专题二 培优点3　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题（含解析）

培优练3　数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题
1．(2024·四川省成都七中)如图，在足够长的光滑水平轨道上有一质量为的足够长的木板A，质量为的滑块B置于A的左端，A与B间的动摩擦因数为。在水平轨道上隔一定距离依次放着2025个相同的滑块，滑块的质量均为，编号依次为1，2，3……2025。开始时木板A静止，现使滑块B瞬间获得水平向右的初速度，当A、B刚达到共速时，木板A恰好与滑块1发生第1次弹性碰撞，经过一段时间，当A、B再次刚达到共速时，木板A恰好与滑块1发生第2次弹性碰撞，之后每次A、B刚达到共速时，木板A都恰好与滑块1发生弹性碰撞，直至最后木板A与滑块1发生2025次碰撞。重力加速度大小取，滑块间的碰撞均为弹性碰撞，每次碰撞时间极短，滑块均可视为质点。求：
（1）木板A与滑块1第1次碰撞前，A与B组成的系统产生的热量Q；
（2）木板A与滑块1第1次碰撞后瞬间，滑块1的速度大小；
（3）从滑块B开始向右运动到木板A即将与滑块1发生第2025次碰撞时，A与B组成的系统损失的总能量（可用分数表示，如表达式：，a、b、n为具体数值）。
2．(2024·湖南卷·15)如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小；
（2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。
（3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0专题强化练
1．答案 （1）；（2）；（3）
解析 （1）将木板A与滑块B视为一个系统，因为水平轨道光滑，木板A与滑块B所受合力为零，因此木板A与滑块B组成的系统在水平方向上动量守恒。设木板A与滑块B第一次共速时的速度为，设向右为速度的正方向，则有
可得
由能量守恒定律可知，木板A与滑块B减少的机械能转化为了系统产生的热量Q，即
解得
（2）木板A与滑块1发生弹性碰撞时，将木板A与滑块1视为一个系统，由于碰撞时间极短，碰撞时内力远大于外力，因此木板A与滑块1组成的系统在水平方向上动量守恒，设向右为速度的正方向，则有
木板A与滑块1的碰撞为弹性碰撞，因此
解得木板A的速度
滑块1的速度
即木板A与滑块1发生了速度交换，木板A碰撞后速度为0，滑块1获得了木板A碰撞前的速度；
（3）与木板A发生第1次碰撞后的滑块1，匀速滑向滑块2，并与之发生弹性碰撞，设碰撞后滑块2的速度为v，则有，
解得滑块2的速度
滑块1的速度
即滑块1和滑块2碰撞后速度交换，滑块2将继续碰撞滑块3，速度继续交换，后面的滑块继续重复，木板A发生第1次碰撞后速度变为0，木板A与滑块B组成一个系统，设木板A第2次与滑块1碰撞前的速度为，
接下来木板A将以的速度与滑块1发生弹性碰撞，碰撞后速度交换，木板A的速度变为0，重复以上碰撞，有木板A和滑块1碰撞后，再次与滑块B共速时，共速速度为上一次共速速度的，即
因此，木板A即将与滑块1发生第2025次碰撞时
从滑块B开始向右运动到木板A即将与滑块1发生第2025次碰撞时，由能量守恒定律有A与B组成的系统损失的能量
解得
2.答案 （1），；（2）或；
（3）
解析 （1）有题意可知A、B系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量守恒有，可得
碰撞后根据牛顿第二定律有
可得
（2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有，
联立解得，
因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图
①若第二次碰撞发生在图中的b点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为，则有
联立解得，由于两质量均为正数，故k1=0，即
对第二次碰撞，设A、B碰撞后的速度大小分别为，，则同样有，
联立解得，，故第三次碰撞发生在b点、第四次碰撞发生在c点，以此类推，满足题意。
②若第二次碰撞发生在图中的c点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为；所以
联立可得
因为两质量均为正数，故k2=0，即
根据①的分析可证，，满足题意。
综上可知或。
（3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为，第一次碰后与第二次相碰前B球比A球多运动一圈，即B球相对A球运动一圈，有
第一次碰撞动量守恒有且
联立解得
B球运动的路程
第二次碰撞的相对速度大小为，
第二次碰撞有且
联立可得
所以B球运动的路程
一共碰了2n次，有