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2025江苏版数学中考专题
第七章 图形的变换
第1节 尺规作图
基础练
1．[2024苏州一模]如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，若，，则矩形的周长为（ ）
A. 24 B. 12 C. 8 D. 36
【答案】A
2．[2024苏州模拟]如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点.若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
3．[2024苏州一模]如图，在中， .以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接.分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，
交边于点，则的值为______.
【答案】
4．[2024徐州一模]已知线段，按如下步骤作图：①取线段中点；②过点作直线，使；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④作的平分线，交于点.则的值为__________.
【答案】
5．[2024宿迁二模]如图，已知中， .
（1） 尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 点在边上，连接，若 ，求证：.
解：（1） 如图，即为所求.
（2） 证明：过点作于点，为的平分线，，，，
在和中，
，
， ， ，，
在和中，
，，
.
6．[2024常州模拟]如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆（不写作法），当，时，求的外接圆的半径长.
解：（1） 证明：，
，，，
，
在和中，
.
（2）如图，即为所求.
，，
，，
，
的外接圆的半径长为.
7．[2023连云港]如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2） 在（1）的条件下，求证：.
解：（1） 如图所示.（方法不唯一）
（2） 证明：，
，
，，
，
点在以为直径的圆上，
， ，
为的切线， ，
， ，
，
在和中，
，.
提升练
8．[2024南京模拟]已知 ，线段，线段.使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）.
（1） 求作，使得 ，周长等于线段的长；
（2） 求作，使得 ，的一边上的高等于线段的长，周长等于线段的长.
解：（1） 作 ，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于点，连接，如图，即为所求.
（2） 作 ，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图，即为所求.
9．[2024泰州二模]如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点.中，，，三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法.
图1 图2
（1） 在图1中，过点作的外接圆的切线；
（2） 在图2中的圆上作一点，使得.
解：（1） 如图1，直线即为所求.
图1
（2） 如图2，点即为所求.
图2
详解：取格点，连接并延长交圆于点，连接，易得四边形为平行四边形，，，，，即，.
10．[2024宿迁模拟]已知：如图，在中， ，.
（1） 请利用直尺和圆规作出关于直线对称的；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2） 在边上找一点，取的中点，使得，请利用直尺和圆规作出点和点.（不要求写作法，保留作图痕迹）
解：（1） 如图，即为所求.
（2） 如图，点、点即为所求.
详解： 作图步骤：①作的垂直平分线，交于点；②连接并延长，交于点；③作的垂直平分线，交于点，连接.
第2节 视图与投影
基础练
1．[2024宿迁模拟]一个正方体的展开图如图所示，将它折成正方体后，“建”字的对面是（ ）
A. 和 B. 谐 C. 泰 D. 州
【答案】D
2．[2024苏州一模]如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 三棱锥 C. 圆锥 D. 三棱柱
【答案】D
3．[2024苏州二模]中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图所示的方式摆放，则它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
4．[2024连云港三模]下列几何体中，俯视图的形状与另外三个不同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5．[2024南通二模]如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为（ ）
主视图 左视图 俯视图
A. B. C. D.
【答案】A
6．[2024苏州模拟]如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）
主视图 左视图
A. B. C. D.
【答案】A
7．[2024连云港一模]如图是一个长方体纸盒的展开图，则这个纸盒的体积是__.
【答案】24
8．一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为____.
主视图 左视图 俯视图
【答案】144
9．将正方体的一种展开图按如图所示的方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长均为1，则______.
【答案】8
10．[2024无锡一模]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是______________.
【答案】
11．如图，小树在路灯的照射下形成投影.
（1） 此光源下形成的投影属于____________；（填“平行投影”或“中心投影”）
（2） 已知树高为，树影长为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度.
解：（1） 中心投影.
（2），，
，
，
，即，
.
12．
（1） 画出从正面、左面、上面看如图所示的几何体得到的平面图形；
（2） 若再添加个小正方体，使新得到的几何体的主视图和左视图不变，则的最大值为______.
