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2025江苏版数学中考专题
第四章 三角形
第1节 基本平面图形、相交线与平行线
基础练
1．[2024南通二模]若点是线段的中点，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024泰州三模]已知，与 互余的角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024扬州二模]如图，直线，相交于点，若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024盐城二模]下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2024泰州一模]下列命题中，真命题是（ ）
A. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
B. 对角线相等的四边形是菱形
C. 五边形的内角和是
D. 等边三角形是中心对称图形
【答案】A
6．[2024常州模拟]下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
7．[2024南通一模]如图，把一个含 角的直角三角板的直角顶点放在直尺上， ， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．[2024无锡模拟]“同位角相等”的逆命题是____________________.
【答案】相等的角是同位角
9．[2024南京二模]如图， ，，是射线上的动点，则长的最小值是________.
【答案】
10．[2024盐城一模]跨学科·物理光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化.如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若 ， ，则的度数是________.
【答案】
11．[2024宿迁三模]如图，，， ，则__ .
【答案】55
12．[2024徐州模拟]如图，直线，均被直线，所截，已知 ， ，则的度数为__________.
【答案】
13．[2023常州模拟]一个角的补角比它的余角的3倍少 ，这个角的度数是________.
【答案】
14．[2023无锡模拟]钟表上的时间为9时30分，则时针与分针夹角的度数为__________.
【答案】
15．[2023淮安一模]如图，已知，直线分别交直线、于点、，、分别平分、.
（1） 求证；
（2） 请用文字概括（1）所证明的命题：
____________________________________________________.
解：（1） 证明：，
，
、分别平分、，
，，
，
，.
（2） 两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直.
提升练
16．[2024盐城模拟]如图是路政工程车的示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
17．[2024徐州三模]跨学科·物理如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线，交于点，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜略有偏差.若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
18．[2024徐州一模]如图，已知， ， ，则的度数为________.
【答案】
19．[2023扬州二模]如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若 ，则________.
【答案】
【解析】由题意，设,,则 , , .
20．已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，且其中一个角的3倍比另一个角的多 ，则这两个角的度数分别为______________________________________________.
【答案】、 或 、
【解析】如图，这两个角与之间的数量关系是相等或互补，由题意易得这两个角的度数分别为 、 或 、 .
第2节 三角形与多边形
基础练
1．[2024宿迁二模]现有两根长度分别为3和4（单位：）的小木棒，下列长度的小木棒不能与它们拼成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024扬州二模]若一个多边形的内角和为 ，则该多边形的边数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
3．[2024宿迁二模]一天，小明和爸爸一起看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，若 ，你能求出比大多少吗？”请你帮小明计算一下，正确的答案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024盐城模拟]将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024南京模拟]如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
6．[2023无锡一模]王师傅用6根木条钉成一个六边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的根数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
7．[2024淮安一模]如图，、、、是平面内四点，若，，，则线段的长度可能是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
8．[2024盐城二模]一副三角板按如图所示的方式摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若 ，则的度数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9．[2024扬州二模]一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形的每个外角是__ .
【答案】36
10．[2024连云港二模]有公共边的正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，延长交正六边形于点.
（1） 的度数为__________；
（2） 的度数为__________.
【答案】（1）
（2）
11．如图，在五边形中， ，，分别平分，，则的度数是________.
【答案】
12．[2024连云港模拟]如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__度.
【答案】45
提升练
13．[2024泰州三模]将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若 ，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
14．如图，在中， ，与的平分线相交于点，得；与的平分线相交于点，得；……；与的平分线相交于点，得.要使的度数为整数，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
15．在中，，，若为钝角，则的长的取值范围是____________.
【答案】
16．[2024无锡模拟]一个直角三角形的两直角边长分别为8和15，则这个直角三角形的重心与外心之间的距离为________.
【答案】
17．[2024宿迁模拟]如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为______.
【答案】1
18．如图，的度数为____ .
【答案】360
【解析】设与、分别交于点、，，， .
19．如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，为直线上一点，点在直线外，且 ，若是上一点，且是“准直角三角形”，则________________________________________________.
【答案】或 或 或
【解析】①点在点左侧，是“准直角三角形”，且 ， ， ， ， ；
②点在点左侧，是“准直角三角形”，且 ， ， ， ；
③点在点右侧，是“准直角三角形”，且 ， ， ， ， ；
④点在点右侧，是“准直角三角形”，且 ， ， ， .
综上所述，的度数为 或 或 或 .
20．如图，在由边长为1个单位的正方形组成的网格中，的顶点均为格点，经过平移后得到，图中标出了点的对应点.根据下列条件，利用格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）.
（1） 画出；
（2） 画出的高；
（3） 连接，，那么与的关系是____________，线段扫过的区域的面积为____；
（4） 在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有__个.
解：（1） 如图所示，即为所求.
（2） 如图所示，即为所求.
（3） 平行且相等；10.
（4） 8.
详解 ：如图，虚线上的格点均符合要求.
第3节 全等三角形
基础练
1．[2024扬州二模]工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在的边、上分别取、，使，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别 与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2024常州一模]图中的小正方形的边长都相等，若，则点可能是、、、四个点中的点______.
【答案】D
3．[2024南通一模]如图，，与交于点，请添加一个条件：____________________________，使.（只填一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
4．[2024宿迁一模]如图，在中， ，平分，，，则点到的距离是________.
【答案】
5．如图，在中， ，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的周长为__.
【答案】18
6．[2024苏州二模]如图，已知，点在上，与交于点，，， ， .
（1） 求的长度；
（2） 求的度数.
解：（1），
，
.
（2） ，
，
.
7．[2024苏州三模]如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证：
（1） ；
（2） .
证明：（1） ，，
，
即.
（2） ，
，
即，
在和中，
，.
提升练
8．[2024苏州一模]如图，在中，，，、分别是角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 7
【答案】A
9．[2024南京模拟]如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上， ，则等于（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
10．[2024盐城模拟]已知，其中 ，，，、分别为、的中点，将两个三角形按图①中的方式摆放（、、共线），三角形沿方向平移至点与点重合（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（ ）
图① 图②
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图1，连接，易知此时最大， ，，，，，，， ， ， ， ，，、分别为、的中点，.
图1
如图2，当时，最小，延长交于点，根据中位线的性质可得，，.综上所述，的取值范围是.
