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2025江苏版数学中考专题
第三章 函数
第1节 平面直角坐标系与函数
基础练
1．[2024宿迁一模]如果点在第二象限，那么点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
2．[2024常州二模]在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2024泰州一模]下列图像不能反映是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．[2024常州一模]小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下列可以近似刻画该汽车在这段时间内速度的变化情况的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5．[2024泰州三模]函数中自变量的取值范围是________.
【答案】
6．[2024南通模拟]已知点在轴上，则点的坐标是____________.
【答案】
7．[2024常州一模]点关于直线对称的点的坐标是____________.
【答案】
8．[2024南京模拟]如图，的顶点，的坐标分别为，，
将平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是____________.
【答案】
9．[2024盐城一模]已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是____________.
【答案】
10．如图，已知在平面直角坐标系内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为.
（1） 请你根据条件，画出平面直角坐标系；
（2） 写出体育馆、医院、市场、火车站所在位置的坐标；
（3） 在平面内找一个点，使得该点到市政府、体育馆、医院三者的距离相等，请你利用网格画出该点并写出它的坐标.
解：（1） 平面直角坐标系如图所示.
（2） 体育馆、医院、市场、火车站.
（3） 如图所示，点即为所求，该点的坐标为.
提升练
11．[2024连云港二模]在平面直角坐标系中，点不可能在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
12．[2024常州模拟]如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，，过点作轴于点，过点A作于点，，，，，，，，
，， 点到轴的距离为.
13．[2024宿迁三模]兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图像，输入了一组，的值，得到了它的函数图像（如图），借助学习函数的经验，可以推出输入的，的值满足 （ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】，的取值范围是，由题图可知，两支曲线的分界线位于轴的右侧，.由题图可知，当时，，又 当时，，.
14．[2024常州模拟]对于平面直角坐标系中的点，若的坐标为，其中为常数，且，则、互为“系关联点”，如：的“2系关联点”为，即.若点的“系关联点”为，且满足，则的值为______.
【答案】6
15．如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是____________________________.
【答案】或
16．[2024南京二模]如图，，，， ，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6， ，，顶点，，， ，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，则点的坐标为____________________.
n
【答案】
【解析】过点作轴于点，连接， 点是所有等边三角形的中心， ，，，，
的坐标为，易得,
，位于第四象限， 点的坐标是，点与关于轴对称， 点的坐标是.
17．[2024南通二模]在平面直角坐标系中，点的坐标为，是第一象限内任意一点，连接，，若 ， ，点到轴的距离为1，则的最小值为__.
【答案】90
【解析】如图，在平面直角坐标系中作出以为直径的，作直线,易知在该直线上，且直线与相切，
设直线与相切于点，连接，则垂直于直线，由三角形内角和定理可知，要使取得最小值，需使最大.
为直径， .
在直线上任取异于点的一点，连接交于点，连接，,则，
最大为 ，
的最小值为90.
18．[2024泰州一模]如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止.设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图像，其中点为曲线的最低点，则的高线的长为________.
图1 图2
【答案】
【解析】过点作于点，由题图可知,,，，，
，
，
.
第2节 一次函数的图像与性质
基础练
1．[2024宿迁模拟]下列函数中，表示是的一次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024苏州一模]已知点、在函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024无锡一模]下列四个选项中，不符合直线的特征的是（ ）
A. 经过第一、三、四象限 B. 随的增大而增大
C. 与轴交于点 D. 与轴交于点
【答案】C
4．[2024徐州二模]函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．已知与成正比例，且当时，，则与的函数表达式是____________.
【答案】
6．[2024扬州一模]若点，都在一次函数的图像上，且，则实数的取值范围是__________.
【答案】
7．[2024无锡一模]把一次函数的图像向下平移3个单位长度后，得到的新图像对应的函数表达式是____________.
【答案】
8．[2024徐州模拟]在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为______.
【答案】1
9．[2024南京一模]一次函数的图像经过点，当时，，则的值可以是________________（写出一个即可）.
【答案】6（答案不唯一）
10．[2024扬州一模]若关于、的二元一次方程组的解是则一次函数与是常数，的图像的交点坐标是____________.
【答案】
11．[2024苏州模拟]在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点，则代数式的值为______.
【答案】1
12．已知一次函数的图像经过点，且与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为________________________________.
【答案】或
13．如图，平面直角坐标系中，函数的图像与轴相交于点，与函数的图像相交于点，且.
（1） 求点的坐标；
（2） 求函数、的图像与轴所围成的三角形的面积.
解：（1） 由得，
把代入中，得，，
解方程组得
点的坐标为.
（2） 设直线与轴交于点，则点的坐标为，，
所求面积即的面积，
.
提升练
14．[2024泰州三模]若一次函数的图像经过点，，则下列结论正确的是 （ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】A
15．[2024扬州二模]如图，直线分别交坐标轴于点、，轴上一点关于直线的对称点坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接交于点，连接、、， 直线分别交坐标轴于点C、D，，,
点坐标为，，
，，
由题意可知，，，垂直平分，，
，
，，
四边形是菱形，
，，，
，，解得.
16．[2024宿迁模拟]如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、且，若与轴相交于点，与、分别相交于点、，则的面积（ ）
A. 等于8 B. 等于10
C. 等于12 D. 随着取值的变化而变化
【答案】B
【解析】在直线中，当时，，， 直线恒过定点，且对于直线，当时，，与的交点坐标为，设直线与轴交于点，直线与轴交于点，连接、，，，.易得,.
17．[2024常州一模]直线与直线是常数，且交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】联立与并解得，，
，
， 点A在直线上， 点A到直线的距离总是一个定值， 直线与直线平行，，解得.
18．[2024苏州二模]无论取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于______.
【答案】9
【解析】令，，则， 直线的解析式为，是直线上的点，，.
19．[2024无锡一模]已知函数且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是________________.
【答案】
【解析】可化简为， 直线恒过定点，
作图如下，可得.
20．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，已知线段、的长为一元二次方程的两个实数根.
（1） 求直线的解析式；
（2） 点为直线上的点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3） 平移直线，使平移后的直线经过点，与轴交于点，从点引出一条直线，当直线与直线在第一象限内的交点恰好是整点（即横、纵坐标均为整数的点，不含点、）时，请求出直线的表达式.
解：（1） 解，得，，,，，
点、.
设直线的解析式为，
解得
直线的解析式为.
（2） 点为直线上的点，
，设，
则
，，
当时，取最大值，是2，即的最大值是2，此时点的坐标为.
（3） ，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
由图可以看出，直线与直线在第一象限内的交点可以是或，设直线的解析式为，
把代入得，解得，；
把代入得，解得，.
综上，直线的表达式为或.
第3节 一次函数的实际应用
基础练
1．[2024镇江二模]甲、乙两公司提供了不同的移动通信收费方案，它们各自的费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（ ）
A. 10元 B. 11元 C. 12元 D. 13元
【答案】C
2．[2024扬州二模]在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数.若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂物体后弹簧的长度大，则物体比重______.
【答案】5
3．[2024南京模拟]如图，两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图像分别表示两者离快者的起点的距离与两者运动的时间之间的关系，则慢者的速度是______.
【答案】6
4．[2024苏州一模]现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，
甲、乙两个蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数图像如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为________.
【答案】
5．[2024南通二模]为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下.
型号 甲 乙
效率（单位：千克/时）
每台价格（单位：万元） 4 6
已知一台甲型机器人搬运500千克原材料所用时间与一台乙型机器人搬运750千克原材料所用时间相等.