解：（1） 如图所示.
（2） 6.
提升练
13．[2023无锡二模]如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源.木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的投影长为（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】D
14．[2023南京二模]如图，将左图中的正方体纸盒切去一角得到右图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
15．用大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要______个小正方体.
主视图 左视图
【答案】5
【解析】由题图得，第二层有2个小正方体，第一层最少有3个小正方体，故至少需要5个小正方体.
16．如图1，螺丝由头部（直六棱柱）和螺纹部分（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示.小明将刻度尺紧靠螺纹部分放置，使其经过点且交于点，量得长为，正六边形的边长为.
图1 图2
（1） 长为______；
（2） 为圆上一点，则的最小值为____________.
【答案】（1） 7
（2）
详解：设切点为，圆心为，连接，则，连接，则过圆心，设交于，过点作于点，在中，， ，， ，，，，即，解得，易知的最小值为.
第3节 图形的对称（含图形的折叠）
基础练
1．[2024苏州]下列图案中，是轴对称图形的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2．[2024扬州二模]下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2024盐城模拟]如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024南京一模]如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024常州一模]如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处.若 ，，则的周长为__.
【答案】12
6．[2024常州模拟]如图，在正方形网格中，涂色的部分构成一个轴对称图形，现任意选取一个白色的小正方形涂色，能使图中涂色的部分仍然构成一个轴对称图形的概率是________.
【答案】
7．[2024盐城模拟]将一张圆形纸片（圆心为点）沿直径对折后，按图1分成六等份，并沿虚线折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开，得到如图3所示的一个六角星.若 ，则的度数为__________.
图1 图2 图3
【答案】
【解析】由题意知， ，由翻折知，， ， ， ，
8．图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，其中已有两个小菱形涂了色，请你再给两个小菱形涂色，使得整个涂色部分满足下列条件.
图1 图2
（1） 图1中，整个涂色部分为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2） 图2中，整个涂色部分为中心对称图形，但不是轴对称图形.
解：（1） 如图.（答案不唯一）
（2） 如图.（答案不唯一）
提升练
9．[2024无锡二模]如图，是等边三角形，点是边上的一个动点，点关于、的对称点分别为、，连接、、，点从点运动到点的过程中，的面积的变化情况为（ ）
A. 保持不变 B. 一直变小
C. 先变大再变小 D. 先变小再变大
【答案】D
【解析】连接，由轴对称的性质可知，，，，，又是等边三角形， ， ，过点作的垂线，垂足为， .在中， ，，，，.又 点从A向B的运动过程中，先变小再变大，的面积先变小再变大.
10．[2024连云港三模]如图，平行四边形中，，， ，点在上，将沿折叠得到，若点恰好在线段上，则的长为__________.
【答案】
【解析】过作，交的延长线于，由题意得， ，，中，，，，，又，，，设，则，中，，即，解得，（舍去），，
又，.
11．[2024南京模拟]正方形边长为10，点在上，，将沿折叠得，连接并延长交于点，则________.
【答案】
【解析】延长交于点，连接交于点， 四边形是边长为10的正方形，， ，由折叠得，， ，， ，，，，垂直平分， ，，，，，且，，，，解得，.
12．[2024泰州三模]实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片沿过的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，得到折痕，交于点.
图1 图2
问题解决：
（1） 如图1，求证：四边形是正方形；
（2） 如图2，若，，求的面积.
解：（1） 证明： 四边形是矩形，
，由折叠知， ,
四边形为矩形，又,
四边形是正方形.
（2） 连接，由（1）知，
四边形是矩形，
， ，
由折叠知，，，
，，
又，
，
，，
设，，，
，
，
在中，由勾股定理得，即，解得，即，的面积.
第4节 图形的平移、旋转
基础练
1．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024南京模拟]如图，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若， ，则旋转角 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2024盐城一模]如图，该图形绕其中心旋转一定角度，能与旋转前完全重合，则其旋转角最小为__ .
【答案】72
4．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线.
