人教版八年级数学下册 17.1勾股定理 试题（含详解）

17.1勾股定理
一、单选题
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2
C．a2+c2＝b2 D．以上都不对
2．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，则AB＝（　　）
A． B． C． D．6
3．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（　　）
A．3 B．8 C．6 D．3或8
4．如果直角三角形的三边长分别是6、8、x，则x满足（　　）
A． B．x＝10
C．或 x＝10 D．x＝28
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝16，且CD：BD＝3：5，则点D到边AB的距离为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
6．如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　）
A． B．﹣1 C． D．2﹣
7．如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，6），（8，0），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣10，0） B．（0，﹣10） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）
8．已知x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A．10 B．100 C．14 D．196
9．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　）
A． B．
C． D．
10．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．点P（9，40）到坐标原点的距离是 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），M（﹣2，3），连接AM，以点A为圆心，以AM长为半径画弧．交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　 　．
第12题 第13题
13．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为 　 　．
14．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则a+b的值为 　 　．
15．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为 　 　．
16．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．
（1）如果a＝5，b＝12，那么c＝　 ．
（2）如果c＝61，a＝60，那么b＝　 　．
（3）若∠A＝45°，a＝2，则c＝　 　．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝12，AB＝20．
（1）试说明：CE＝CF；
（2）试着求出线段CE的长．
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图中画一条线段MN，使MN＝；
（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
20．阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：
（1）图1是由2个边长分别为a，b的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为 　 　；
（2）图2所示的图形是由四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
（3）在Rt△ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长，且a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，求直角三角形的斜边长c．
答案
一、单选题
1．
【分析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：a2+c2＝b2．
故选：C．
2．
【分析】根据勾股定理即可直接求出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
∴．
故选：B．
3．
【分析】因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：①当4为底时，其它两边都为6，
4、6、6可以构成三角形，
底边上的高为＝4，
∴等腰三角形的面积＝×＝8；
②当4为腰时，
其它两边为4和6，
∵4+4＝8＞6，
∴能构成三角形，
∴底边上的高为＝＝，
∴等腰三角形的面积＝×6＝3．
故选：D．
4．
【分析】本题考查的是勾股定理，分直角边边长是8和斜边边长是8两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当直角边边长是8时，
则x2＝62+82＝100，
则x＝10；
当斜边边长是8时，则x2＝82﹣62＝28，
则；
综上所述：x的满足或 x＝10，
故选：C．
5．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则DE即为点D到边AB的距离，根据角平分线的性质即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵BC＝16，且CD：BD＝3：5，
∴CD＝6，BD＝10，
∴DE＝6，
即点D到边AB的距离为6，
故选：C．
6．
【分析】根据题意运用勾股定理求出AC的长，即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，
由勾股定理得，AC＝，
则点D表示的数为﹣1．
故选：B．
7．
【分析】根据勾股定理求出AB的长度，进而得出答案．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（0，6），（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∴，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，
∴AC＝AB＝10，
∴OC＝AC﹣OA＝10﹣6＝4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）．
故选：D．
8．
【分析】由绝对值和偶次方的非负性质解出x、y的值，再由勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积．
【解答】解：∵x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，
∴x﹣6＝0，y﹣8＝0，
∴x＝6，y＝8，
∴以x，y的长为直角边作一个直角三角形的斜边长为＝10，
∴以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为102＝100，
故选：B．
9．
【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意；
故选：D．
10．
【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得，将两式相加并求解即可获得答案．
【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，
∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，
∴可有，
解得c2＝18，
解得或（不合题意，舍去），
∴大正方形的边长是．
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：点P（9，40）到坐标原点的距离是；
故答案为：41．
12．
【分析】过M点作MB⊥x轴于B点，由点的坐标求解AB的长，再根据勾股定理求出AM，即可求得AN的长，由坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：过M点作MB⊥x轴于B点，
∵A（1，0），M（﹣2，3），
∴OA＝1，MB＝3，OB＝2，
∴AB＝3，
在Rt△ABM中，AM＝，
∴AN＝AM＝，
∴ON＝AO﹣OA＝﹣1，
∵C点在x轴的负半轴上，
∴点C坐标为（1﹣，0）．
故答案为：（1﹣，0）．
13．
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+π×（）2+﹣π×（）2＝6，
故答案为：6．
14．
【分析】根据图形表示出大，小正方形的面积：（b﹣a）a2+b2＝34，（b﹣a）2＝4，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：∵大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，
∴a2+b2＝34，（b﹣a）2＝4，
∴4×ab＝34﹣4＝30，
∴2ab＝30，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8．
故答案为：8．
15．
【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长可解答；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BD﹣CD求出BC的长可解答．
【解答】解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD＝＝＝2；
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD＝＝＝3，
此时BC＝BD+DC＝2+3，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝6+5+2+3＝14+2；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD＝＝＝2；
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD＝＝＝3，
此时BC＝BD﹣DC＝2﹣3，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝6+5+2﹣3＝8+2；
综上，△ABC的周长为14+2或8+2．
故答案为：14+2或8+2．
16．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）先求出∠B，根据等角对等边得出b＝a＝2，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴c＝＝＝13．
故答案为13；
（2）∵在△ABC中，∠C＝90°，c＝61，a＝60，
∴b＝＝＝11．
故答案为11；
（3）∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝45°，
∴∠B＝∠A，
∴b＝a＝2，
∴c＝＝＝2．
故答案为2．
三、解答题
17．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CFA＝∠CEF，
∴CE＝CF；
（2）解：如图，过点F作FG⊥AB于点G．
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠GAF，
在△ACF和△AGF中，
，
∴△ACF≌△AGF（AAS），
∴AC＝AG＝12，CF＝GF，
∴BG＝AB﹣AG＝20﹣12＝8，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝16，
设CE＝CF＝x，则GF＝x，BF＝BC﹣CF＝16﹣x，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BF2＝BG2+FG2，
即（16﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝6，
答：线段CE的长为6．
18．解：（1）∵点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数，
∴，
∴﹣1＜a＜，
∵a为整数，
∴a＝0，
∴A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1）；
（2）∵A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1），
∴AB＝5，
∵点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴AC＝AB＝5，
∵AC＝，
∴（m+4）2+16＝25，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣7．
∴m的值为﹣1或﹣7．
19．解：如图所示：
20．解：（1）根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为（a+b）2；
结合图形，得到正方形的面积还等于a2+2ab+b2，
故（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）∵，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（3）∵a2﹣b2＝28，
∴（a+b）（a﹣b）＝28，
∵a﹣b＝2，
∴a+b＝14，
∴a＝8，b＝6，
∵a2+b2＝c2，
∴c2＝100，
∴c＝10，c＝﹣10（舍去）．