（1） 求的值.
（2） 该工厂每小时需要用掉原材料710千克，如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？
解：（1） 根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
的值为90.
（2） 设购买甲种型号的机器人台，则购买乙种型号的机器人台.
根据题意，得，解得.
设购买机器人的总费用为万元，则，
，随的增大而减小，
且为非负整数，
当时，的值最小，，此时（台）.
答：购买甲种型号的机器人6台、乙种型号的机器人4台才能使总费用最少，最少费用是48万元.
6．[2024宿迁模拟]甲船从港出发顺流匀速驶向港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向港.乙船从港出发逆流匀速驶向港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同，甲、乙两船在静水中的速度相同.甲、乙两船到港的距离，与行驶时间之间的函数图像如图所示.
（1） 直接写出乙船逆流行驶的速度；
（2） 求甲船逆流行驶的路程；
（3） 求甲船到港的距离与行驶时间之间的函数关系式.
（参考公式：船顺流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度，船逆流航行的速度船在静水中航行的速度-水流速度）
解：（1） .
（2） .
答：甲船逆流行驶的路程为.
（3） 设甲船顺流航行的速度为，
由图像得，
解得， 当时，，
令，则，
当时，，
即，
令，则，
当时，，
即.
提升练
7．[2024无锡一模]明明和亮亮都在、两地间同一直道做匀速往返走锻炼.明明的速度小于亮亮的速度.明明从地出发，同时亮亮从地出发.图中的折线段是从开始到两人第二次相遇时，两人之间的距离（米）与行走时间（分，忽略掉头等时间）的函数关系的图像，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 第一次相遇两人共走了2 800米，第二次相遇两人共走了米，且两人速度不变，，故C选项不符合题意；
时，图像出现拐点， 此时亮亮到达A地，路程为2 800米， 亮亮的速度为（米/分）， 两人的速度和为（米/分）， 明明的速度为（米/分），，故A选项不符合题意；
当时，两人同向而行，分时明明到达B地，，故D选项不符合题意；
明明到达B地时，亮亮与明明的距离为，故B选项符合题意.
8．[2024南通一模]已知，两地相距,甲8：00从地出发骑自行车前往地，其与地的距离（单位：）与出发后所用时间（单位：）之间的关系如图所示；乙9：30从地出发以的速度驾车前往地.
（1） 求甲的速度；
（2） 请直接写出乙与地的距离（单位：）与甲出发后所用时间（单位：）之间的函数关系式，并在图中画出函数图像；
（3） 当乙在行驶途中与甲相距时，请求出的值.
解：（1）.
答：甲的速度为.
（2） 当时，；当时，.
当乙到达地时，，
解得，画图如下.
（3） 设甲与地的距离与的函数关系式为，将和代入，
得解得
.
当，且两人相距时，
，
或.
9．[2024南京二模]某平台提供同城配送服务，每单费用基础配送费路程附加费质量附加费.其中，基础配送费为8元；路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，每千米1元，若超过3千米，则超过部分每千米2元；质量附加费（元）与物品质量之间的函数关系如图中折线所示.
（1） 当物品质量为，配送路程为时，配送的费用为__元；
（2） 当时，求与的函数表达式；
（3） 某客户需将质量为的物品送到相距处的某地，由于平台规定每单配送物品的质量不得超过，现需要分两单配送（物品可任意拆分），则两单费用之和的最小值为__元.
解：（1） 37.
（2）当时，设与的函数表达式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，得解得
当时，与的函数表达式为.
（3） 62.
详解：同（2）可得当时，，与的函数表达式为由题意得每单的基础配送费为8元，路程附加费为（元）.设一单配送物品的质量为，则另一单配送物品的质量为，设两单总费用之和为元.①当时，， 一单的质量附加费为0元，另一单的质量附加费为元，， 当时，最小，；②当时，， 一单的质量附加费为元，另一单的质量附加费为元，， 当时，最小，；③当时，， 一单的质量附加费为元，另一单的质量附加费为元，.综上，两单费用之和的最小值为62元.
第4节 反比例函数
基础练
1．[2024徐州模拟]已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图像位于第一、三象限 B. 图像必经过点
C. 图像不可能与坐标轴相交 D. 随的增大而减小
【答案】D
2．[2024苏州三模]已知点，在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2024盐城模拟]如图，在菱形中，，，点为原点，点在轴正半轴上，若函数的图像经过点，则的值是 （ ）
A. 24 B. 12 C. D.
【答案】C
4．[2024宿迁二模]已知反比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值范围是________.
【答案】
5．[2024南京一模]当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图像如图所示.当气球内的气压大于时，气球会爆炸.为了安全，气球内气体体积应满足________________.
【答案】
6．[2024徐州三模]如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图像上，且轴于点.若点的坐标为，则的值为________.
【答案】
7．[2024常州二模]如图，一次函数的图像与轴负半轴交于点，与反比例函数的图像交于点.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式.
解：（1），
反比例函数的表达式为.
（2） ，
，，
把点、的坐标代入，
得解得
一次函数的表达式是.
8．[2024苏州一模]如图，四边形为菱形，且点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像经过点，且与边交于点.
（1） 求的值及点的坐标；
（2） 判断点是不是边的中点，并说明理由.
解：（1） ，，，
四边形为菱形，，.
（2） 不是，理由：由（1）可知，，，反比例函数的表达式为， 线段的中点坐标为，
当时，，
点不是边的中点.
提升练
9．[2024连云港二模]如图，正方形的边长为6，点、分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为（ ）
A. B. 12 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】由题意易证，， 正方形的边长为6，、、， 直线的解析式为，直线的解析式为.联立得解得 点的坐标为，将代入中，得，解得.
10．[2024无锡二模]如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接，轴.已知点，连接，，若，，则与轴交点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接、，设交轴于点，
轴，， 点A在反比例函数的图像上，，，， 点B所在反比例函数图像的解析式为，，，.
设点，则点，
，，，，解得或（舍去），，易得直线解析式为，当时，，.
11．[2023南京]在平面直角坐标系中，点为原点，点在第一象限，且.若反比例函数的图像经过点，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由题意和图像可知为反比例函数的图像与直线的交点时，的值最大，，在直线上时，，
此时，
点在第一象限，，
的取值范围是.
12．[2024泰州一模]如图所示，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点在第一象限.设点的横坐标为.
备用图
（1） 若，，求点和点的坐标；
（2） 若，点落在反比例函数图像上，求的值；
（3） 若点落在反比例函数图像上，设点的横坐标为，试判断是不是定值，并说明理由.
解：（1） 若，，
则点的坐标为，
四边形是正方形，
,,
过点作轴的平行线与过点的轴的平行线交于点，与过点的轴的平行线交于点，
易证，
，.
点的坐标为.
（2） 由题意得点，
同（1）可得点，
将点的坐标代入中，
得，整理得,解得（正值舍去）.
（3） 为定值，理由：
由题意得点，
同（1）可得点，
将点的坐标代入,得，,
又，，为定值.
微专题2 反比例函数与一次函数的综合应用
1．已知反比例函数与一次函数的图像没有公共点，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2023徐州模拟]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，轴于点，点坐标为，则的面积为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】B
3．[2023无锡模拟]如图，点是反比例函数图像上一动点，连接并延长交图像另一支于点.点为第一象限内的点，且，当点运动时，点始终在函数的图像上运动，则的正切值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】连接，过点A作轴于点，过点C作轴于点，由对称性可知，
又，.