则这块草地的绿地面积是____________.
【答案】
5．[2024无锡模拟]如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、.将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为____________.
【答案】
6．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，.
（1） 将绕点逆时针旋转 ，画出旋转后的；
（2） 画出与关于原点成中心对称的；
（3） 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则网格范围内点的坐标为____________________________.
解：（1） 如图，即为所求.
（2） 如图，即为所求.
（3） ,.
7．[2024苏州模拟]如图，等腰中，， ，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针旋转 至，连接、.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
解：（1） 证明：由旋转可知，
， ，
，
，
，
在和中，
.
（2） ，
，，
是等腰直角三角形，
，，
,,
又 ，
在中，.
提升练
8．[2024无锡二模]如图，在等腰中，，点在上，连接，把绕点逆时针旋转得到，使，连接，，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】D
【解析】绕点A逆时针旋转得到，，，，又，，，，，，，
即，，
，即，.
9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，将线段绕原点按顺时针方向旋转得到线段（点、分别与点、对应）.若点恰好落在轴上，则点的坐标是____________.
【答案】
【解析】连接，，作轴于，轴于， 点的坐标为，，，， 点的坐标为，，由旋转可知，，，，，，，
，
，，
点的坐标为.
10．[2024淮安一模]如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点.正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
图1 图2
（1） 在图1中，先将线段绕点顺时针旋转 ，画出对应线段，再在上画点，并连接，使 ；
（2） 在图2中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，使得四边形为菱形.
解：（1） 如图1，线段和点即为所求.
图1
（2） 如图2，点与点即为所求.
图2
提示：关键是要作.由于，故作的三等分点，使即可.
11．[2024南通二模]直观感知：
图1 图2 图3
（1） 如图1，在四边形中，是等边三角形， ， ，将绕点顺时针旋转 得到，点与点重合，点的对应点是点，补全图形，并直接写出的度数；
类比探究：
（2） 如图2，在四边形中， ， ，，，，求的长；
拓展运用：
（3） 如图3，在四边形中， ， ，，，，在 变化的过程中，求的最大值.
解：（1） 补全图形如图， .
（2） 将绕点顺时针旋转 得，点与点重合，点的对应点是点，连接，
，，，
是等腰直角三角形，
，，
， ，
.
（3） 将各边长扩大到原来的倍，并绕点顺时针旋转的度数，得，易知点的对应点是点，点的对应点是点，连接，
，
，，
，，
，
，
，
当点，，共线时，最大，此时也最大，的最大值为，此时 ，
的最大值为.
微专题11 利用“垂线段最短”求最值
1．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】连接，由题意可证四边形为矩形，，当取最小值时，取最小值，
四边形为菱形， ,,,,当时，，，的最小值为.
2．[2024徐州一模]如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点，点为抛物线的顶点，点为抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A. 24 B. 25 C. 30 D. 36
【答案】A
【解析】连接，过点C作于点，过点A作于点，
对于抛物线,令，易得点A坐标为，即，将配成顶点式得， 点B坐标为，，，，，， ，,，，当A、C、三点共线，且三点连线垂直于时，最小，最小值为的长，,即，，的最小值为24.
3．[2024无锡一模]如图，是边长为6的等边三角形，点在上且，点是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转 ，得到线段，连接，，下列结论：的最小值为；的最小值是；③当时，；④当时，.其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】是边长为6的等边三角形，点在上且，， ，，，是等边三角形， ，当时，在中，，的最小值为，故①正确；
作于点，在右侧作，使，作于点，连接， ， 四边形是矩形，又, 矩形是正方形， ，，，， ， 点在上， 当点D在直线上运动时，点始终在直线上运动，作交的延长线于，的最小值是的长，延长交于， ， 四边形是矩形，，，，故②正确；
当时，点D可以在的延长线上，故③不正确；
当时， ， ，是等边三角形，，故④正确.
4．[2024南京一模]如图，已知点，，点在轴上运动．将绕顺时针旋转 得到，则的最小值为______．
【答案】3
【解析】以为边在轴上方作等边三角形，作直线.