图2
11．[2023南京一模]如图，在中， ， ，，，分别是射线，射线上的点，，的垂直平分线交于点，当点落在上时，长的最小值为________.
【答案】
【解析】连接、、，、的垂直平分线交于点，， 点是外接圆的圆心，作出此外接圆， ， ，是等腰直角三角形，， 当的长最小时，的长最小，当时，长最小， ，， 此时，，长的最小值是.
12．[2024常州一模]如图，中， ， ，点是边上的一点，连接，以为边向下作等边，过点作，垂足为，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
解：（1） 证明：是等边三角形，
，，
，
在和中，
.
（2） ， ，
，，
，
，，
，
.
13．[2024盐城模拟]已知是等腰直角三角形， ，.
图① 图②
（1） 将一个直角的顶点放在的中点处（如图①），两条直角边分别交、于点、，请说明为等腰直角三角形；
（2） 将直角顶点放在边上的某处（如图②），两条直角边分别交、于点、，若为等腰直角三角形，且面积为4，求的长.
解：（1） 过点作于点，于点，连接，
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，，，，
， ，
，
，
，
，
在和中，
，，
是等腰直角三角形.
（2） 过点作于点，
，为等腰直角三角形，， ，
，，
在和中，
，，
， ，
， ，
，
设，则，
的面积为4，
，，
在中，，
，
或，或.
微专题5 全等三角形模型
1．[2024南京模拟]如图，、、三点在一条直线上，和均为正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：；；；.其中所有正确结论的序号是____.
【答案】①③④
【解析】和均为等边三角形， 易证，， 易证，， ，是等边三角形， ， ，，故①正确；
，， ， ，如图，过点作于点，于点，，，，，，，，故③正确；
E，= ，，，，，，， ， ，，，，故④正确；
， ，， 点到的距离点到的距离，，，故②错误.
2．【基础巩固】
（1） 如图1，为等腰直角三角形， ，求证：；
图1
【尝试应用】
（2） 如图2，在（1）的条件下，连接，，求的长；
图2
【拓展提高】
（3） 如图3，在中，，分别在直角边，上，， ，求的值.
图3
解：（1） 证明：是等腰直角三角形，，
，
， ，，
在和中，
.
（2） 过点作于点.
，
四边形是矩形，，
，，，
由（1）知，
，，，
设，则，
在中，，
即，
或（舍去），
.
（3） 过点作，在上截取,使得，连接、，作的平分线交的延长线于点，设，，则，，
在和中，
，
，，
，
，
， ，
，
又 ，
，
平分，，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
整理得，
（负值舍去），
.
3．在几何图形中，两个共顶点的角中的小角的角度是大角的一半，我们称之为“半角模型”.
（1） 如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且 ，写出图中线段，，之间的数量关系：____________________；
图1
（2） 如图2，四边形中，， ， ，且，，，求的长；
图2
（3） 如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于____；
图3
（4） 如图4，边长为6的正方形中，的顶点、分别在、边上，且，连接分别交、于点，，若，求的长.
图4
解：（1）.
（2） 在上取一点，使得，连接, ，
， ，，
，，
，
，，
，
，
， ，
，，
，，
设，则，，
在中，，
，
，.
（3） 13.
（4） 延长至点，使，连接，
四边形是正方形，
， ，
，
，，
又，，
，
，
，
在上截取，连接，，
同理可证，
， ，
，
，
， ，，
，，
，设，
，，
，
，
，
解得，.
微专题6 与角平分线有关的添加辅助线的方法
1．如图，点是的外角的平分线上的一点，垂直平分，，求证：.
证明：作于点，
是的平分线，，
， ，
垂直平分，，
在和中，
，
.
2．如图，在中，，，于，求证：.
证明：延长交于点，
，，
，
，，
，，
，
，，
，，
.
3．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，求的值.
解：过点作，交于点，
，，
平分，，
，，
，，
，即，，
，，.
4．【感悟】
（1） 如图1，是的高线，，若，，求的长.
小明同学的解法是：将沿折叠，则点刚好落在边上的点处.请你直接写出答案：__.
图1
【探究】
（2） 如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明.
图2
【拓展】
（3） 如图3，在四边形中，平分，，.
①求证： ；
②若，求的长.
图3
解：（1） 9.
（2），证明如下：
如图1，在上截取，连接，
平分，，
在和中，
，
，，
， ，
，
，
，
，
，，
，
.
图1 图2
（3） ①证明：如图2，在上截取，连接，
同（2）可证，
，，
，，，
，
.
②由①得 ，，，
， ，
，为等边三角形，
，.
第4节 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2024南京三模]下列是勾股数的为（ ）
A. ，， B. 1，1，
C. 7，8，9 D. 13，84，85
【答案】D
2．[2024宿迁二模]等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】A
3．[2024盐城一模]如图，在中， ， ，的平分线交于，于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024淮安一模]已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，点在直线上，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024常州二模]如图，在中，是斜边的中点，连接，若，，则__.
【答案】12
6．[2024南京模拟]如图，在中，平分，且于点，交于点，，.那么的周长为______.
【答案】4
7．[2024苏州一模]定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐三角形”.若“和谐三角形”的面积为2，则其腰长为______.
【答案】
8．[2024无锡一模]如图，在四边形中， ，平分，，垂足为，且.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的度数.
解：（1） 证明：， ，
，
平分，，
在和中，
.
（2） ，
，，
，
.
9．[2024徐州模拟]如图，中， ，是上的一点，，过点作，并截取.
（1） 求证：是等腰直角三角形；
（2） 延长至点，使得，连接并与的延长线相交于点，求的度数.
解：（1） 证明：， ,
,
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形.
（2），，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰直角三角形，
.
提升练
10．[2024南京模拟]如图，中， ，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点.下列结论：；；是等腰三角形；；.其中正确的个数是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】，， ， ， ，， ， ，，，，，故①正确；
，平分，， ，，，故②正确；
平分， ， ，，， ， ，， ，，是等腰三角形，故③正确；
，，，故④正确；
平分， 点到的距离等于点到的距离，，故⑤正确.
11．[2024南京二模]如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为，此时梯子的倾斜角为 ，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子倾斜角为 ，那么的长度是______（用含的代数式表示）.
【答案】
【解析】过点作，垂足为点，连接，由题意得，为等边三角形，， ， ， ，，易证，.
12．[2024扬州一模]如图，在中，边上的高，点为上的点，且，若，则图中阴影部分的面积为__.