易证，，
，，
，，，
（负值舍去），
的正切值为.
4．[2024南京三模]如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数的图像于点，，若，则的值为（ ）
A. 6 B. C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】对于函数,令,得, 点B的坐标为，，，.
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为C、D，
，，
，，
设、的横坐标分别为、，
，
联立得即，，，，
解得.
5．[2024南京三模]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数、是常数，且与反比例函数是常数，且的图像相交于，两点，则不等式的解集是________________________.
【答案】或
6．[2024徐州三模]在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为________.
【答案】
7．[2024常州模拟]如图，是第一象限内一次函数图像上一动点，反比例函数的图像经过点，则的取值范围是____________.
【答案】
8．[2024泰州二模]如图，正方形的顶点、分别在一次函数和反比例函数的图像上，顶点、在轴上，则该正方形的边长为______.
【答案】
9．[2024苏州二模]已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点在第三象限，点在第一象限.若线段的中点坐标为，则实数的值为______.
【答案】1
【解析】设，，
线段的中点坐标为，
，，
联立得即，
，
，，
，
，.
10．[2024南通一模]如图，直线交双曲线的一支于，两点，交轴于点，，连接，，则的值为______.
【答案】3
【解析】连接，作轴于点，轴于点，则，
，.
设点坐标为，
，，
，点坐标为，，
，，
，
即，
，.
11．[2024泰州一模]已知函数是常数，，函数.
（1） 若函数和函数的图像交于点，点.
① 求，的值；
② 当时，直接写出的取值范围.
（2） 若点在函数的图像上，点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值.
解：（1）① 函数和函数的图像交于点，点，
，
，.
② 或.
（2） 点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点，
，
，解得.
12．[2023连云港一模]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴交于点，与轴交于点.
备用图
（1） 求出，的值.
（2） 若为轴上一动点，当的面积为时，求的值.
（3） 在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在,请说明理由.
解：（1） 点在一次函数的图像上，，
，，.
对于，令，则
，令，则，，，
，
，
或.
（3） 存在，点的坐标为或.
提示：若在点右侧，则；若在点左侧，设交轴于，则为等腰三角形，利用的正切值求出点坐标，进而求出直线的解析式.
第三章 章节检测（一）
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024常州模拟]在坐标平面内，一次函数的图像经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024宿迁二模]如果点在第三象限内，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2024南京模拟]在反比例函数的图像上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024南通二模]如图，一次函数的图像经过点和点.若，则满足条件的的值可以是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
5．[2024南通二模]已知，，将线段平移得到线段，点的对应点为点，若，，则的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 5
【答案】D
6．[2024苏州二模]如图，菱形的边在轴的非负半轴上，，反比例函数的图像经过点，且与相交于点.若的面积为20，则的值为（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 32
【答案】C
【解析】连接，过点A作，垂足为， 四边形是菱形，，，的面积的面积.在中，， 设，则，，，，的面积， 点A在反比例函数的图像上，，，，.
二、填空题（每小题5分，共35分）
7．[2024无锡一模]函数中自变量的取值范围是________.
【答案】
8．[2024盐城三模]点与都在反比例函数的图像上，则______.
【答案】8
9．[2024苏州二模]直线沿轴向左平移4个单位所得直线的表达式是____________.
【答案】
10．[2024南京三模]如图，图像①、②、③分别是反比例函数、、（、、为常数）的部分图像，比较、、的大小关系：____________.（用“ ”或“ ”连接）
【答案】
11．[2024苏州模拟]如图，正方形的顶点，均在轴正半轴上，顶点在边上，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点，都在反比例函数的图像上，若点的坐标为，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】设正方形的边长为， 点的坐标为，， 点、都在反比例函数的图像上，，解得，（舍去），.
12．[2024泰州二模]若点在直线上，点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为____.
【答案】3或5
【解析】 点在直线上， 点到轴的距离与到轴的距离之和为6，.当时，，解得（不符合题意，舍去）；当时，，解得；当时，，解得的值为3或5.
13．[2024南通一模]如图，平面直角坐标系中，函数的图像经过，两点.若的面积为，则的值为________.
【答案】
【解析】作轴、轴，垂足分别为点、，易得，，整理得，
，，
，解得（负值舍去），.
三、解答题（共35分）
14．[2024泰州三模]（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图像交于点.
（1） 求与的值；
（2） 点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数的图像于点，连接，若，求的面积.
解：（1） 把代入中，得，解得；
把代入中，得.
（2） 由（1）知，反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
，.
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设的延长线交轴于点，
， ，
，，
，，
，
当时，，解得，
，，
，
，，
，.
设直线的解析式为，
则解得
直线的解析式为.
当时，，，
，.
15．[2024宿迁三模]（10分）已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是轿车速度的.下图是轿车、货车离地的路程，与行驶时间的函数关系图像.
（1） 货车的速度为__，、两地间的路程为____；
（2） 两车出发后，经过多长时间两车相距？
解：（1） 60；780.
（2） 设，
将和代入上式，
得解得
.
设，
当时，由（1）可得直线经过点和，代入得解得
；
货车到地用了，
当时，将和代入，
得解得
.
综上，
当时，两车相距，即，
解得,舍去.
当时，两车相距，
，
即，
解得，（舍去），
.
当时，两车相距，即，解得.
答：两车出发后，经过或两车相距.
16．[2024泰州一模]（15分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点作轴于点.
图1 图2
（1） 过点作轴，垂足为点，连接.当四边形是平行四边形时，求的值.
（2） 连接，若，求的面积.
（3） 如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接.试探究：对于确定的实数，在动点运动的过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含的代数式表示）；若变化，请说明理由.
解：设点，则.
（1） 由点得直线的表达式为，
联立和，得，
（正值舍去），
当四边形是平行四边形时，，
即，.
（2） 由（1）知，
则的面积.
（3） 不变.
，
直线的表达式为，
联立和，得，解得（正值舍去），
则，
连接，
.
第5节 二次函数的图像与性质
基础练
1．[2024盐城三模]已知二次函数的图像上三点，，的坐标分别为，，，则，，的大小关系为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2．[2024宿迁一模]在二次函数中，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024南通一模]设函数（，，是实数），当时，；当时，.下列正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
4．[2024南京一模]在平面直角坐标系中，二次函数的图像沿直线翻折后能够与另一个二次函数的图像重合，则另一个二次函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2024泰州一模]已知二次函数（为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个小于0，则的值可能是（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】此题可用排除法.若，当分别取、时，其对应的，当取1时，其对应的,选项不符合题意；若，当取时，其对应的,当分别取、1时，其对应的,选项符合题意；同理可得C、D选项不符合题意.
6．[2024无锡二模]已知一条抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的表达式可以为____________________________________.
【答案】（答案不唯一）
7．[2024徐州二模]抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的解析式为________________.
【答案】
8．[2024淮安模拟]二次函数的部分图像如图所示，则的解集是____________.
【答案】
9．[2024南京二模]在二次函数中，与的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 8 0 0 3 …
下列结论：①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根.其中所有正确结论的序号是____.
【答案】①③⑤
10．[2024宿迁二模]对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是________.
【答案】
11．[2024南京一模]点和点在二次函数（，是常数）的图像上.
（1） 当时，求的值；
（2） 当时，求证.
解：（1），，且，，
.
（2） 证明：，
，，
，，
，.
