专题三 培优练4　带电粒子在复合场中的运动（含解析）

培优练4　带电粒子在复合场中的运动
1．(多选)（23-24高三下·甘肃庆阳·阶段练习）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，粗糙绝缘的水平面上有一带正电滑块，滑块从M点由静止释放后向右滑动，滑至与M点相距L的N点时达到最大速度v。已知滑块的质量为m，电荷量为q，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，电场强度大小，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块做匀加速直线运动
B．磁感应强度大小为
C．磁感应强度大小为
D．从M点到N点，滑块克服摩擦力所做的功为
2.(多选)(2022·广东卷)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　)
A．电子从N到P，静电力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
3．(多选)（2024·安徽·高考真题）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。己知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　）
A．油滴a带负电，所带电量的大小为
B．油滴a做圆周运动的速度大小为
C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）在精密的电子仪器中常用磁场或电场来改变带电粒子的运动轨迹。如图所示，直线AE把纸面分成上下两部分，在纸面内有矩形ABCD，AB边长为L1，BC边长为L2。一个不计重力的电子（其质量为m、电量为-e）从A点以初速度v0沿DA方向射入，第一次在整个平面内加垂直纸面的匀强磁场，电子恰好能通过C点；第二次保持AE上方的磁场不变，而将AE下方区域磁场改为沿AE方向的匀强电场，电子仍通过C点。下列说法正确的是（　　）
A．匀强磁场的方向为垂直纸面向外
B．电子两次从A运动到C所用的时间相同
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．电子第二次通过C点时的速度比第一次的大
5.(2023·辽宁鞍山市三模)在平面坐标系第Ⅰ象限内有沿x轴负方向的匀强电场，虚线PQ为在同一平面内的竖直线边界，在第Ⅱ、Ⅲ象限内虚线PQ与y轴之间有垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。C、D两个水平平行金属板之间的电压为U。一质量为m、电荷量为e的带正电的粒子(不计粒子重力)从靠近D板的S点由静止开始做加速运动，从x轴上x＝2L处的A点垂直于x轴射入电场，粒子进入磁场时速度方向与y轴正方向成θ＝60°角，要使粒子不从PQ边界射出，求：
(1)粒子运动到A点的速度大小v0；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d。
6.(2023·黑龙江齐齐哈尔市一模)如图所示，平面直角坐标系xOy中，x>0区域内存在着与x轴夹角为45°方向斜向左下的匀强电场E2，电场强度大小为E2＝10 V/m，在－1 m0.2 C/kg，不计粒子重力，求：
(1)粒子进入磁场时的速度；
(2)磁感应强度大小；
(3)粒子从P点射出到第三次经过y轴时的时间。
7．（2024·四川德阳·二模）如图所示，为一竖直平面直角坐标系，x轴水平，第二象限有与x轴正方向成斜向上的匀强电场（包含x轴的负半轴），电场强度大小为，第三象限有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为轴的右侧有方向未知的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为，在的区坡I内有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直平面向里，在的区域Ⅱ内有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直平面向外，一质量为、电荷量为的金属小球a在点静止释放，沿着x轴运动并与静止在坐标原点O处用绝缘细、短支柱支撑的质量为、不带电的金属小球b发生弹性正碰，碰后金属小球b恰能在区域I内做匀速圆周运动,碰后两金属球的电荷量相等,重力加速度为g，支柱与金属小球不粘连、无摩擦，两球间的静电力不计，两小球可看作质点,求：
（1）电场强度的大小；
（2）若，要使金属小球b能从区域Ⅱ的上边界飞出，则B的取值范围；
（3）若，区域Ⅰ、Ⅱ中的磁场方向不变，仅将区域Ⅱ的右边界改为无边界，两小球能否再次碰撞？若能，请计算第三象限内电场强度的大小，若不能，请说明理由。
培优练4 带电粒子在复合场中的运动
1.答案 BD
解析 A．由左手定则可知，滑块受到的洛伦兹力竖直向下，根据牛顿第二定律有
故随着速度的增大，加速度将减小，故A错误；
BC．当加速度减为零时，滑块达到最大速度v，即
解得
故B正确，C错误；
D．滑块从M点运动到N点的过程，根据动能定理有
解得
故D正确。
故选BD。
2.答案　BC