【答案】20
【解析】设,，则,
,
.
13．[2024南京三模]如图，在中， ，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为________.
【答案】
【解析】在中， ，，，，垂直平分，，，过点作于点， ，是角平分线，，，，，，，，，，，，，，.
14．[2024扬州二模]如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设，，连接，，若与的面积相等，则__________.
【答案】
【解析】，，，，与的面积相等，，，，，（负值舍去）.
15．[2024南京模拟]如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点.
（1） 探究的形状；
（2） 求证：；
（3） 延长交于点，若，求的正切值.
解：（1） 是等边三角形，
， 将绕点顺时针旋转至，
，，
是等边三角形.
（2） 证明：是等边三角形，
， ，
，
又， ，
，
将绕点顺时针旋转至，，
，
又 ，
，
在和中，
.
（3） 过点作于点，
由（2）得，,设，则，，
，
，，
，，
，，
，，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，，
.
微专题7 与中点有关的添加辅助线的方法
1．如图，四边形是由两个直角三角板拼成的，其中 ， ，为边的中点，连接，交于点.若，则的长为____.
【答案】3.6
2．如图，点为平行四边形的对角线和的交点，点为边的中点，连接交于点，则的值为________.
【答案】
3．如图，在中，， ，，为的中点，，则的面积为________.
【答案】
4．如图，的平分线与边上的中线互相垂直，且，则________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，设与的交点为，
是中线，是的中位线，
，，
是的平分线，，
， ，
，为等腰三角形，，
又，，
是的中位线，
，
，
.
5．如图， ，分别以、为斜边，向的内侧作等腰、等腰，点是的中点，连接、.
（1） 若，，求的长；
（2） 求证：.
解：（1） 在中，，
在中，，
.
（2） 证明：延长交于点.
在和中，
，
，，
又是的中点，
，.
6．已知点是直角三角形斜边上一点（不与，重合），分别过，向直线作垂线，垂足分别为，，为斜边的中点.
（1） 如图1，当点与点重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________；
图1
（2） 如图2，当点不与点重合时，若，，的面积等于3，求的面积.
图2
解：（1） ；.
（2） 延长、交于点，
同（1）可得，
，
在和中，
，，
，
，
，，
，
，
设，，
,,
,
,.
第四章 章节检测（一）
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．[2024徐州模拟]已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（ ）
A. 22 B. 19 C. 17 D. 17或22
【答案】A
2．下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024南通二模]如图，数轴上点，分别对应2，4，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A. B. C. 5 D.
【答案】B
4．[2024南京模拟]在边长分别为，，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2024宿迁一模]如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】B
6．[2024苏州一模]《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺;斜放,恰好能出去.则竿长为（ ）
A. 10尺 B. 5尺 C. 10尺或2尺 D. 5尺或4尺
【答案】A
二、填空题（每小题4分，共28分）
7．已知，则 的余角的度数是____ .
【答案】42.5
8．[2024南通一模]正十二边形的外角和为____ .
【答案】360
9．[2024连云港二模]将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若， ，则__________．
【答案】
10．[2024南通二模]如图，在中， ，，，AB的垂直平分线交于点，交于点，则的长等于________.
【答案】
11．[2024常州一模]如图，在中， ，，，点为上的一点，若是的平分线，则______.
【答案】5
12．[2023镇江一模]如图，四边形中， ， ，连接、.点是的中点，连接、.若，则的面积为__.
【答案】18
【解析】由题意得，、、、四点共圆， ， ， ，.
13．[2024南京一模]如图，在中，，是的高.若，则长的最小值为__________.
【答案】
【解析】取的中点，过点作，过点作，交于点，则 ，， ，，，是的高，， ，，，连接、，则，为中点，，垂直平分，，由三角形三边关系可知， 当、、三点共线时，的最小值为.
三、解答题（共48分）
14．[2024泰州三模]（12分）如图，在中， ，点是边上一点（不与点，重合），线段是由线段绕点逆时针旋转 得到的，连接.判断直线与的位置关系，并说明理由.
解：.
理由：延长交于点，
，，
， ，
， ，
，
，即.
15．[2024无锡三模]（16分）如图，在中， ，，是边上的一点，以为直角边向右侧作等腰，其中 ，连接.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的长.
解：（1） 证明：，
，
即，
在和中，
.
（2） ，，
， ，
，
，
，.
16．[2024徐州模拟]（20分）如图，平面直角坐标系中，等边的顶点在轴上，边在轴上，点的坐标为，点是平面内一点，.
（1） 当点在轴正半轴上时，点与点关于轴对称，求的坐标.
（2） 当点在第一象限时，点在轴上， ，沿折叠，点落在处.
① 求证：平分.
② 对比（1），的位置是否发生改变？若改变，请求出此时的坐标；若不变，请说明理由.
（3） 点在线段上时，直接写出的面积的变化范围.
解：（1） 由题意得，， ，
，
点在轴正半轴上，
,
，
，.
（2） ① 证明：过点作于点，
， ，，
，,
由（1）得，，
， ，
平分.
② 不变，理由如下：
把沿折叠，点落在点处，点在轴上，
平分，，
由①得平分，
、、三点共线，在轴上，
由①可得，
，即，
由①知，
，
易知点在轴的负半轴上，
，即点的位置不变.
（3） .
详解： 由题意知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在线段上运动， 当点与点重合，且时，最大，此时;当、、三点共线时，构不成三角形，.
第5节 相似三角形
基础练
1．[2024连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
甲 乙 丙 丁
A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁
【答案】D
2．[2024常州模拟]如图，点、分别在的边、上，要使，需加一个条件，则以下所添加的条件不正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2024南通模拟]如图，平行于的线段把分成面积相等的两部分，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
4．[2024常州模拟]如图，平面直角坐标系中，原点为位似中心，若点坐标为，点坐标为，，则长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
5．[2024宿迁模拟]点是的黄金分割点，，若，则____.（结果精确到）
【答案】6.2
6．[2024常州一模]如图，在矩形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________.
【答案】
7．[2024徐州模拟]如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比值为________.
【答案】
8．[2024苏州一模]如图，四边形为菱形，点在的延长线上，.
（1） 求证：；
（2） 当，时，求的长.
解：（1） 证明： 四边形为菱形，，
，，
又，.
（2） ，，
，，，.
9．[2024宿迁模拟]已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、,正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度.