提升练
12．[2024泰州二模]已知二次函数的图像的对称轴是直线，点，在这个二次函数的图像上，若，则、、的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 对称轴是直线，时的函数值与时的函数值相同，均为.又， 抛物线开口向上. 当时，随的增大而增大.又，,且当时，随的增大而增大，.
13．[2024扬州三模]如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：；；；④当时，.其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】 抛物线的开口向上，， 对称轴是直线，、同号，即， 抛物线与轴交于轴的负半轴，，，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为， 它与轴的另一个交点的坐标为，，故②错误；
对于，当时，， 点在二次函数的图像上，又 二次函数的图像与轴交于点， 点在轴下方的抛物线上，，故③正确；
二次函数图像的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数的图像在轴的下方，即，故④正确.综上所述，①③④正确.
14．[2024扬州一模]已知点，，在二次函数的图像上，则方程的解为____________________________.
【答案】,
【解析】,在二次函数的图像上，,对称轴为直线，由方程可得, 点为二次函数图像上的点，是方程的一个解,也就是方程的一个解，设方程的另一个解为,，, 方程的另一个解为, 方程的解为,.
15．[2024无锡模拟]已知抛物线经过点和点，则的最小值是________.
【答案】
【解析】抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点，，易知点和点关于抛物线的对称轴对称，，即，，， 当时，取最小值，为.
16．[2024徐州模拟]如图，二次函数的图像的顶点为，该二次函数的图像与轴相交于、两点，连接，若，，则的值是________.
【答案】
【解析】过作轴于点，
由题意可知，
，，设，则，，
抛物线解析式为，把代入得，解得.
17．[2024苏州模拟]若二次函数的图像与一次函数的图像在内有交点，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】令,整理得, 方程在内有实数根，令， 函数的图像在内与轴有公共点， 函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，,即；当时，，当时，,则或,.
18．[2024扬州一模]若实数，满足关系式，则的最大值为______.
【答案】8
【解析】，，，，，， 当时，取最大值，为.
19．[2024南京模拟]已知函数的图像如图所示，若直线与该图像只有一个交点，则的取值范围为______________________.
【答案】或
【解析】①当时，直线与直线恒相交，令，即,,；②当时，由图像可知，直线与函数的图像只有一个交点.
综上，或.
20．[2024南京一模]已知函数为常数，且.
（1） 求证：该函数的图像与轴总有公共点；
（2） 当时，该函数图像与轴交于，两点，求线段长度的取值范围；
（3） 当时，，直接写出的取值范围.
解：（1） 证明：令，则，，
该函数的图像与轴总有公共点.
（2） 设，， 函数图像与轴交于，两点，，是方程的两个根，
，，
，，
,.
（3） 或.
详解：如图，时，，时，， 抛物线一定过点，， 当时，， 当时，满足题意；当时，，.综上，或.
第6节 二次函数的实际应用
基础练
1．[2024南通一模]如图，以的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线将是抛物线的一部分.如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球从飞出到落地要用______.
【答案】4
2．[2023苏州模拟]如图，桥拱呈抛物线形，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为________米.
【答案】
3．[2024泰州一模]随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展.某电商以每件30元的价格购进某款恤，以每件60元的价格出售.经统计，“元旦”的前一周的销量为500件.该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件.设该恤的定价为每件元，获得的利润为元.
（1） 求与之间的函数关系式.
（2） 若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定，销售利润率不高于，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润（利润率）
解：（1）
.
（2） 由题意可得且，
解得，
， 抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，取最大值，为.
答：当定价为每件42元时，才能使利润最大，最大利润为16 800元.
4．[2024扬州一模]如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙（粗线、表示古城墙，已知，米，米）和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆（细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开）.
图1 图2
（1） 如图1，若点在线段上，所围成的展览馆的面积为4 800平方米，求的长.
（2） 如图2，若点在线段的延长线上，的长为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？
解：（1） 设的长为米，
米，
米，点在线段上，
米米，即，解得，
由矩形的面积公式得，解得，（舍去）.
答：的长为80米.
（2） 设展览馆的面积为平方米，的长为米，则的长为米，
此时，解得，
则
，
， 当时，取最大值，.
答：的长为60米时，展览馆的面积最大，最大面积为5 400平方米.
5．[2024南通二模]公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程（单位：）、速度（单位：）与时间（单位：）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图像如图所示.
（1） 关于的函数关系式为______________________，关于的函数关系式为________________.（不要求写出的取值范围）
（2） 当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
（3） 若乙车以的速度匀速行驶，两车何时最近？最近时距离是多少？
解：（1） ；.
（2） ，
当时，，解得，
当时，.
答：它行驶的路程是.
（3） 当时，甲车的速度为，
当时，两车之间的距离逐渐变大，当时，两车之间的距离逐渐变小， 当时，两车之间的距离最小，
将代入中，得，
将代入中，得，
此时两车之间的距离为.
答：时两车最近，最近时距离是.
提升练
6．飞盘运动（如图①）作为有氧运动，不会有太激烈的竞技属性，老少皆宜.小云是一名飞盘运动爱好者，一个周末，他来到山坡上进行飞盘投掷运动.以飞盘飞出前的位置为原点，水平方向为轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，将发射出去的飞盘看作一个点，其飞行路线可以近似地看作抛物线的一部分，山坡上有一堵墙，其竖直截面为四边形，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为14米、垂直距离为4米.
① ②
（1） 若飞盘在空中飞行的最大高度为5米.
① 求抛物线的解析式.
② 飞盘能飞越这堵墙吗？请说明理由.
（2） 若飞盘恰好落在墙的顶部上（包括端点、）,求的取值范围.
解：（1）① 由题意得，
把代入解析式得，
解得， 抛物线的解析式为.
② 飞盘不能飞越这堵墙，理由如下：
把代入,
得，
， 飞盘不能飞越这堵墙.
（2） 由题知点，,抛物线，
把，代入解析式得解得；
把，代入解析式得解得.
的取值范围为.
微专题3 二次函数的定点、定值、最值问题
1．在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，抛物线经过点、、，点的坐标是，点是抛物线上位于轴上方一点.
（1） 求、、的值；
（2） 求面积的最大值.
解：（1） 抛物线经过点、、，
解得
（2） 由（1）知抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，点的坐标为，其中,
，，
， 直线与轴的交点为，
，
，, 当时，的面积取最大值，为.
2．[2024南京二模]已知二次函数为常数,.
（1） 当时,求该函数的图像的顶点坐标;
（2） 当取不同的值时,该函数的图像总经过一个或几个定点,求出所有定点的坐标;
（3） 已知,，若该函数的图像与线段恰有1个公共点,直接写出的取值范围.
解：（1）当时,
,
顶点坐标为.
（2） , 当,即或时,的值与无关,
时,,时,,
定点坐标为,.
（3） 或或.
详解： 当时,,即,当时,,,解得，满足题意.当时,,, 抛物线与直线的两交点坐标为,.①当时,抛物线开口向上,过,两点,在的左边,根据图像可知.②当时，抛物线开口向下,过,两点,,,.综上，或或.
3．[2024南通一模]在二次函数的图像上取三个点，，，其中，点在第二象限内，，两点横坐标分别为，，且满足.
（1） 求的值.
（2） 当时，二次函数的最大值为，最小值为.若，求的取值范围.
（3） 连接，，.当时，作，垂足为点，是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由.
解：（1） 将代入得，解得（舍去）或，即.
（2） 由题意得，点、的坐标分别为、，且，
即.