点,,
,,
是等边三角形，
， ，
将绕顺时针旋转 得到，
,,
,
,
,
点在过点且垂直于的直线上运动， 当时，取最小值，
此时，过点作于,
,,,
四边形是矩形，
, ,
,
,
的最小值为.
5．在中， ， ，，点、分别为、边上的动点，点、分别为、的中点，则的最小值是________.
【答案】
【解析】作点关于的对称点，交于点，连接、，过点作于点，则，垂直平分， 点、分别为、的中点，，，的最小值是的长， ，，， ，， ，，的最小值是.
6．[2024泰州一模]如图，在中， ， ，，点为边上一动点，以为边作等边三角形，点是的中点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】以为边在下方作等边三角形，连接，设交于点，在中， ， ，， ，，，和都是等边三角形，， ，， ， ， ，，，， ， ，，，垂直平分，，，，，， 点在的垂直平分线上运动，过点作于点，取的中点，连接，，为中点，为中点，为的中位线，且， 点在直线上运动，当点与点重合时，取得最小值，为的长，为的中点，，，的最小值为.
7．[2024南京一模]如图，定点到直线的距离为5， ，将绕点旋转，直线分别与边、交于、两点，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】作的外接圆，如图所示，分别过点和点作直线的垂线，垂足分别为和，连接，，， ， ，又，是等边三角形.设的半径为，在中，，，则，根据垂线段最短可知，，，解得，的最小值为.
微专题12 利用“两点之间，线段最短”求最值
1．如图，在中，, ，点为上一定点，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数为________.
【答案】
【解析】作点关于的对称点、关于的对称点，连接交于点、交于点,此时,的周长最小，,,, ， ,, , ， ,,,,, , .
2．[2024徐州模拟]如图，在等边中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最大值是______.
【答案】3
【解析】连接，是等边三角形，是中线，，，是边的中点，，，在中，，， 当与重合时，的值最大，为3，即的最大值是3.
3．[2024南通模拟]如图，已知正方形的对角线、交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连接、，若，，则的最小值是________.
【答案】
【解析】 正方形中，，，，取的中点，连接、、、，交于点，为的中点，，，，， 四边形为平行四边形，， 四边形是正方形， 点、关于对称，，， 当点与点重合时，最小，最小值为的长，，，，的最小值为.
4．[2024南京三模]如图，在边长为2的等边三角形中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为________.
【答案】
【解析】是等边三角形，是的中点， ，，如图，作直线，、都是等边三角形，
易证， ，作点关于的对称点，连接，，，，则，，的周长，周长的最小值为，由轴对称的性质，可得 ，，是等边三角形，，，， ，，周长的最小值是.
5．[2024连云港二模]如图，在中， ，，以点为圆心、6为半径的圆上有一个动点.连接、、，则的最小值是________.
【答案】
【解析】在上取一点，使，，，，，，又，，，，又，当为与的交点时，的值最小，为的长，在中，，，，的最小值是.
6．[2024淮安二模]如图，在等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于点，点在上，且，是的中点，是上的一个动点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】为等边三角形，，， 将沿翻折，得到，， 四边形为菱形，，，，，，连接，，作点关于的对称点,连接，，,,当点运动到点时，最大，最大值为的长，易知、、三点共线，为中点，，，，,的最大值为.
7．[2024盐城二模]如图，点在轴的正半轴上，点在第一象限，连接，将绕它的中点顺时针旋转 得线段，点恰好落在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点、.若，点是轴上一动点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】作轴于点，轴于点，，，，，，设，，则，，， 点是的中点， 点的横坐标为， 反比例函数的图像经过点、，，作点关于轴的对称点，交轴于点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，在梯形中，是中位线，易得，即，，，
，解得（负值舍去），，，，，，的最小值为.
