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2025江苏版数学中考专题
第五章 四边形
第1节 平行四边形
基础练
1．[2024无锡模拟]在平行四边形中， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．如图，平行四边形中，，分别为，边上的一点，增加下列条件，不一定能得出的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．[2023盐城一模]如图，直线经过的对角线交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024常州一模]如图，在中，，平分交边于点，且，则的长为______.
【答案】3
5．如图，的周长为32，对角线，相交于点.点是的中点，，则的周长为__.
【答案】13
6．[2024徐州模拟]如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若的面积等于6，求的面积.
解：（1） 证明： 四边形是平行四边形，，，
，，
四边形是平行四边形.
（2） ，，
四边形是平行四边形，
，
，.
7．[2024南京模拟]如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若平分， ，，求的面积.
解：（1） 证明： 四边形是平行四边形，，，
，
点是边的中点，，
在和中，
，
，又，
四边形是平行四边形.
（2） 四边形是平行四边形，
，，，，
平分，，
，，又 ,
是等边三角形，
，，
，
，
，，
的面积.
提升练
8．[2023镇江二模]平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图， ，，，把平行四边形绕点逆时针旋转，使点落在轴正半轴上，则旋转后点的对应点的坐标为（ ）
A. ， B.
C. D. ，
【答案】D
【解析】如图,即为旋转后的图形，作轴于点，
由题意知，， ,又 ,，， 旋转后点B的对应点的坐标为.
9．[2024徐州模拟]如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若 ，，，，则的周长为____________.
【答案】
【解析】 ，四边形为平行四边形， ，
由折叠可知，又，，，，.设，则，在中，由三角形内角和定理可得 ，解得 ， ,,,故平行四边形的周长为.
10．[2024苏州一模]如图，在平行四边形中，，点为边的中点，若，则的值为________.
【答案】
【解析】过点作交延长线于点，，点为边的中点，，，设，则，，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，，，，
.
11．[2024无锡一模]如图，在中，点在线段上，点在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为__.
【答案】24
【解析】如图，连接，过作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，，，，， 四边形、四边形是平行四边形，易得，，，.设平行四边形的边上的高为，则，，，.
12．[2024南通一模]如图，平行四边形中， ，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，延长到点，使，连接，，
四边形是平行四边形，，，，， 易证，，， 当、、共线时，取最小值，为的长.过点作于点， ， ，，，，，，，即的最小值为.
13．[2024无锡一模]在中，，点是边上一点，将沿着翻折,得到.
图1 图2
（1） 如图1，若、、三点共线.
① 求证：；
② 若，，求的长.
（2） 如图2，若，点是中点，，求的面积.
解：（1）① 证明： 四边形是平行四边形，，，
由翻折得，
，.
② 由翻折得，，
，，
， ，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，，，，，
由①知，
，，
，.
（2） 过点作于点，过点作于点，
为中点，，
，
由翻折得，，
，
，即.
设，则，
，
，
解得，，
，
，即，设，则，
，，，
，
解得或（舍去），
，
，
的面积为.
第2节 矩形、菱形、正方形
基础练
1．[2024南通一模]如图，四边形的对角线，相交于点，，且，添加下列条件中的一个，能判定四边形是菱形的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2024无锡一模]如图，在矩形中，对角线，交于点，过点作交于点，交于点.已知，的面积为5，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】连接，由题意可得，为对角线的垂直平分线，，，，.易得，，在中，由勾股定理得.
3．[2024苏州一模]如图，正方形的面积为3，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接， 正方形的面积为3，，，，， ， ，平分， .在中，，，，是等腰直角三角形，，
，分别是，的中点，.
4．[2024宿迁一模]如图，在正方形的外侧作一个，已知， ，那么等于________.
【答案】
5．[2024淮安一模]在菱形中， ，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是____________________.
【答案】或
6．[2024南通一模]如图，在矩形中，，.动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、C移动.当四边形为菱形时，的长为________.
【答案】
【解析】连接，，，， 四边形是菱形，，，，，，，，.
7．[2024连云港二模]如图，点是矩形对角线上的点（不与，重合），连接，过点作交于点.连接交于点，.
（1） 求证：；
（2） 试判断线段与的位置关系，并说明理由.
解：（1） 证明： 四边形是矩形，， ，
，，
，
， ，
,
即.
（2）.
理由：，，
又，垂直平分，
即.
8．[2024扬州一模]如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求的长.
解：（1） 证明：，
，
为的平分线，
，，
，,,
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形.
（2） 四边形是菱形，
，，
又，，
，，
在中，，，
，
.
提升练
9．[2024无锡二模]如图，矩形中，，，点、分别是、上的动点，且，点是的中点，则的最小值是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以点A为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 四边形是矩形，，，，，，，，易得直线的解析式为，
设，则，
是中点，，
， 当时，，的最小值.
10．[2024南京一模]如图，在菱形中，过点作，垂足在的延长线上，过点作，垂足为.若，，则菱形的边长为________.
【答案】
【解析】在菱形中，，，，，， ，，，
，即，，，在中，由勾股定理得，，（负值舍去），.