①当时，点在对称轴上或对称轴左侧，
，，，；
②当时，点在对称轴右侧，且点到轴的距离大于或等于点到轴的距离，则，，
，；
③当时，点在对称轴右侧，且点到轴的距离大于点到轴的距离，则，，
,
.
综上，.
（3） 存在.
如图，点、的坐标分别为、，过点作直线轴，作于点，作于点，
，，
，，
即，，
由点、的坐标得直线的表达式为，
当时，，设,
即直线恒过定点，
当点、不重合时，，
当取得最大值时，、重合，
的最大值为.
4．[2024扬州一模]如图，已知抛物线，点，在此函数图像上，动点位于点、之间的抛物线上（不与点，重合），过点作直线的垂线，垂足为点.
图1 图2 图3
（1） 如图1，求该二次函数的解析式；
（2） 尺规作图：当最大时，在图2中作出此时的点；
（3） 如图3，连接交直线于点，直接写出的最大值.
解：（1） 将代入中，得，解得，
该二次函数的解析式为.
（2） 如图,点即为所求.
详解： 连接，过点作交于点，， 当最大时，的值最大， , 点在以为直径的圆上， 当垂直平分时，最大.作的垂直平分线，交抛物线于点，点即为所求.
.
详解： 过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由（1）得，又，，，，，，，， ，过点作于点，，， 当最大时，的值最大，连接,设以为直径的圆的圆心为，过点作交圆于点，交于点，则的最大值就是的长，易得，的最大值为.
微专题4 与二次函数有关的几何图形存在性问题
1．如图,在平面直角坐标系中，二次函数的图像与直线相交于、两点,与轴交于点.点是抛物线上一个动点,且在直线的上方.
备用图
（1） 求这个二次函数的表达式.
（2） 过点作轴交直线于点,求的最大值.
（3） 点为抛物线对称轴上的点,问在抛物线上是否存在点,使为等腰直角三角形，且为直角？若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解：（1） 由直线得点、的坐标分别为、,
则抛物线的表达式为,,,
抛物线的表达式为.
（2） 设,
轴交直线于点,
,
,,
当时,.
（3） 存在,设,
,
抛物线的对称轴是直线,设直线交轴于点,则,轴,
作于点,则 ,.
如图1,点在轴上方,且点在直线左侧,
图1
,,
,
,
,,
,
解得,（不符合题意,舍去）,
,
.
如图2,点在轴上方,且点在直线右侧，
图2
同理可得,
,,
,
解得,（不符合题意,舍去）,.
如图3,点在轴下方,且点在直线右侧,
图3
同理可得,
,,
,
,
解得,（不符合题意,舍去）,.
如图4,点在轴下方,且点在直线左侧,
图4
同理可得,
,,
,
,
解得,（不符合题意,舍去）,.
综上所述,点的坐标为或（,）或（,）或.
2．[2024盐城三模]如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，.
（1） 求该抛物线的解析式.
（2） 设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3） 抛物线上是否存在一点，使与的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
（4） 点是轴上的动点，连接，求的最小值.
解：（1） 将、、代入中，
得解得
.
（2） 存在.
对称轴为直线，设，
由已知可得，，
轴，轴，，
，.
①当时，
，或；
②当时，
，即，
或.
综上，点的坐标为或或或.
（3） 存在.对于函数,当时，，，
设直线的解析式为，
将、代入，
得解得
直线的解析式为，
过点作交轴于点，
易得直线的解析式为，
联立得解得（舍去）或，.
对于函数,当时，，
， 点关于点对称的点的坐标为，
易得过点与直线平行的直线解析式为，
联立得
解得或，
或.
综上，点的坐标为或或.
（4） 在上截取,连接，使得，过点作交于点，交轴于点，过点作轴交于点，
,，
，即的最小值为的长.
，，
，，
，
易得直线的解析式为，
，，
，，
，，
在中，，
，
的最小值为.
3．[2024宿迁模拟]若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过点，点，且与轴交于点.
备用图
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若点为直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3） 将抛物线沿轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点（靠近轴），是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标.
解：（1） 把代入得，
，把代入得，解得，，
二次函数的表达式为，把代入得，解得，
故抛物线的表达式为.
（2） 由（1）可得直线的解析式为,
设点，则，
，，
当 时，取最大值，为，
此时，点的坐标为.
（3） 或或.
详解： ， 抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，把代入得，解得，，， 点是原抛物线对称轴上一动点， 设， 点在新抛物线上， 设.①当为边时，由平移得点向右平移4个单位得到点，即，或6，即点的坐标为或.②当为对角线时，由中点坐标公式得，解得，则.综上，点的坐标为或或.
4．[2024徐州一模]如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，抛物线的顶点坐标为，对称轴交轴于点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 已知抛物线上一点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值.
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1） 抛物线的顶点坐标为,
抛物线的表达式为.
（2） 设点，点，过点作轴交轴于点，交过点的轴的平行线于点，
易得，
，即，
即，
， 点，
为的中点，
点，又点，
，，
当时，的最小值为.
（3） 存在.易得,,
设点，.
当为对角线时，
,,,
,.
当为边时，易得直线的解析式为,
若为边，则，
直线的解析式为,
令,解得或（舍去）， 点的横坐标为2；
若为边，则，
直线的解析式为,
令,解得或（舍去）， 点的横坐标为.
综上，点的横坐标为或2或.
第三章 章节检测（二）
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．[2024常州模拟]对于二次函数的图像的特征，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 经过原点
C. 对称轴是轴 D. 顶点在轴上
【答案】D
2．[2024苏州三模]若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数的图像与轴的交点坐标为（ ）
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
【答案】A
3．[2024无锡一模]下列函数中，其图像一定不经过第三象限的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
4．[2024淮安一模]点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
5．[2024无锡一模]二次函数图像的对称轴为直线，该二次函数图像上存在两点，，若对于，始终有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．[2024常州二模]如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：
；；；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则.其中，错误的结论是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C
【解析】函数图像开口向下，则，对称轴为，则，，，，故①正确； 函数图像过点， 由对称性可得函数图像与轴的另一交点坐标为，由函数图像可得当时，，故②正确；当时，，，将代入得，故③错误； 抛物线的对称轴是直线， 当，即时，，故④正确.
二、填空题（每小题4分，共32分）
7．[2024淮安模拟]将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是____________________.
【答案】
8．[2024泰州二模]已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________.
【答案】
9．[2024无锡二模]已知二次函数的图像的对称轴是直线，则的值为______.
【答案】5
10．[2023宿迁模拟]小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是________.
【答案】
11．[2024无锡一模]已知二次函数的图像与直线交于、两点，则关于的不等式的解集为____________.
【答案】
12．[2024南京一模]二次函数为常数，的图像的顶点与原点的距离的最小值为________.
【答案】
13．[2024宿迁一模]规定：如果两个函数的图像关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”.例如：函数与互为“函数”.若函数的图像与轴只有一个公共点，则它的“函数”的图像与轴的公共点坐标为__________________________.
【答案】或
【解析】当时，函数解析式为，它的“函数”解析式为，图像与轴的交点坐标为；
当时，此函数为二次函数，
，解得， 二次函数的解析式为，它的“函数”解析式为，图像与轴的公共点坐标为.
综上，该函数的“函数”的图像与轴的公共点坐标为或.
14．[2024无锡一模]当时，关于的二次函数的图像在轴上方，则的取值范围为______________________________.