第七章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024苏州二模]下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2024南京一模]下列图形是三棱柱展开图的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．[2024泰州二模]如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 四棱柱 B. 五棱柱 C. 六棱柱 D. 六棱锥
【答案】C
4．[2024盐城一模]如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则线段的长度为（ ）
A. 4 B. C. D. 5
【答案】D
5．[2024南通一模]如图，是菱形的边上的点，连接.将沿翻折，点恰好落在的中点处，则（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】D
6．[2024苏州二模]如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是等边三角形， 把绕点A逆时针旋转 得到，把绕点C逆时针旋转 得到，把绕点B逆时针旋转 得到，连接，，，，，为等边三角形，且面积为，，，为直角三角形，且面积为， 四边形的面积为，同理得四边形的面积为，四边形的面积为，的面积为.
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．通过平移把点移到点，按同样的平移方式可将点移到点，则点的坐标是____________.
【答案】
8．[2024南京模拟]在直角坐标系中，点、分别是函数与的图像上的点，且点、关于原点对称，则点的横坐标为________.
【答案】
9．[2024扬州三模]如图，在中，以点为圆心，5为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为______.
【答案】6
10．[2024常州模拟]某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知， ，则左视图的面积是______.
【答案】2
11．[2024扬州一模]如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转 后得到，则阴影部分的面积为______.
【答案】4
12．[2024宿迁三模]如图，正方形和中，，，连接，.若绕点旋转，当最大时，______.
【答案】6
【解析】作交的延长线于，
， 当绕点旋转时，点在以为圆心，4为半径的圆上.
当为此圆的切线时，最大，此时，
在中，，
， ， ，
，
在和中，
，
，
.
三、解答题（共40分）
13．[2024扬州二模]（12分）在中，连接， ，将沿着对角线翻折，使点落在处，与交于，连接.
（1） 试判断四边形的形状，并说明理由；
（2） 若的周长为32，，求四边形的面积.
解：（1） 四边形是矩形，理由：
中，，，
，
由折叠可得， ，
，，
由折叠可得，，又，， 四边形是平行四边形， ，
四边形是矩形.
（2） 的周长为32，
，
又中，，
可设，则，，
，解得，
，，
矩形的面积为.
14．[2023连云港模拟]（12分）如图，在直角坐标系中，，.
（1）
① 画出线段关于轴对称的线段；
② 将线段绕点顺时针旋转，得到对应线段，使得轴，请画出线段.
（2） 连接，若直线平分四边形的面积，求的值.
解：① 如图，线段即为所求.
② 如图，线段即为所求.
（2） 连接交于点，，，
四边形是平行四边形，
点为的中点，，，，
直线平分的面积，
直线过点，.
15．[2024常州二模]（16分）如图，在中， ，将线段绕点按顺时针方向旋转到，连接.点是边上一个动点，连接交于点.已知， .
（1） 若 ，则____ ；
（2） 若 ，，求的长；
（3） 若，点是的中点，求的长.
解：（1） 70.
（2） ， ， ，
， ，
， ，
，
，，
，，
设，则，
，
， （舍去），
即的长是.
（3） 过点作交于点,则, ，
，
，，
点是的中点，
,
又,,
，
，，
设 ，则 ，
,
,
,又,,
，
，
即，
，.
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2025江苏版数学中考专题
第七章 图形的变换
第1节 尺规作图
基础练
1．[2024苏州一模]如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，若，，则矩形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．8 D．36
2．[2024苏州模拟]如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点.若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
3．[2024苏州一模]如图，在中， .以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接.分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，
交边于点，则的值为______.
4．[2024徐州一模]已知线段，按如下步骤作图：①取线段中点；②过点作直线，使；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④作的平分线，交于点.则的值为__________.
5．[2024宿迁二模]如图，已知中， .
（1） 尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 点在边上，连接，若 ，求证：.
6．[2024常州模拟]如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆（不写作法），当，时，求的外接圆的半径长.
7．[2023连云港]如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2） 在（1）的条件下，求证：.
提升练
8．[2024南京模拟]已知 ，线段，线段.使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）.