（1） 画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是____________；
（2） 以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为；
（3） 四边形的面积是__________.
解：（1） ；如图，即为所求.
（2） 如图，即为所求.
（3） .
提升练
10．[2024无锡一模]如图，在平行四边形中，点是的中点，与交于点，则与四边形的面积的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
11．[2024南京模拟]如图，，两处各有一根相同高度的路灯.某人从处出发，沿直线走到处，在整个行走过程中，他在，两盏灯下的两段影子长度之和（ ）
A. 一直不变 B. 逐渐变大
C. 逐渐变小 D. 先变小后变大
【答案】A
【解析】如图，，，，同理，，，，令，，，，，，，是定值，的值一直不变.
12．[2024淮安模拟]已知在矩形中，，，点是上的一点，连接，过点作，交于点，在点从向运动的过程中，点的路径长为________.
【答案】
【解析】设的长为，的长为，则，，，， 易证，，即，， 当时，取得最大值，为, 点的路径长为.
13．[2024南京一模]在中，，点是边上的动点，经过点的与边相切于点，与、边分别交于点、，连接.
（1） 如图①，连接，求证；
①
（2） 如图②，是的直径，连接，若，，求的长.
②
解：（1） 证明：连接、，
则，，
与边相切于点，
， ，
，
，
，又，
.
（2） 连接，是的直径，与边相切于点，
， ，
，
，，
，
解得，
，
，，，
，，
，,
,
，
.
14．[2024南京一模]几何问题中常需建构模型去研究图形中元素之间的关系.
在中，点是上一点，点在直线的上方，连接，，.
【认识模型】
（1） 如图1，.
图1
① 连接，求证；
② 与满足的数量关系为__________________________.
【运用模型】
（2） 如图2，已知 ，是的中点，且.
图2
① 若是的中点，连接，求证；
② 若 ，，当点在上运动时，点的位置随点的位置的变化而变化，直接写出的最小值.
解：（1）① 证明：，
，，
，即，，
.
② .
（2） ① 证明：，
，，
，即，，
，，
是的中点，是的中点， ，
，，
，，
，
，，
，.
② .
详解：如图，取的中点，连接，,
同得， ，为的中位线，， ，,、、、四点共圆，，,,,即， , , 点在以为直径的圆上运动，取的中点，当点、、共线时，的值最小，连接，，由题意可得，，，的最小值为.
微专题8 相似三角形模型
1．[2024苏州模拟]如图，在中，，，点在的延长线上， ，则的面积为（ ）
A. 7.5 B. C. 7 D. 8.5
【答案】A
【解析】过点C作于点，
，，是等腰直角三角形，，，， ，，，，，设，则，，即，，（舍去），，的面积.
2．[2024泰州三模]如图，在等边中，点为边的中点，以为顶点作一个 的角，其两边分别交、边于、两点，连接，要计算的周长，只需知道（ ）
A. 的周长 B. 的周长
C. 的周长 D. 的周长
【答案】D
【解析】如图，取中点，连接，在上截取，连接，由 ，得 ，，，， 点为的中点，，，，，即，，，又,,， ， ，又，，，，，即为周长的一半.
3．[2024徐州模拟]如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为__________.
【答案】
4．[2024泰州一模]如图，，，以为直径作半圆，为弧上一点，且最大，延长、交于点.则的值为________.
【答案】
5．[2024镇江二模]如图，中，，边上的高为18，点、分别是、边上的动点，且，点为边上的一点，连接、，则面积的最大值为__.
【答案】54
【解析】如图，过点作于点，交于点，，，，设，，边上的高为18，，，，， 当时，的面积取最大值，最大值为54.
6．[2024南京模拟]
（1） 【操作发现】
如图1，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点顺时针转一定的角度，如图2所示.
图1 图2
① 的值是否变化？若不变，求的值；若变化，请说明理由.
② 在旋转过程中，当点、、在同一条直线上时，求的长度.
（2） 【类比探究】
如图3，在中，， ，，为中点，点为平面内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转 得到，则四边形面积的最大值为____.
图3
解：① 的值不变.
旋转前： 四边形、是矩形，
，， ，
，，
，,
，，,.
旋转后：连接，由旋转知，，，，,
,的值不变.
② 如图1，当点在线段上时，过点作于点.
图1
易得，，
，
，，，
，
.
如图2，当点在的延长线上时，同理可得，
图2
.
综上所述，的长为或.
（2） 24.
详解：如图3，连接，，过点作于点.
图3
，为的中点，，，，，，，易证，，， 点在以为圆心，为半径的圆上，当点在的延长线上时，的面积最大，最大值，的面积的最大值为16， 四边形的面积的最大值.
第6节 锐角三角函数
基础练
1．[2024常州模拟]的边长都扩大到原来的2倍，则的值（ ）
A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断
【答案】A
2．在中， ，设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024无锡一模]在中， ，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2024淮安模拟]如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5．[2024常州一模]在中， ，，则________.
【答案】
6．[2024常州模拟]已知，则锐角 的度数为________.
【答案】
7．中，,则的度数是________.
【答案】
8．[2023常州模拟]在中， ，，，则的长是______.
【答案】2
9．[2024南京模拟]如图，在中， ，于点，，，则________.
【答案】
10．计算：
（1） [2024常州模拟] ；
（2） [2024苏州模拟].
解：（1） 原式.
（2） 原式.
11．[2024宿迁模拟]如图，在中， ，点是边的中点，，.求线段的长和的值.
解： ，，
，，，
，
点是边的中点，
，.
提升练
12．[2024连云港一模]如图是的网格，每个格子都为正方形.点，，，，均为格点，线段，交于点.则________.
【答案】
【解析】由题意知，，连接，则，又，是等腰直角三角形， ， ，.
13．[2024常州一模]如图，在中， ，，点在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为______.
【答案】
【解析】过点作于点， ，，，，，，在中，，，.
14．[2024苏州一模]如图，在四边形中，，.记 ， .若 ，，则的长为____________.
【答案】
【解析】过点作于点，作的平分线，交于点，过点作于点，，， ,又平分， ,，,设，则，在中，,在中，，，即，,在中，，即，解得（舍负）,，,在中，，，
.
15．如图，点是边上的一点，，于点，若，.
（1） 求的长；
（2） 若，求的值.
解：（1） 作于点，
，，易得，
，，，
，解得，
，
，.
（2） ，，，
由（1）知，， ，，，，，
，，
，
.