【答案】或
【解析】二次函数的图像的对称轴为直线，当时，抛物线开口向下，，，时，取最小值，最小值为，，解得，
；当时，抛物线开口向上，时，取最小值，最小值为，，解得，.
综上，或.
三、解答题（共44分）
15．[2024南京一模]（12分）已知二次函数（是常数）.
（1） 求证：不论为何值，该函数图像与轴总有两个公共点；
（2） 求证：当时，该函数图像与轴的交点总在轴的下方.
证明：（1），
不论为何值，该函数图像与轴总有两个公共点.
（2） 当时，， 二次函数图像与轴的交点坐标为，
，，
当时，该函数图像与轴的交点总在轴的下方.
16．[2024淮安模拟]（14分）某运动品牌店欲购进一批进价为20元/套的球服，如果按每套40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，每套售价每提高1元，每个月的销售量相应减少5套.设销售价格为元/套，销售量为套.
（1） 与之间的函数表达式是________________.
（2） 设销售总利润为元，求与的函数关系式，并求出当销售价格为多少元/套时，才能在一个月内获得最大利润.最大利润是多少？
（3） 若该店要求一个月内获利不低于2 500元，则的取值范围为________________.
解：（1） .
（2）由题意得，
，
，，
当时，取最大值，为4 500.
答：销售价格为50元/套时，能在一个月内获得最大利润，为4 500元.
（3） .
17．[2024常州一模]（18分）如图，抛物线，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式.
（2） 点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，与相交于点.
① 作轴，垂足为，当时，求点的横坐标；
② 请求出的最大值.
解：（1） 由中心对称得,即，
对于抛物线，令，则，解得，，
，，
令，则，，
易得直线的表达式为.
（2） ① 设点，
，
轴，，
，
，易知,
点的横坐标为 .
② 分别过点、点作轴的平行线，分别与直线交于点、点，
，，
将代入得，
，
，，
要求 的最大值，只需求的最大值，设点，
则点，
，
当时，的最大值为，
的最大值为.
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2025江苏版数学中考专题
第三章 函数
第1节 平面直角坐标系与函数
基础练
1．[2024宿迁一模]如果点在第二象限，那么点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．[2024常州二模]在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024泰州一模]下列图像不能反映是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024常州一模]小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下列可以近似刻画该汽车在这段时间内速度的变化情况的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．[2024泰州三模]函数中自变量的取值范围是________.
6．[2024南通模拟]已知点在轴上，则点的坐标是____________.
7．[2024常州一模]点关于直线对称的点的坐标是____________.
8．[2024南京模拟]如图，的顶点，的坐标分别为，，
将平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是____________.
9．[2024盐城一模]已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是____________.
10．如图，已知在平面直角坐标系内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为.
（1） 请你根据条件，画出平面直角坐标系；
（2） 写出体育馆、医院、市场、火车站所在位置的坐标；
（3） 在平面内找一个点，使得该点到市政府、体育馆、医院三者的距离相等，请你利用网格画出该点并写出它的坐标.
提升练
11．[2024连云港二模]在平面直角坐标系中，点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．[2024常州模拟]如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．[2024宿迁三模]兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图像，输入了一组，的值，得到了它的函数图像（如图），借助学习函数的经验，可以推出输入的，的值满足 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．[2024常州模拟]对于平面直角坐标系中的点，若的坐标为，其中为常数，且，则、互为“系关联点”，如：的“2系关联点”为，即.若点的“系关联点”为，且满足，则的值为______.
15．如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是____________________________.
16．[2024南京二模]如图，，，， ，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6， ，，顶点，，， ，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，则点的坐标为____________________.
n
17．[2024南通二模]在平面直角坐标系中，点的坐标为，是第一象限内任意一点，连接，，若 ， ，点到轴的距离为1，则的最小值为__.
18．[2024泰州一模]如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止.设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图像，其中点为曲线的最低点，则的高线的长为________.
图1 图2
第2节 一次函数的图像与性质
基础练
1．[2024宿迁模拟]下列函数中，表示是的一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024苏州一模]已知点、在函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024无锡一模]下列四个选项中，不符合直线的特征的是（ ）
A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大
C．与轴交于点 D．与轴交于点
4．[2024徐州二模]函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知与成正比例，且当时，，则与的函数表达式是____________.
6．[2024扬州一模]若点，都在一次函数的图像上，且，则实数的取值范围是__________.
7．[2024无锡一模]把一次函数的图像向下平移3个单位长度后，得到的新图像对应的函数表达式是____________.
8．[2024徐州模拟]在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为______.
9．[2024南京一模]一次函数的图像经过点，当时，，则的值可以是________________（写出一个即可）.
10．[2024扬州一模]若关于、的二元一次方程组的解是则一次函数与是常数，的图像的交点坐标是____________.
11．[2024苏州模拟]在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点，则代数式的值为______.
12．已知一次函数的图像经过点，且与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为________________________________.
13．如图，平面直角坐标系中，函数的图像与轴相交于点，与函数的图像相交于点，且.
（1） 求点的坐标；
（2） 求函数、的图像与轴所围成的三角形的面积.
提升练
14．[2024泰州三模]若一次函数的图像经过点，，则下列结论正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．[2024扬州二模]如图，直线分别交坐标轴于点、，轴上一点关于直线的对称点坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．[2024宿迁模拟]如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、且，若与轴相交于点，与、分别相交于点、，则的面积（ ）
A．等于8 B．等于10
C．等于12 D．随着取值的变化而变化
17．[2024常州一模]直线与直线是常数，且交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
18．[2024苏州二模]无论取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于______.
19．[2024无锡一模]已知函数且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是________________.
20．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，已知线段、的长为一元二次方程的两个实数根.
（1） 求直线的解析式；
（2） 点为直线上的点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3） 平移直线，使平移后的直线经过点，与轴交于点，从点引出一条直线，当直线与直线在第一象限内的交点恰好是整点（即横、纵坐标均为整数的点，不含点、）时，请求出直线的表达式.
第3节 一次函数的实际应用
基础练
1．[2024镇江二模]甲、乙两公司提供了不同的移动通信收费方案，它们各自的费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示，若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（ ）
A．10元 B．11元 C．12元 D．13元
2．[2024扬州二模]在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数.若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂物体后弹簧的长度大，则物体比重______.
3．[2024南京模拟]如图，两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图像分别表示两者离快者的起点的距离与两者运动的时间之间的关系，则慢者的速度是______.
4．[2024苏州一模]现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，
甲、乙两个蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数图像如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为________.
5．[2024南通二模]为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下.
型号 甲 乙
效率（单位：千克/时）
每台价格（单位：万元） 4 6
已知一台甲型机器人搬运500千克原材料所用时间与一台乙型机器人搬运750千克原材料所用时间相等.
（1） 求的值.
（2） 该工厂每小时需要用掉原材料710千克，如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？
6．[2024宿迁模拟]甲船从港出发顺流匀速驶向港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向港.乙船从港出发逆流匀速驶向港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同，甲、乙两船在静水中的速度相同.甲、乙两船到港的距离，与行驶时间之间的函数图像如图所示.
（1） 直接写出乙船逆流行驶的速度；
（2） 求甲船逆流行驶的路程；
（3） 求甲船到港的距离与行驶时间之间的函数关系式.
