北师大版八年级数学下册 6.4多边形的内角和与外角和 试题（含详解）

6.4多边形的内角和与外角和
一、单选题
1．正八边形每个内角的度数为( )
A． B． C． D．
2．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是( )边形
A．六 B．五 C．四 D．三
3．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为(　　)
A． B． C． D．
4.将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是( )
A． B． C．或 D．或或
5.如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是( )
A．外角和减少 B．外角和增加 C．内角和减少 D．内角和增加
6.如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则( )
A． B． C． D．
7.如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为( )
A． B． C． D．
二、填空题
8.八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ．
9.若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
10.一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形．
11.图(1)是一张六角発，其俯视图为正六边形[图(2)]，则该六边形的每个内角为 ．

12.已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
13.某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形(四个尖角的度数相同)铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为 °．
14.春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的(不重叠，无缝隙)，则的度数是 ．
15.如图，在正六边形中，P、Q点分别是、的中点，点M从点P出发，沿向终点Q运动，在运动过程中，若
(1)点M在边 上；
(2)若，则 ．
三、解答题
16.(1)已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数；
(2)已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数．
17.如图，在五边形中，．
(1)求的度数；
(2)试说明：．
18.如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，

(1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由．
(2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和．
19.已知：如图，四边形中，，平分，交于点E，，交于点F．
(1)求的度数；
(2)写出图中与相等的角并说明理由．
20.某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．

(1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______．
(2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：．
(3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______．
21.【题目】如图①：根据图形填空：
(1)　　，　　；
(2)______　 ；
【应用】
(3)如图②．求的度数；
【拓展】
(4)如图③，若，则的大小为度．

22．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中的度数；
(2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出的度数；
(3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程)
23.在四边形中，O在其内部，满足，．
(1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______；
(2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，，
①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系．根据正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，根据多边形的外角和为，进而求得一个外角的度数，即可求得正八边形每个内角度数．
【详解】解：∵正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，
一个外角等于：，
∴内角为，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，多边形的外角和，解题的关键是要能列出一元一次方程．根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，则
，
解得，
即这个多边形是四边形．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和公式的应用是解题关键．
根据多边形的内角和公式为列出方程，求出边数，再根据外角和定理求出这个多边形的一个外角．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意列方程：
解得，
，
故选：A．
4.D
【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题．
【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或，
其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为，
得到的多边形的内角和是或或，
故选：D．
5.D
【分析】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据n边形的内角和公式，多边形外角和都是，求解即可．
【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，
则五边形的内角和为：
六边形的内角和为：，
，
五边形六边形的外角和都是，
将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，内角和增加，外角和不变，
故选：D．
6.B
【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的性质、多边形的内角和，根据四边形的内角和为求得∠DAB+∠ABC=1500，再根据角平分线的性质及邻补角得∠PAB+∠ABP得度数，进而可求解，熟练掌握四边形的内角和为是解题的关键．
【详解】解：∵，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=3600，
∴∠DAB+∠ABC=1500．
又的角平分线与的外角平分线相交于点P，
，
，
故选B．
7.D
【分析】本题考查了多边形的外角和，任意多边形的外角和均为，延长交于点，可得据此即可求解．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
∵任意多边形的外角和均为，
且的和为，
∴
即：
∴
故选：D
二、填空题
8.11
【分析】
本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，
，
故答案为：11．
9.14或15或16
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，
∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
10.六或七或八
【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。
【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得：
，
解得：，
如图，剪切有下列三种情况：
①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形；
②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形；
③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。
故答案为：六或七或八。
11.120
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，先求出正六边形的内角和，然后求出每个内角的度数即可．
【详解】解：该六边形的每个内角为：
．
故答案为：120．
12.9
【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【详解】解：多边形的外角和都是，
内角和等于，
设这个多边形有条边，
，解得：，
从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．
故答案为：9．
13.
【分析】本题考查平面镶嵌(密铺)，关键是求出正五边形的每个内角的度数．
先算出正五边形的每个内角的度数，让减去个内角的度数和的差除以即可．
【详解】正五边形内角和为，
正五边形每个内角是，
∴．
故答案为．
14.
【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个内角为，即可求，正方形每个内角为，即可求，进而求的大小，根据即可求的度数．
【详解】解：∵正六边形的每个内角为，正方形每个内角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 3
【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理：
(1)根据点的移动路线，结合正六边形的特点，即可得出答案；
(2)过点作，利用三线合一和含30度角的直角三角形，求出的长，再过点作，利用三线合一和含30度角的直角三角形，求出的长，即可．
【详解】解：当时，点为的中点，理由如下：
当点为的中点时，
∵正六边形，
∴，，
∵P、Q点分别是、的中点，点为的中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
(2)过点作，点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：；
故答案为：3．
三、解答题
16.解：(1)设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，
所以这个多边形的边数为9．
(2)设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，
根据题意，得，解得．
∴，
所以这个多边形的边数为11．
17.(1)解：∵，
∴，
而，且，
∴，
∵．
∴；
(2)解：．理由如下：
∵，
∴，
∴．
18.(1)解：∵从点出发，每走向左转，
，
小东一共走了：()；
(2)∵由(1)得多边形有六条边，且每一条边都相等，
由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等，
∴走过的路径是一个边长为的正六边形；
∴正六边形的内角和为：．
19.(1)解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
(2)解：．理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
20.(1)解：∵，，
∴；
∵，，
∴
故答案为：，；
(2)证明：∵，，
∴，
∴．
(3)解：∵n边形的某一个外角的度数是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是，
∴，
整理得：，
故答案为：．
21.解：(1)∵是三角形的外角，
∴，
∵是三角形的外角，
∴．
故答案为：，．
(2)∵，，
∴，
故答案为：；．
(3)∵，，
∴；
(4)如图，连接并延长，

根据三角形外角性质可得：
，
同理可得：，
∵，
∴，
故答案为：．
22.(1)解：∵，
∴；

(2)∵，，
∴；

(3)观察可以发现图(1)到图(2)可以发现每截去一个角，则会增加，
所以当截去5个角时增加了，
则
23.(1)解：，，
当时，，，
，，
，，
，
，
；
故答案为：；
(2)①．
证明：，，
当时，，，
，，
，，
，
同理，
，
．
②由①得：，，
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况：
当，
，
，则，
，
，
，，
，
；
当，
，
，则，
，
，
，，
，
．
综上所述，的度数为：或．
故答案为：或．