16．定义： ，
，
，
.
例如：.
（1） __________，______，________________________；
（2） 如图，在中， ，，，，求证：；
（3） 利用（2）中的结论证明：.
解：（1） ；1；.
（2） 证明： 在中， ，，，，
，，，
，.
（3） 证明：,
，
.
第7节 解直角三角形的实际应用
基础练
1．[2024常州一模]如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得 ， ，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2024常州模拟]已知一段公路的坡度是，沿这条公路上坡走了，那么垂直高度上升了________.
【答案】
3．[2024南通一模]如图，在小山东侧的点处有一个热气球，受西风的影响，该热气球以的速度沿与地面成 角的方向飞行，后到达点处，此时热气球上的人测得小山西侧点处的俯角为 ，则，两点间的距离为__________.
【答案】
4．[2024苏州模拟]有一个水果摊，其侧面示意图如图所示，、分别是水果摊前挡板、后挡板，、均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度，在后挡板的正上方点处安装顶棚，，且 ，此时顶棚的另一端点到前挡板的水平距离.（参考数据：，）
（1） 求水果放置区的水平宽度；
（2） 求顶棚端点离地面的高度.（精确到）
解：（1） 过作于点，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
坡度，，
，
.
答：水果放置区的水平宽度为.
（2） 过作于点，
则四边形是矩形，
， ，，
， ，
，
.
答：顶棚端点离地面的高度约为.
5．[2024南京一模]为测量某建筑物的高度，在坡脚处测得顶端的仰角为 ，沿着倾斜角为 的斜坡前行到达处，此时测得顶端的仰角为 ，求建筑物的高度.（参考数据：，，，，，）
解：过点作于点，延长交于点，
由题意得，，，
在中， ，，
，
，
，设，
，
在中， ，
，
在中， ，
，
，解得，
.
答：建筑物的高度约为.
提升练
6．[2024苏州模拟]图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直于水平桌面,垂足为点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量，，，，.
图1 图2 图3
（1） 如图2， ，.
① 填空：____ ；
② 投影探头的端点到桌面的距离为____.
（2） 如图3，将（1）中的向下旋转， 时，求投影探头的端点到桌面的距离.（参考数据：，，，）
解：① 160.
② 36.
（2） 过点作，与的延长线相交于点，
， ，
，
在中，，
由（1）可知点到桌面的距离为，
则投影探头的端点到桌面的距离为.
7．[2024南京一模]如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正东方向，.有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西 的方向，从测得小船在北偏东 的方向.
（1） 填空：__ ，____ ；
（2） 求点到海岸线的距离；
（3） 小船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西 的方向，求点与点之间的距离.
解：（1） 30；45.
（2）如图，过点作于点，
，
由题意可知 ， ，设，
，，
，，
解得.
答：点到海岸线的距离为.
（3） 如图，过点作于点，
根据题意得 ，
，
在中， ， ，，
在中， ， ，
.
答：点与点之间的距离为.
8．[2024泰州三模]在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域.（单位：海里）
（1） 某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东 方向，海里，求在监测点的什么方位.
（2） 若可疑船只由（1）中位置向正北方向航行，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答.
解：（1） 过点作轴于点，
依题意得 ，
是等腰直角三角形，，
，
， ，
在监测点的南偏东 方向.
（2） 不会.由（1）知，
过点作轴于点，取中点，过点作于点，交于点，，
，
过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，
，
由题意得，， ，
是、、三点确定的圆的圆心，是的直径，，，
，，
直线与相离，船不会闯入安全警戒区域.
第四章 章节检测（二）
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．[2024扬州模拟]若，则下列等式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024扬州模拟]中， ，，，的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
3．[2024宿迁模拟]在中，，都是锐角，且，，则的形状是 （ ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
【答案】B
4．[2024淮安一模]如图，和是以点为位似中心的位似图形.若，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．[2024连云港一模]如图，为等边三角形，点，分别在边，上， .若，，则的长为（ ）
A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2
【答案】C
6．[2024南通模拟]如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点C作于点，由题意得，，，，即，解得，.
二、填空题（每小题4分，共32分）
7． ________.
【答案】
8．[2024无锡一模]小明沿着坡度的斜坡向上行走了26米，则他距离地面的垂直高度增加了__米.
【答案】10
9．点、是线段的两个黄金分割点，，则线段________.
【答案】
10．[2024常州模拟]如图，直线、交于点，，若，，，则的值为________.
【答案】
11．如图，点为的边的延长线上一点，连接，交于点，则图中与相似的三角形共有______个.
【答案】2
12．[2024盐城二模]如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为.点、、在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为____________.
【答案】
13．[2024苏州一模]如图，在中， ，，，点，分别为，上的动点，沿直线将折叠，得到，点的对应点为点，若点落在上，且，则的长为______.
【答案】5
【解析】连接, ，，，，
，.当时，，由翻折的性质可得，，.同理可得，.
14．[2024盐城一模]如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】设点的坐标为，， 点，点，，，，.在中，，又，.过点作轴交的延长线于点，，，，轴，，，即，，（舍去）或，.
三、解答题（共44分）
15．[2024无锡模拟]（12分）如图，在中， .
（1） 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长.
解：（1） 如图，点即为所求.
（2） 由题意得，，
，，
，，
.
16．[2024南京一模]（12分）如图，一架无人机沿水平直线飞行，进行测绘工作.无人机悬停在处，测得前方水平地面上大树的顶端的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端的俯角为.已知点，，，，在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在处时离地面的高度.（参考数据：，）
解：延长交于点，延长交于点，
由题意得，，，，设，
，
在中，，
，
在中，，
，，，解得，
.
答：无人机在处时离地面的高度约为.
17．[2024盐城一模]（20分）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点.易证：.（不需要证明）
图①
【探究】 如图②，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作交于点.
图②
（1） 求证：；
（2） 若，，为的中点，求的长.
【应用】 如图③，在中， ，，.点为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作 ，交于点.当为等腰三角形时，的长为____________.
图③
解：（1）证明： 四边形是矩形， ，
，
， ，
，
，
又，.
（2） 点为的中点，
，
由（1）知，
，即，.
【应用】 或2.
详解： ,,为等腰直角三角形，，易证,.为等腰三角形， 分三种情况：①若，则 ， ，则点与点重合，点与点重合，不符合题意；②若，则，；③若，则 ， ， ,, ,，又， 点为的中点，.综上，的长为或2.