（参考公式：船顺流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度，船逆流航行的速度船在静水中航行的速度-水流速度）
提升练
7．[2024无锡一模]明明和亮亮都在、两地间同一直道做匀速往返走锻炼.明明的速度小于亮亮的速度.明明从地出发，同时亮亮从地出发.图中的折线段是从开始到两人第二次相遇时，两人之间的距离（米）与行走时间（分，忽略掉头等时间）的函数关系的图像，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．[2024南通一模]已知，两地相距,甲8：00从地出发骑自行车前往地，其与地的距离（单位：）与出发后所用时间（单位：）之间的关系如图所示；乙9：30从地出发以的速度驾车前往地.
（1） 求甲的速度；
（2） 请直接写出乙与地的距离（单位：）与甲出发后所用时间（单位：）之间的函数关系式，并在图中画出函数图像；
（3） 当乙在行驶途中与甲相距时，请求出的值.
9．[2024南京二模]某平台提供同城配送服务，每单费用基础配送费路程附加费质量附加费.其中，基础配送费为8元；路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，每千米1元，若超过3千米，则超过部分每千米2元；质量附加费（元）与物品质量之间的函数关系如图中折线所示.
（1） 当物品质量为，配送路程为时，配送的费用为__元；
（2） 当时，求与的函数表达式；
（3） 某客户需将质量为的物品送到相距处的某地，由于平台规定每单配送物品的质量不得超过，现需要分两单配送（物品可任意拆分），则两单费用之和的最小值为__元.
第4节 反比例函数
基础练
1．[2024徐州模拟]已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限 B．图像必经过点
C．图像不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
2．[2024苏州三模]已知点，在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024盐城模拟]如图，在菱形中，，，点为原点，点在轴正半轴上，若函数的图像经过点，则的值是 （ ）
A．24 B．12 C． D．
4．[2024宿迁二模]已知反比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值范围是________.
5．[2024南京一模]当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图像如图所示.当气球内的气压大于时，气球会爆炸.为了安全，气球内气体体积应满足________________.
6．[2024徐州三模]如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图像上，且轴于点.若点的坐标为，则的值为________.
7．[2024常州二模]如图，一次函数的图像与轴负半轴交于点，与反比例函数的图像交于点.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式.
8．[2024苏州一模]如图，四边形为菱形，且点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像经过点，且与边交于点.
（1） 求的值及点的坐标；
（2） 判断点是不是边的中点，并说明理由.
提升练
9．[2024连云港二模]如图，正方形的边长为6，点、分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为（ ）
A． B．12 C．16 D．18
10．[2024无锡二模]如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接，轴.已知点，连接，，若，，则与轴交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．[2023南京]在平面直角坐标系中，点为原点，点在第一象限，且.若反比例函数的图像经过点，则的取值范围是____________.
12．[2024泰州一模]如图所示，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点在第一象限.设点的横坐标为.
备用图
（1） 若，，求点和点的坐标；
（2） 若，点落在反比例函数图像上，求的值；
（3） 若点落在反比例函数图像上，设点的横坐标为，试判断是不是定值，并说明理由.
微专题2 反比例函数与一次函数的综合应用
1．已知反比例函数与一次函数的图像没有公共点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．[2023徐州模拟]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，轴于点，点坐标为，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
3．[2023无锡模拟]如图，点是反比例函数图像上一动点，连接并延长交图像另一支于点.点为第一象限内的点，且，当点运动时，点始终在函数的图像上运动，则的正切值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．[2024南京三模]如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数的图像于点，，若，则的值为（ ）
A．6 B． C．9 D．12
5．[2024南京三模]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数、是常数，且与反比例函数是常数，且的图像相交于，两点，则不等式的解集是________________________.
6．[2024徐州三模]在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为________.
7．[2024常州模拟]如图，是第一象限内一次函数图像上一动点，反比例函数的图像经过点，则的取值范围是____________.
8．[2024泰州二模]如图，正方形的顶点、分别在一次函数和反比例函数的图像上，顶点、在轴上，则该正方形的边长为______.
9．[2024苏州二模]已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点在第三象限，点在第一象限.若线段的中点坐标为，则实数的值为______.
10．[2024南通一模]如图，直线交双曲线的一支于，两点，交轴于点，，连接，，则的值为______.
11．[2024泰州一模]已知函数是常数，，函数.
（1） 若函数和函数的图像交于点，点.
① 求，的值；
② 当时，直接写出的取值范围.
（2） 若点在函数的图像上，点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值.
12．[2023连云港一模]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴交于点，与轴交于点.
备用图
（1） 求出，的值.
（2） 若为轴上一动点，当的面积为时，求的值.
（3） 在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在,请说明理由.
第三章 章节检测（一）
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024常州模拟]在坐标平面内，一次函数的图像经过点（ ）
A． B． C． D．
2．[2024宿迁二模]如果点在第三象限内，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024南京模拟]在反比例函数的图像上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024南通二模]如图，一次函数的图像经过点和点.若，则满足条件的的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
5．[2024南通二模]已知，，将线段平移得到线段，点的对应点为点，若，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
6．[2024苏州二模]如图，菱形的边在轴的非负半轴上，，反比例函数的图像经过点，且与相交于点.若的面积为20，则的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
二、填空题（每小题5分，共35分）
7．[2024无锡一模]函数中自变量的取值范围是________.
8．[2024盐城三模]点与都在反比例函数的图像上，则______.
9．[2024苏州二模]直线沿轴向左平移4个单位所得直线的表达式是____________.
10．[2024南京三模]如图，图像①、②、③分别是反比例函数、、（、、为常数）的部分图像，比较、、的大小关系：____________.（用“ ”或“ ”连接）
11．[2024苏州模拟]如图，正方形的顶点，均在轴正半轴上，顶点在边上，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点，都在反比例函数的图像上，若点的坐标为，则点的坐标为____________.
12．[2024泰州二模]若点在直线上，点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为____.
13．[2024南通一模]如图，平面直角坐标系中，函数的图像经过，两点.若的面积为，则的值为________.
三、解答题（共35分）
14．[2024泰州三模]（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图像交于点.
（1） 求与的值；
（2） 点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数的图像于点，连接，若，求的面积.
15．[2024宿迁三模]（10分）已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是轿车速度的.下图是轿车、货车离地的路程，与行驶时间的函数关系图像.
（1） 货车的速度为__，、两地间的路程为____；
（2） 两车出发后，经过多长时间两车相距？
16．[2024泰州一模]（15分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点作轴于点.
图1 图2
（1） 过点作轴，垂足为点，连接.当四边形是平行四边形时，求的值.
（2） 连接，若，求的面积.
（3） 如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接.试探究：对于确定的实数，在动点运动的过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含的代数式表示）；若变化，请说明理由.
第5节 二次函数的图像与性质
基础练
1．[2024盐城三模]已知二次函数的图像上三点，，的坐标分别为，，，则，，的大小关系为 （ ）
A． B．
C． D．
2．[2024宿迁一模]在二次函数中，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024南通一模]设函数（，，是实数），当时，；当时，.下列正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．[2024南京一模]在平面直角坐标系中，二次函数的图像沿直线翻折后能够与另一个二次函数的图像重合，则另一个二次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024泰州一模]已知二次函数（为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个小于0，则的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
6．[2024无锡二模]已知一条抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的表达式可以为____________________________________.
7．[2024徐州二模]抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的解析式为________________.
8．[2024淮安模拟]二次函数的部分图像如图所示，则的解集是____________.
9．[2024南京二模]在二次函数中，与的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 8 0 0 3 …
下列结论：①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根.其中所有正确结论的序号是____.