11．[2024常州模拟]如图，在边长为4的正方形中，为的中点，
过上一点作，分别交、于点、，连接，当时，的长为________.
【答案】
【解析】延长，相交于点，连接， 四边形是正方形，
，，为的中点，，，
，，，
， ，
又 ,
，，
，
易得，设，则，，，，，即，，，，
，
.
12．[2024盐城二模]如图，四边形是矩形，点在边的延长线上，点在边上，且，，延长交于点.
（1） 求证：是直角三角形；
（2） 连接,求的值；
（3） 写出三条线段、、之间的等量关系，并说明理由.
解：（1） 证明： 四边形是矩形，
，，，
， ，
，，，，
，
，
，
， ，
是直角三角形.
（2） 如图，在线段上取点，使得，
在和中，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
由（1）知 , ，.
（3） ，理由如下：
由（2）知为等腰直角三角形，
，又,
.
13．[2024南京三模]如图1，正方形中，点是上一点，连接交正方形对角线于点，连接.
图1 图2
（1） 求证：.
（2） 如图2，连接交于点，点是上一点，连接交于点，，延长交的延长线于点.
① 求证：；
② 若，，求的长.
解：（1） 证明： 四边形是正方形，， ，
在和中，
，.
（2） ① 证明： 四边形为正方形，
，
， ，
，，
由（1）知，
，
，.
② 作于点，
， ，
，
， ，
四边形为正方形，
，
，，
，
，，，
，，，，
.
，，
.
第五章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024无锡一模]下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 内角和为 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直
【答案】D
2．[2024盐城二模]在菱形中，， ，则的长为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
3．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024无锡二模]如图，在矩形中，，对角线与相交于点,垂直平分,垂足为点，则的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
5．[2024南通一模]如图，用4个全等的三角形、、、和2个全等的三角形、拼成矩形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，，则，，在中，，在中，，.
6．[2024南通一模]如图，点为正方形内一点， ，延长交于点.若，则正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，过点作于点， ，， ， 四边形是正方形，， ，， ，是等边三角形， ，， ， ， ，又 ，，， ， ， ， 在中，，，， 正方形的边长为 .
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．[2024徐州模拟]如图，菱形中，对角线，相交于点，为的中点.若菱形的周长为32，则的长为______.
【答案】4
8．[2024扬州二模]如图，的对角线、相交于点，的平分线与边相交于点，点是中点，若，，则的长为______.
【答案】1
9．[2024无锡模拟]在矩形中，是边的中点，连接，若， ，则对角线的长是________.
【答案】
10．[2024常州一模]如图，正方形的边长为10，与相交于点，，，，则线段的长为__.
【答案】75
11．[2024南通二模]如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上.若直线且间距相等，，，则 的值为________.
【答案】
【解析】作于点，交于点，设交于点，
易知，，即，，，，， 四边形是矩形， ，， 的值为.
12．[2024扬州一模]如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，.当取最小值时，的长是__________.
【答案】
【解析】过点作于点，则， ， 正方形的边长为8，， ，是的中点，，，， ，，，.将沿方向平移至，连接，则， ，，当、、三点共线时，的值最小，此时， ,,,易证,
,,.
三、解答题（共40分）
13．[2024连云港二模]（10分）如图，中，，交于点，点是的中点，分别过，两点作线段的垂线，垂足分别为，.
（1） 求的长；
（2） 求证：四边形为矩形.
解：（1） ， ，
点是的中点，
.
（2）证明：，，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，，，
四边形是平行四边形，
又 ，
四边形为矩形.
14．[2024南京一模]（12分）如图，在四边形中，平分，.
（1） 若，求证：四边形是菱形.
（2） 若，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由;若不成立，请举出反例.
解：（1） 证明：平分，
，
，，
，，
，，，
四边形是菱形.
（2） 若，则（1）中结论不成立，如图，
此时，平分，但四边形是等腰梯形，不是菱形.
15．[2024南通二模]（18分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一张矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．
备用图
【操作猜想】
（1） 甲小组给出了下面的操作与猜想：
甲小组的操作与猜想 操作：如图，在，上分别取点，，将沿直线翻折，得到． 猜想：当时，．
请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由.
【深入探究】
（2） 乙小组按照甲小组的方式操作，发现当时，点恰好落在矩形的对角线上．请求出此时线段的长度.
【拓广延伸】
（3） 丙小组按照甲小组的方式操作，进一步探究并提出问题：当时，过点作交射线于点，当时，的长是多少？请解答这个问题．
解：（1）甲小组的猜想正确．
理由： 四边形为矩形，
，，
由折叠得，
又，
，.
（2） 在中，，，
，
由折叠得，，
由（1）可知，
，．
，
，．
同理，.
（3） ①当点在下方时，如图1，延长交于点，
图1
同（2）可证，
，
，，
，，
由（1）可得，
，
，
，
设，则，
，．
，，
，，
.
②当点在上方时，设交于点，如图2．
图2
同①可得，，，，
，
，.