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2025江苏版数学中考专题
第四章 三角形
第1节 基本平面图形、相交线与平行线
基础练
1．[2024南通二模]若点是线段的中点，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024泰州三模]已知，与 互余的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024扬州二模]如图，直线，相交于点，若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024盐城二模]下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024泰州一模]下列命题中，真命题是（ ）
A．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
B．对角线相等的四边形是菱形
C．五边形的内角和是
D．等边三角形是中心对称图形
6．[2024常州模拟]下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．[2024南通一模]如图，把一个含 角的直角三角板的直角顶点放在直尺上， ， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．[2024无锡模拟]“同位角相等”的逆命题是____________________.
9．[2024南京二模]如图， ，，是射线上的动点，则长的最小值是________.
10．[2024盐城一模]跨学科·物理光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化.如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若 ， ，则的度数是________.
11．[2024宿迁三模]如图，，， ，则__ .
12．[2024徐州模拟]如图，直线，均被直线，所截，已知 ， ，则的度数为__________.
13．[2023常州模拟]一个角的补角比它的余角的3倍少 ，这个角的度数是________.
14．[2023无锡模拟]钟表上的时间为9时30分，则时针与分针夹角的度数为__________.
15．[2023淮安一模]如图，已知，直线分别交直线、于点、，、分别平分、.
（1） 求证；
（2） 请用文字概括（1）所证明的命题：
____________________________________________________.
提升练
16．[2024盐城模拟]如图是路政工程车的示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．[2024徐州三模]跨学科·物理如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线，交于点，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜略有偏差.若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．[2024徐州一模]如图，已知， ， ，则的度数为________.
19．[2023扬州二模]如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若 ，则________.
20．已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，且其中一个角的3倍比另一个角的多 ，则这两个角的度数分别为______________________________________________.
第2节 三角形与多边形
基础练
1．[2024宿迁二模]现有两根长度分别为3和4（单位：）的小木棒，下列长度的小木棒不能与它们拼成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024扬州二模]若一个多边形的内角和为 ，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．[2024宿迁二模]一天，小明和爸爸一起看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，若 ，你能求出比大多少吗？”请你帮小明计算一下，正确的答案是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024盐城模拟]将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024南京模拟]如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．[2023无锡一模]王师傅用6根木条钉成一个六边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的根数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．[2024淮安一模]如图，、、、是平面内四点，若，，，则线段的长度可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．[2024盐城二模]一副三角板按如图所示的方式摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若 ，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
9．[2024扬州二模]一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形的每个外角是__ .
10．[2024连云港二模]有公共边的正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，延长交正六边形于点.
（1） 的度数为__________；
（2） 的度数为__________.
11．如图，在五边形中， ，，分别平分，，则的度数是________.
12．[2024连云港模拟]如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__度.
提升练
13．[2024泰州三模]将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若 ，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中， ，与的平分线相交于点，得；与的平分线相交于点，得；……；与的平分线相交于点，得.要使的度数为整数，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．在中，，，若为钝角，则的长的取值范围是____________.
16．[2024无锡模拟]一个直角三角形的两直角边长分别为8和15，则这个直角三角形的重心与外心之间的距离为________.
17．[2024宿迁模拟]如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为______.
18．如图，的度数为____ .
19．如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，为直线上一点，点在直线外，且 ，若是上一点，且是“准直角三角形”，则________________________________________________.
20．如图，在由边长为1个单位的正方形组成的网格中，的顶点均为格点，经过平移后得到，图中标出了点的对应点.根据下列条件，利用格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）.
（1） 画出；
（2） 画出的高；
（3） 连接，，那么与的关系是____________，线段扫过的区域的面积为____；
（4） 在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有__个.
第3节 全等三角形
基础练
1．[2024扬州二模]工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在的边、上分别取、，使，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别 与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是 （ ）
A． B． C． D．
2．[2024常州一模]图中的小正方形的边长都相等，若，则点可能是、、、四个点中的点______.
3．[2024南通一模]如图，，与交于点，请添加一个条件：____________________________，使.（只填一种情况即可）
4．[2024宿迁一模]如图，在中， ，平分，，，则点到的距离是________.
5．如图，在中， ，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的周长为__.
6．[2024苏州二模]如图，已知，点在上，与交于点，，， ， .
（1） 求的长度；
（2） 求的度数.
7．[2024苏州三模]如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证：
（1） ；
（2） .
提升练
8．[2024苏州一模]如图，在中，，，、分别是角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．7
9．[2024南京模拟]如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上， ，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．[2024盐城模拟]已知，其中 ，，，、分别为、的中点，将两个三角形按图①中的方式摆放（、、共线），三角形沿方向平移至点与点重合（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（ ）
图① 图②
A． B．
C． D．
11．[2023南京一模]如图，在中， ， ，，，分别是射线，射线上的点，，的垂直平分线交于点，当点落在上时，长的最小值为________.
12．[2024常州一模]如图，中， ， ，点是边上的一点，连接，以为边向下作等边，过点作，垂足为，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
13．[2024盐城模拟]已知是等腰直角三角形， ，.
图① 图②
（1） 将一个直角的顶点放在的中点处（如图①），两条直角边分别交、于点、，请说明为等腰直角三角形；
（2） 将直角顶点放在边上的某处（如图②），两条直角边分别交、于点、，若为等腰直角三角形，且面积为4，求的长.
微专题5 全等三角形模型
1．[2024南京模拟]如图，、、三点在一条直线上，和均为正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：；；；.其中所有正确结论的序号是____.
2．【基础巩固】
（1） 如图1，为等腰直角三角形， ，求证：；
图1
【尝试应用】
（2） 如图2，在（1）的条件下，连接，，求的长；
图2
【拓展提高】
（3） 如图3，在中，，分别在直角边，上，， ，求的值.
图3
3．在几何图形中，两个共顶点的角中的小角的角度是大角的一半，我们称之为“半角模型”.
（1） 如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且 ，写出图中线段，，之间的数量关系：____________________；
图1
（2） 如图2，四边形中，， ， ，且，，，求的长；
图2
（3） 如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于____；
图3
（4） 如图4，边长为6的正方形中，的顶点、分别在、边上，且，连接分别交、于点，，若，求的长.
图4
微专题6 与角平分线有关的添加辅助线的方法
1．如图，点是的外角的平分线上的一点，垂直平分，，求证：.