10．[2024宿迁二模]对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是________.
11．[2024南京一模]点和点在二次函数（，是常数）的图像上.
（1） 当时，求的值；
（2） 当时，求证.
提升练
12．[2024泰州二模]已知二次函数的图像的对称轴是直线，点，在这个二次函数的图像上，若，则、、的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
13．[2024扬州三模]如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：；；；④当时，.其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．[2024扬州一模]已知点，，在二次函数的图像上，则方程的解为____________________________.
15．[2024无锡模拟]已知抛物线经过点和点，则的最小值是________.
16．[2024徐州模拟]如图，二次函数的图像的顶点为，该二次函数的图像与轴相交于、两点，连接，若，，则的值是________.
17．[2024苏州模拟]若二次函数的图像与一次函数的图像在内有交点，则实数的取值范围是______________.
18．[2024扬州一模]若实数，满足关系式，则的最大值为______.
19．[2024南京模拟]已知函数的图像如图所示，若直线与该图像只有一个交点，则的取值范围为______________________.
20．[2024南京一模]已知函数为常数，且.
（1） 求证：该函数的图像与轴总有公共点；
（2） 当时，该函数图像与轴交于，两点，求线段长度的取值范围；
（3） 当时，，直接写出的取值范围.
第6节 二次函数的实际应用
基础练
1．[2024南通一模]如图，以的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线将是抛物线的一部分.如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球从飞出到落地要用______.
2．[2023苏州模拟]如图，桥拱呈抛物线形，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为________米.
3．[2024泰州一模]随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展.某电商以每件30元的价格购进某款恤，以每件60元的价格出售.经统计，“元旦”的前一周的销量为500件.该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件.设该恤的定价为每件元，获得的利润为元.
（1） 求与之间的函数关系式.
（2） 若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定，销售利润率不高于，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润（利润率）
4．[2024扬州一模]如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙（粗线、表示古城墙，已知，米，米）和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆（细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开）.
图1 图2
（1） 如图1，若点在线段上，所围成的展览馆的面积为4 800平方米，求的长.
（2） 如图2，若点在线段的延长线上，的长为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？
5．[2024南通二模]公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程（单位：）、速度（单位：）与时间（单位：）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图像如图所示.
（1） 关于的函数关系式为______________________，关于的函数关系式为________________.（不要求写出的取值范围）
（2） 当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
（3） 若乙车以的速度匀速行驶，两车何时最近？最近时距离是多少？
提升练
6．飞盘运动（如图①）作为有氧运动，不会有太激烈的竞技属性，老少皆宜.小云是一名飞盘运动爱好者，一个周末，他来到山坡上进行飞盘投掷运动.以飞盘飞出前的位置为原点，水平方向为轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，将发射出去的飞盘看作一个点，其飞行路线可以近似地看作抛物线的一部分，山坡上有一堵墙，其竖直截面为四边形，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为14米、垂直距离为4米.
① ②
（1） 若飞盘在空中飞行的最大高度为5米.
① 求抛物线的解析式.
② 飞盘能飞越这堵墙吗？请说明理由.
（2） 若飞盘恰好落在墙的顶部上（包括端点、）,求的取值范围.
微专题3 二次函数的定点、定值、最值问题
1．在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，抛物线经过点、、，点的坐标是，点是抛物线上位于轴上方一点.
（1） 求、、的值；
（2） 求面积的最大值.
2．[2024南京二模]已知二次函数为常数,.
（1） 当时,求该函数的图像的顶点坐标;
（2） 当取不同的值时,该函数的图像总经过一个或几个定点,求出所有定点的坐标;
（3） 已知,，若该函数的图像与线段恰有1个公共点,直接写出的取值范围.
3．[2024南通一模]在二次函数的图像上取三个点，，，其中，点在第二象限内，，两点横坐标分别为，，且满足.
（1） 求的值.
（2） 当时，二次函数的最大值为，最小值为.若，求的取值范围.
（3） 连接，，.当时，作，垂足为点，是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由.
4．[2024扬州一模]如图，已知抛物线，点，在此函数图像上，动点位于点、之间的抛物线上（不与点，重合），过点作直线的垂线，垂足为点.
图1 图2 图3
（1） 如图1，求该二次函数的解析式；
（2） 尺规作图：当最大时，在图2中作出此时的点；
（3） 如图3，连接交直线于点，直接写出的最大值.
微专题4 与二次函数有关的几何图形存在性问题
1．如图,在平面直角坐标系中，二次函数的图像与直线相交于、两点,与轴交于点.点是抛物线上一个动点,且在直线的上方.
备用图
（1） 求这个二次函数的表达式.
（2） 过点作轴交直线于点,求的最大值.
（3） 点为抛物线对称轴上的点,问在抛物线上是否存在点,使为等腰直角三角形，且为直角？若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
2．[2024盐城三模]如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，.
（1） 求该抛物线的解析式.
（2） 设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3） 抛物线上是否存在一点，使与的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
（4） 点是轴上的动点，连接，求的最小值.
3．[2024宿迁模拟]若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过点，点，且与轴交于点.
备用图
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若点为直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3） 将抛物线沿轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点（靠近轴），是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标.
4．[2024徐州一模]如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，抛物线的顶点坐标为，对称轴交轴于点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 已知抛物线上一点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值.
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.
第三章 章节检测（二）
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．[2024常州模拟]对于二次函数的图像的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是轴 D．顶点在轴上
2．[2024苏州三模]若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数的图像与轴的交点坐标为（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
3．[2024无锡一模]下列函数中，其图像一定不经过第三象限的是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024淮安一模]点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．[2024无锡一模]二次函数图像的对称轴为直线，该二次函数图像上存在两点，，若对于，始终有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024常州二模]如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：
；；；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则.其中，错误的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每小题4分，共32分）
7．[2024淮安模拟]将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是____________________.
8．[2024泰州二模]已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________.
9．[2024无锡二模]已知二次函数的图像的对称轴是直线，则的值为______.
10．[2023宿迁模拟]小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是________.
11．[2024无锡一模]已知二次函数的图像与直线交于、两点，则关于的不等式的解集为____________.
12．[2024南京一模]二次函数为常数，的图像的顶点与原点的距离的最小值为________.
13．[2024宿迁一模]规定：如果两个函数的图像关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”.例如：函数与互为“函数”.若函数的图像与轴只有一个公共点，则它的“函数”的图像与轴的公共点坐标为__________________________.
14．[2024无锡一模]当时，关于的二次函数的图像在轴上方，则的取值范围为______________________________.
三、解答题（共44分）
15．[2024南京一模]（12分）已知二次函数（是常数）.
（1） 求证：不论为何值，该函数图像与轴总有两个公共点；
（2） 求证：当时，该函数图像与轴的交点总在轴的下方.
16．[2024淮安模拟]（14分）某运动品牌店欲购进一批进价为20元/套的球服，如果按每套40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，每套售价每提高1元，每个月的销售量相应减少5套.设销售价格为元/套，销售量为套.
（1） 与之间的函数表达式是________________.
（2） 设销售总利润为元，求与的函数关系式，并求出当销售价格为多少元/套时，才能在一个月内获得最大利润.最大利润是多少？
（3） 若该店要求一个月内获利不低于2 500元，则的取值范围为________________.
17．[2024常州一模]（18分）如图，抛物线，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式.
（2） 点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，与相交于点.
① 作轴，垂足为，当时，求点的横坐标；
② 请求出的最大值.
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