（1） 求作，使得 ，周长等于线段的长；
（2） 求作，使得 ，的一边上的高等于线段的长，周长等于线段的长.
9．[2024泰州二模]如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点.中，，，三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法.
图1 图2
（1） 在图1中，过点作的外接圆的切线；
（2） 在图2中的圆上作一点，使得.
10．[2024宿迁模拟]已知：如图，在中， ，.
（1） 请利用直尺和圆规作出关于直线对称的；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2） 在边上找一点，取的中点，使得，请利用直尺和圆规作出点和点.（不要求写作法，保留作图痕迹）
第2节 视图与投影
基础练
1．[2024宿迁模拟]一个正方体的展开图如图所示，将它折成正方体后，“建”字的对面是（ ）
A．和 B．谐 C．泰 D．州
2．[2024苏州一模]如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱锥 C．圆锥 D．三棱柱
3．[2024苏州二模]中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图所示的方式摆放，则它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024连云港三模]下列几何体中，俯视图的形状与另外三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024南通二模]如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为（ ）
主视图 左视图 俯视图
A． B． C． D．
6．[2024苏州模拟]如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）
主视图 左视图
A． B． C． D．
7．[2024连云港一模]如图是一个长方体纸盒的展开图，则这个纸盒的体积是__.
8．一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为____.
主视图 左视图 俯视图
9．将正方体的一种展开图按如图所示的方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长均为1，则______.
10．[2024无锡一模]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是______________.
11．如图，小树在路灯的照射下形成投影.
（1） 此光源下形成的投影属于____________；（填“平行投影”或“中心投影”）
（2） 已知树高为，树影长为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度.
12．
（1） 画出从正面、左面、上面看如图所示的几何体得到的平面图形；
（2） 若再添加个小正方体，使新得到的几何体的主视图和左视图不变，则的最大值为______.
提升练
13．[2023无锡二模]如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源.木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的投影长为（ ）
A． B． C．5 D．6
14．[2023南京二模]如图，将左图中的正方体纸盒切去一角得到右图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
15．用大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要______个小正方体.
主视图 左视图
16．如图1，螺丝由头部（直六棱柱）和螺纹部分（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示.小明将刻度尺紧靠螺纹部分放置，使其经过点且交于点，量得长为，正六边形的边长为.
图1 图2
（1） 长为______；
（2） 为圆上一点，则的最小值为____________.
第3节 图形的对称（含图形的折叠）
基础练
1．[2024苏州]下列图案中，是轴对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．[2024扬州二模]下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024盐城模拟]如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024南京一模]如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，则长为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024常州一模]如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处.若 ，，则的周长为__.
6．[2024常州模拟]如图，在正方形网格中，涂色的部分构成一个轴对称图形，现任意选取一个白色的小正方形涂色，能使图中涂色的部分仍然构成一个轴对称图形的概率是________.
7．[2024盐城模拟]将一张圆形纸片（圆心为点）沿直径对折后，按图1分成六等份，并沿虚线折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开，得到如图3所示的一个六角星.若 ，则的度数为__________.
图1 图2 图3
8．图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，其中已有两个小菱形涂了色，请你再给两个小菱形涂色，使得整个涂色部分满足下列条件.
图1 图2
（1） 图1中，整个涂色部分为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2） 图2中，整个涂色部分为中心对称图形，但不是轴对称图形.
提升练
9．[2024无锡二模]如图，是等边三角形，点是边上的一个动点，点关于、的对称点分别为、，连接、、，点从点运动到点的过程中，的面积的变化情况为（ ）
A．保持不变 B．一直变小
C．先变大再变小 D．先变小再变大
10．[2024连云港三模]如图，平行四边形中，，， ，点在上，将沿折叠得到，若点恰好在线段上，则的长为__________.
11．[2024南京模拟]正方形边长为10，点在上，，将沿折叠得，连接并延长交于点，则________.
12．[2024泰州三模]实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片沿过的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，得到折痕，交于点.