2．如图，在中，，，于，求证：.
3．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，求的值.
4．【感悟】
（1） 如图1，是的高线，，若，，求的长.
小明同学的解法是：将沿折叠，则点刚好落在边上的点处.请你直接写出答案：__.
图1
【探究】
（2） 如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明.
图2
【拓展】
（3） 如图3，在四边形中，平分，，.
①求证： ；
②若，求的长.
图3
第4节 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2024南京三模]下列是勾股数的为（ ）
A．，， B．1，1，
C．7，8，9 D．13，84，85
2．[2024宿迁二模]等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
3．[2024盐城一模]如图，在中， ， ，的平分线交于，于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．[2024淮安一模]已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，点在直线上，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024常州二模]如图，在中，是斜边的中点，连接，若，，则__.
6．[2024南京模拟]如图，在中，平分，且于点，交于点，，.那么的周长为______.
7．[2024苏州一模]定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐三角形”.若“和谐三角形”的面积为2，则其腰长为______.
8．[2024无锡一模]如图，在四边形中， ，平分，，垂足为，且.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的度数.
9．[2024徐州模拟]如图，中， ，是上的一点，，过点作，并截取.
（1） 求证：是等腰直角三角形；
（2） 延长至点，使得，连接并与的延长线相交于点，求的度数.
提升练
10．[2024南京模拟]如图，中， ，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点.下列结论：；；是等腰三角形；；.其中正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．[2024南京二模]如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为，此时梯子的倾斜角为 ，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子倾斜角为 ，那么的长度是______（用含的代数式表示）.
12．[2024扬州一模]如图，在中，边上的高，点为上的点，且，若，则图中阴影部分的面积为__.
13．[2024南京三模]如图，在中， ，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为________.
14．[2024扬州二模]如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设，，连接，，若与的面积相等，则__________.
15．[2024南京模拟]如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点.
（1） 探究的形状；
（2） 求证：；
（3） 延长交于点，若，求的正切值.
微专题7 与中点有关的添加辅助线的方法
1．如图，四边形是由两个直角三角板拼成的，其中 ， ，为边的中点，连接，交于点.若，则的长为____.
2．如图，点为平行四边形的对角线和的交点，点为边的中点，连接交于点，则的值为________.
3．如图，在中，， ，，为的中点，，则的面积为________.
4．如图，的平分线与边上的中线互相垂直，且，则________.
5．如图， ，分别以、为斜边，向的内侧作等腰、等腰，点是的中点，连接、.
（1） 若，，求的长；
（2） 求证：.
6．已知点是直角三角形斜边上一点（不与，重合），分别过，向直线作垂线，垂足分别为，，为斜边的中点.
（1） 如图1，当点与点重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________；
图1
（2） 如图2，当点不与点重合时，若，，的面积等于3，求的面积.
图2
第四章 章节检测（一）
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．[2024徐州模拟]已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（ ）
A．22 B．19 C．17 D．17或22
2．下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024南通二模]如图，数轴上点，分别对应2，4，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A． B． C．5 D．
4．[2024南京模拟]在边长分别为，，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．[2024宿迁一模]如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．[2024苏州一模]《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺;斜放,恰好能出去.则竿长为（ ）
A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺
二、填空题（每小题4分，共28分）
7．已知，则 的余角的度数是____ .
8．[2024南通一模]正十二边形的外角和为____ .
9．[2024连云港二模]将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若， ，则__________．
10．[2024南通二模]如图，在中， ，，，AB的垂直平分线交于点，交于点，则的长等于________.
11．[2024常州一模]如图，在中， ，，，点为上的一点，若是的平分线，则______.
12．[2023镇江一模]如图，四边形中， ， ，连接、.点是的中点，连接、.若，则的面积为__.
13．[2024南京一模]如图，在中，，是的高.若，则长的最小值为__________.
三、解答题（共48分）
14．[2024泰州三模]（12分）如图，在中， ，点是边上一点（不与点，重合），线段是由线段绕点逆时针旋转 得到的，连接.判断直线与的位置关系，并说明理由.
15．[2024无锡三模]（16分）如图，在中， ，，是边上的一点，以为直角边向右侧作等腰，其中 ，连接.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的长.
16．[2024徐州模拟]（20分）如图，平面直角坐标系中，等边的顶点在轴上，边在轴上，点的坐标为，点是平面内一点，.
（1） 当点在轴正半轴上时，点与点关于轴对称，求的坐标.
（2） 当点在第一象限时，点在轴上， ，沿折叠，点落在处.
① 求证：平分.
② 对比（1），的位置是否发生改变？若改变，请求出此时的坐标；若不变，请说明理由.
（3） 点在线段上时，直接写出的面积的变化范围.
第5节 相似三角形
基础练
1．[2024连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
甲 乙 丙 丁
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
2．[2024常州模拟]如图，点、分别在的边、上，要使，需加一个条件，则以下所添加的条件不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024南通模拟]如图，平行于的线段把分成面积相等的两部分，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．[2024常州模拟]如图，平面直角坐标系中，原点为位似中心，若点坐标为，点坐标为，，则长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．[2024宿迁模拟]点是的黄金分割点，，若，则____.（结果精确到）
6．[2024常州一模]如图，在矩形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________.
7．[2024徐州模拟]如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比值为________.
8．[2024苏州一模]如图，四边形为菱形，点在的延长线上，.
（1） 求证：；
（2） 当，时，求的长.
9．[2024宿迁模拟]已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、,正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度.
（1） 画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是____________；
（2） 以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为；
（3） 四边形的面积是__________.
提升练
10．[2024无锡一模]如图，在平行四边形中，点是的中点，与交于点，则与四边形的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024南京模拟]如图，，两处各有一根相同高度的路灯.某人从处出发，沿直线走到处，在整个行走过程中，他在，两盏灯下的两段影子长度之和（ ）
A．一直不变 B．逐渐变大
C．逐渐变小 D．先变小后变大
12．[2024淮安模拟]已知在矩形中，，，点是上的一点，连接，过点作，交于点，在点从向运动的过程中，点的路径长为________.
13．[2024南京一模]在中，，点是边上的动点，经过点的与边相切于点，与、边分别交于点、，连接.
（1） 如图①，连接，求证；
①
（2） 如图②，是的直径，连接，若，，求的长.
②
14．[2024南京一模]几何问题中常需建构模型去研究图形中元素之间的关系.