解析　由题可知电子所受静电力水平向左，电子从N到P的过程中静电力做负功，故A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，N点的电势高于P点的电势，故B正确；由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M到N，洛伦兹力都不做功，故C正确；由于M点和P点在同一等势面上，故从M点到P点静电力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受静电力作用，在匀强电场中电子在这两点所受静电力相等，即所受合力相等，故D错误。
3.答案 ABD
详解 A．油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有
解得
故A正确；
B．根据洛伦兹力提供向心力
得
解得油滴a做圆周运动的速度大小为
故B正确；
C．设小油滴Ⅰ的速度大小为，得
解得
周期为
故C错误；
D．带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得
解得
由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。
故选ABD。
4.答案 CD
详解 A．第一次在整个平面内加垂直纸面的匀强磁场，电子恰好能通过C点，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故A错误；
B．电子的轨迹如图所示
若加磁场时，电子从A到C的时间为
若加沿AE方向的匀强电场，则电子从G点射入下方电场做类平抛运动，到达C点的时间为
故B错误；
C．电子沿轨迹AGC做圆周运动到达C点时，由几何关系可知
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
故C正确；
D．若只加磁场时，电子到达C点的速度为v0；若加电场时，电子进入电场后因电场力做正功，则到达C点的速度大于v0，即电子第二次通过C点时的速度比第一次的大，故D正确。
故选CD。
5.答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)由动能定理得
Ue＝mv02
可得粒子运动到A点的速度大小
v0＝
(2)粒子在电场中运动，竖直方向做匀速运动，
vcos θ＝v0
水平方向做匀加速运动，根据动能定理有
2eEL＝mv2－mv02
联立解得E＝
(3)带电粒子进入磁场中洛伦兹力提供向心力，有
evB＝m
当粒子运动的轨迹刚好与边界PQ相切时，粒子不从PQ边界射出，虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d＝r
解得d＝。
6.答案　(1)2 m/s，方向与x轴夹角为45°斜向右下　(2)20 T　(3)(2.5＋) s
解析　(1)根据题意可知，粒子在电场E1中做类平抛运动，设经过t1时间进入磁场，有x＝v0t1
解得t1＝0.5 s
则有y＝t12＝0.5 m
粒子从(－1 m,0)处进入磁场，其速度大小
v＝＝＝2 m/s
速度方向与x轴正向夹角为θ
tan θ＝＝＝1
解得θ＝45°，速度方向斜向右下；
(2)由对称性及题意可知，粒子恰从原点进入电场E2时速度方向与x轴正向夹角也为45°，即在磁场中转过角度α＝90°，设在磁场中做圆周运动的半径为R，运动轨迹如图所示
由几何关系得d＝R
则R＝ m
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝
解得B＝20 T
(3)粒子进入电场E2做匀减速运动，当速度为零时速度反向，由动能定理有
mv2＝E2qs
解得s＝ m
在磁场做圆周运动的周期T＝＝ s
粒子在磁场中运动时间t2＝＝ s
粒子在电场E2中单程运动时间t3＝＝1 s
粒子再次进入磁场做圆周运动，由左手定则，逆时针转过90°后垂直进入电场E2，用时t4＝t2，则粒子从P点射出到第三次通过y轴的时间为
t＝t1＋t2＋2t3＋t4＝(2.5＋) s。
7．答案 （1），；（2）；（3）不能，见解析。
详解 （1）依题意，小球a在点静止释放，沿着x轴运动并与小球b发生弹性正碰，则可知小球a沿轴做匀加速直线运动，小球a受到重力与电场力的合力沿x轴正方向，有
可得
小球a与b碰撞后，由于金属小球b恰能在区域I内做匀速圆周运动，则有
可得
（2）设小球a与b碰撞前a的速度大小为，则有
代入相关已知数据求得
设a与b碰撞前的速度方向为正方向，碰撞后a的速度为，b的速度为，则有
代入数据求得
，
若，要使金属小球b能从区域Ⅱ的上边界飞出，根据
可得小球在磁场中做匀速圆周运动的半径为
当b恰好从区域Ⅱ的最左端边界处飞出时，此时b的运动半径最小，磁场最大，由几何关系求得
即
求得
当b小球从区域I进入区域Ⅱ且从区域Ⅱ的最右端飞出时，此时小球b运动半径最大，磁场最小，如图所示。由几何知识，由对称性可知
设，则
可求得最大半径
故B的取值范围。
（3）由题可知，b球在磁场中的轨道半径
在磁场中运动的轨迹如图所示
根据几何知识可得，故b球在磁场区域内运动的时间
解得
b球离开磁场，将以在第三象限做类平抛运动。设经过时间后两球可再次相碰，对b球
其中
a球碰后，将以在第三象限内做类平抛运动，其运动时间为
此时，对于a球
其中
二者再次相碰时
联立以上各式可得
与题意相悖，故二者不可能再次相碰。