综上，或．
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第五章 四边形
第1节 平行四边形
基础练
1．[2024无锡模拟]在平行四边形中， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形中，，分别为，边上的一点，增加下列条件，不一定能得出的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023盐城一模]如图，直线经过的对角线交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024常州一模]如图，在中，，平分交边于点，且，则的长为______.
5．如图，的周长为32，对角线，相交于点.点是的中点，，则的周长为__.
6．[2024徐州模拟]如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若的面积等于6，求的面积.
7．[2024南京模拟]如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若平分， ，，求的面积.
提升练
8．[2023镇江二模]平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图， ，，，把平行四边形绕点逆时针旋转，使点落在轴正半轴上，则旋转后点的对应点的坐标为（ ）
A．， B．
C． D．，
9．[2024徐州模拟]如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若 ，，，，则的周长为____________.
10．[2024苏州一模]如图，在平行四边形中，，点为边的中点，若，则的值为________.
11．[2024无锡一模]如图，在中，点在线段上，点在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为__.
12．[2024南通一模]如图，平行四边形中， ，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为________.
13．[2024无锡一模]在中，，点是边上一点，将沿着翻折,得到.
图1 图2
（1） 如图1，若、、三点共线.
① 求证：；
② 若，，求的长.
（2） 如图2，若，点是中点，，求的面积.
第2节 矩形、菱形、正方形
基础练
1．[2024南通一模]如图，四边形的对角线，相交于点，，且，添加下列条件中的一个，能判定四边形是菱形的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．[2024无锡一模]如图，在矩形中，对角线，交于点，过点作交于点，交于点.已知，的面积为5，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
3．[2024苏州一模]如图，正方形的面积为3，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024宿迁一模]如图，在正方形的外侧作一个，已知， ，那么等于________.
5．[2024淮安一模]在菱形中， ，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是____________________.
6．[2024南通一模]如图，在矩形中，，.动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、C移动.当四边形为菱形时，的长为________.
7．[2024连云港二模]如图，点是矩形对角线上的点（不与，重合），连接，过点作交于点.连接交于点，.
（1） 求证：；
（2） 试判断线段与的位置关系，并说明理由.
8．[2024扬州一模]如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求的长.
提升练
9．[2024无锡二模]如图，矩形中，，，点、分别是、上的动点，且，点是的中点，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
10．[2024南京一模]如图，在菱形中，过点作，垂足在的延长线上，过点作，垂足为.若，，则菱形的边长为________.
11．[2024常州模拟]如图，在边长为4的正方形中，为的中点，
过上一点作，分别交、于点、，连接，当时，的长为________.
12．[2024盐城二模]如图，四边形是矩形，点在边的延长线上，点在边上，且，，延长交于点.
（1） 求证：是直角三角形；
（2） 连接,求的值；
（3） 写出三条线段、、之间的等量关系，并说明理由.
13．[2024南京三模]如图1，正方形中，点是上一点，连接交正方形对角线于点，连接.
图1 图2
（1） 求证：.
（2） 如图2，连接交于点，点是上一点，连接交于点，，延长交的延长线于点.
① 求证：；
② 若，，求的长.
第五章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024无锡一模]下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．[2024盐城二模]在菱形中，， ，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024无锡二模]如图，在矩形中，，对角线与相交于点,垂直平分,垂足为点，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．[2024南通一模]如图，用4个全等的三角形、、、和2个全等的三角形、拼成矩形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024南通一模]如图，点为正方形内一点， ，延长交于点.若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．[2024徐州模拟]如图，菱形中，对角线，相交于点，为的中点.若菱形的周长为32，则的长为______.
8．[2024扬州二模]如图，的对角线、相交于点，的平分线与边相交于点，点是中点，若，，则的长为______.
9．[2024无锡模拟]在矩形中，是边的中点，连接，若， ，则对角线的长是________.
10．[2024常州一模]如图，正方形的边长为10，与相交于点，，，，则线段的长为__.
11．[2024南通二模]如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上.若直线且间距相等，，，则 的值为________.
12．[2024扬州一模]如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，.当取最小值时，的长是__________.
三、解答题（共40分）
13．[2024连云港二模]（10分）如图，中，，交于点，点是的中点，分别过，两点作线段的垂线，垂足分别为，.
（1） 求的长；
（2） 求证：四边形为矩形.
14．[2024南京一模]（12分）如图，在四边形中，平分，.
（1） 若，求证：四边形是菱形.
（2） 若，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由;若不成立，请举出反例.
15．[2024南通二模]（18分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一张矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．
备用图
【操作猜想】
（1） 甲小组给出了下面的操作与猜想：
甲小组的操作与猜想 操作：如图，在，上分别取点，，将沿直线翻折，得到． 猜想：当时，．
请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由.
【深入探究】
（2） 乙小组按照甲小组的方式操作，发现当时，点恰好落在矩形的对角线上．请求出此时线段的长度.
【拓广延伸】
（3） 丙小组按照甲小组的方式操作，进一步探究并提出问题：当时，过点作交射线于点，当时，的长是多少？请解答这个问题．
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