在中，点是上一点，点在直线的上方，连接，，.
【认识模型】
（1） 如图1，.
图1
① 连接，求证；
② 与满足的数量关系为__________________________.
【运用模型】
（2） 如图2，已知 ，是的中点，且.
图2
① 若是的中点，连接，求证；
② 若 ，，当点在上运动时，点的位置随点的位置的变化而变化，直接写出的最小值.
微专题8 相似三角形模型
1．[2024苏州模拟]如图，在中，，，点在的延长线上， ，则的面积为（ ）
A．7.5 B． C．7 D．8.5
2．[2024泰州三模]如图，在等边中，点为边的中点，以为顶点作一个 的角，其两边分别交、边于、两点，连接，要计算的周长，只需知道（ ）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．的周长
3．[2024徐州模拟]如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为__________.
4．[2024泰州一模]如图，，，以为直径作半圆，为弧上一点，且最大，延长、交于点.则的值为________.
5．[2024镇江二模]如图，中，，边上的高为18，点、分别是、边上的动点，且，点为边上的一点，连接、，则面积的最大值为__.
6．[2024南京模拟]
（1） 【操作发现】
如图1，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点顺时针转一定的角度，如图2所示.
图1 图2
① 的值是否变化？若不变，求的值；若变化，请说明理由.
② 在旋转过程中，当点、、在同一条直线上时，求的长度.
（2） 【类比探究】
如图3，在中，， ，，为中点，点为平面内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转 得到，则四边形面积的最大值为____.
图3
第6节 锐角三角函数
基础练
1．[2024常州模拟]的边长都扩大到原来的2倍，则的值（ ）
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断
2．在中， ，设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．[2024无锡一模]在中， ，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024淮安模拟]如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024常州一模]在中， ，，则________.
6．[2024常州模拟]已知，则锐角 的度数为________.
7．中，,则的度数是________.
8．[2023常州模拟]在中， ，，，则的长是______.
9．[2024南京模拟]如图，在中， ，于点，，，则________.
10．计算：
（1） [2024常州模拟] ；
（2） [2024苏州模拟].
11．[2024宿迁模拟]如图，在中， ，点是边的中点，，.求线段的长和的值.
提升练
12．[2024连云港一模]如图是的网格，每个格子都为正方形.点，，，，均为格点，线段，交于点.则________.
13．[2024常州一模]如图，在中， ，，点在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为______.
14．[2024苏州一模]如图，在四边形中，，.记 ， .若 ，，则的长为____________.
15．如图，点是边上的一点，，于点，若，.
（1） 求的长；
（2） 若，求的值.
16．定义： ，
，
，
.
例如：.
（1） __________，______，________________________；
（2） 如图，在中， ，，，，求证：；
（3） 利用（2）中的结论证明：.
第7节 解直角三角形的实际应用
基础练
1．[2024常州一模]如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得 ， ，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024常州模拟]已知一段公路的坡度是，沿这条公路上坡走了，那么垂直高度上升了________.
3．[2024南通一模]如图，在小山东侧的点处有一个热气球，受西风的影响，该热气球以的速度沿与地面成 角的方向飞行，后到达点处，此时热气球上的人测得小山西侧点处的俯角为 ，则，两点间的距离为__________.
4．[2024苏州模拟]有一个水果摊，其侧面示意图如图所示，、分别是水果摊前挡板、后挡板，、均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度，在后挡板的正上方点处安装顶棚，，且 ，此时顶棚的另一端点到前挡板的水平距离.（参考数据：，）
（1） 求水果放置区的水平宽度；
（2） 求顶棚端点离地面的高度.（精确到）
5．[2024南京一模]为测量某建筑物的高度，在坡脚处测得顶端的仰角为 ，沿着倾斜角为 的斜坡前行到达处，此时测得顶端的仰角为 ，求建筑物的高度.（参考数据：，，，，，）
提升练
6．[2024苏州模拟]图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直于水平桌面,垂足为点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量，，，，.
图1 图2 图3
（1） 如图2， ，.
① 填空：____ ；
② 投影探头的端点到桌面的距离为____.
（2） 如图3，将（1）中的向下旋转， 时，求投影探头的端点到桌面的距离.（参考数据：，，，）
7．[2024南京一模]如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正东方向，.有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西 的方向，从测得小船在北偏东 的方向.
（1） 填空：__ ，____ ；
（2） 求点到海岸线的距离；
（3） 小船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西 的方向，求点与点之间的距离.
8．[2024泰州三模]在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域.（单位：海里）
（1） 某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东 方向，海里，求在监测点的什么方位.
（2） 若可疑船只由（1）中位置向正北方向航行，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答.
第四章 章节检测（二）
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．[2024扬州模拟]若，则下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．[2024扬州模拟]中， ，，，的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．[2024宿迁模拟]在中，，都是锐角，且，，则的形状是 （ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
4．[2024淮安一模]如图，和是以点为位似中心的位似图形.若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024连云港一模]如图，为等边三角形，点，分别在边，上， .若，，则的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
6．[2024南通模拟]如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
7． ________.
8．[2024无锡一模]小明沿着坡度的斜坡向上行走了26米，则他距离地面的垂直高度增加了__米.
9．点、是线段的两个黄金分割点，，则线段________.
10．[2024常州模拟]如图，直线、交于点，，若，，，则的值为________.
11．如图，点为的边的延长线上一点，连接，交于点，则图中与相似的三角形共有______个.
12．[2024盐城二模]如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为.点、、在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为____________.
13．[2024苏州一模]如图，在中， ，，，点，分别为，上的动点，沿直线将折叠，得到，点的对应点为点，若点落在上，且，则的长为______.
14．[2024盐城一模]如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为____________.
三、解答题（共44分）
15．[2024无锡模拟]（12分）如图，在中， .
（1） 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长.
16．[2024南京一模]（12分）如图，一架无人机沿水平直线飞行，进行测绘工作.无人机悬停在处，测得前方水平地面上大树的顶端的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端的俯角为.已知点，，，，在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在处时离地面的高度.（参考数据：，）
17．[2024盐城一模]（20分）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点.易证：.（不需要证明）
图①
【探究】 如图②，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作交于点.
图②
（1） 求证：；
（2） 若，，为的中点，求的长.
【应用】 如图③，在中， ，，.点为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作 ，交于点.当为等腰三角形时，的长为____________.
图③
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