①3；②满足，证明见解析
(2)
【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可．
【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】
【例9】（23-24·山东烟台·八年级期末）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处，
∴，，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
解得，
即，
故选：A．
【变式9-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果．
【详解】解：，
；
由折叠知，
则；
在中，，
即，
解得：；
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
【变式9-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质．根据翻折的性质和勾股定理可求出，进而求出，在中由勾股定理可求出．
【详解】解：由翻折的性质可知，，，
在中，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
即．
故答案为：．
【变式9-3】（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，则，
∵是边的中点，
∴，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴．
【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】
【例10】（23-24八年级·山东潍坊·阶段练习）在中，，，边上的高为24，，则面积为 ．
【答案】300或132
【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出、的长，分点在线段上及点在线段的延长线上两种情况求出的长，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：为边上的高，
．
在中，，
在中，，
当点在线段上时，，
∴；
当点在线段的延长线上时，．
∴；
故答案为：300或132．
【变式10-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为 ．
【答案】8或
【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
根据题意分两种情况，画出相应的图形，从而可以解答本题．
【详解】解：∵等腰三角形为钝角三角形，
①当为腰上的高时，如图所示，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
在中，，
根据勾股定理得：；
②当为底边上的高时，如图所示，
∵，
∴，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
综上，等腰三角形的底边长为或8．
【变式10-2】（23-24·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ．
【答案】或2
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
当时，如图所示：
∵，
∴点在上，
根据折叠可知：，，
设，则，
∴，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
当，如图所示：
根据折叠可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上分析可知：或2．
故答案为：或2．
【变式10-3】（23-24八年级·河南信阳·期末）如图，在矩形中，、F分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形．
【答案】或
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想，有一定难度．
设，则，由翻折得：．①当时，由勾股定理得：；②当时，作，由平方可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
【详解】解：设，则，
由翻折得：，
①当时，，
∵矩形，
∴，
由勾股定理得：，
解得：，
②当时，
如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
综上所述：或．
故答案为：或．
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