图1 图2
问题解决：
（1） 如图1，求证：四边形是正方形；
（2） 如图2，若，，求的面积.
第4节 图形的平移、旋转
基础练
1．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024南京模拟]如图，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若， ，则旋转角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024盐城一模]如图，该图形绕其中心旋转一定角度，能与旋转前完全重合，则其旋转角最小为__ .
4．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线.
则这块草地的绿地面积是____________.
5．[2024无锡模拟]如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、.将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为____________.
6．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，.
（1） 将绕点逆时针旋转 ，画出旋转后的；
（2） 画出与关于原点成中心对称的；
（3） 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则网格范围内点的坐标为____________________________.
7．[2024苏州模拟]如图，等腰中，， ，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针旋转 至，连接、.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
提升练
8．[2024无锡二模]如图，在等腰中，，点在上，连接，把绕点逆时针旋转得到，使，连接，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，将线段绕原点按顺时针方向旋转得到线段（点、分别与点、对应）.若点恰好落在轴上，则点的坐标是____________.
10．[2024淮安一模]如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点.正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
图1 图2
（1） 在图1中，先将线段绕点顺时针旋转 ，画出对应线段，再在上画点，并连接，使 ；
（2） 在图2中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，使得四边形为菱形.
11．[2024南通二模]直观感知：
图1 图2 图3
（1） 如图1，在四边形中，是等边三角形， ， ，将绕点顺时针旋转 得到，点与点重合，点的对应点是点，补全图形，并直接写出的度数；
类比探究：
（2） 如图2，在四边形中， ， ，，，，求的长；
拓展运用：
（3） 如图3，在四边形中， ， ，，，，在 变化的过程中，求的最大值.
微专题11 利用“垂线段最短”求最值
1．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．[2024徐州一模]如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点，点为抛物线的顶点，点为抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A．24 B．25 C．30 D．36
3．[2024无锡一模]如图，是边长为6的等边三角形，点在上且，点是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转 ，得到线段，连接，，下列结论：的最小值为；的最小值是；③当时，；④当时，.其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．[2024南京一模]如图，已知点，，点在轴上运动．将绕顺时针旋转 得到，则的最小值为______．
5．在中， ， ，，点、分别为、边上的动点，点、分别为、的中点，则的最小值是________.
6．[2024泰州一模]如图，在中， ， ，，点为边上一动点，以为边作等边三角形，点是的中点，则的最小值为________.
7．[2024南京一模]如图，定点到直线的距离为5， ，将绕点旋转，直线分别与边、交于、两点，则的最小值为____________.
微专题12 利用“两点之间，线段最短”求最值
1．如图，在中，, ，点为上一定点，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数为________.
2．[2024徐州模拟]如图，在等边中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最大值是______.
3．[2024南通模拟]如图，已知正方形的对角线、交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连接、，若，，则的最小值是________.
4．[2024南京三模]如图，在边长为2的等边三角形中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边三角形，连接，则周长的最小值为________.
5．[2024连云港二模]如图，在中， ，，以点为圆心、6为半径的圆上有一个动点.连接、、，则的最小值是________.
6．[2024淮安二模]如图，在等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于点，点在上，且，是的中点，是上的一个动点，则的最大值为______.
7．[2024盐城二模]如图，点在轴的正半轴上，点在第一象限，连接，将绕它的中点顺时针旋转 得线段，点恰好落在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点、.若，点是轴上一动点，则的最小值为________.
第七章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024苏州二模]下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024南京一模]下列图形是三棱柱展开图的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．[2024泰州二模]如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．四棱柱 B．五棱柱 C．六棱柱 D．六棱锥
4．[2024盐城一模]如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则线段的长度为（ ）
A．4 B． C． D．5
5．[2024南通一模]如图，是菱形的边上的点，连接.将沿翻折，点恰好落在的中点处，则（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．[2024苏州二模]如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．通过平移把点移到点，按同样的平移方式可将点移到点，则点的坐标是____________.
8．[2024南京模拟]在直角坐标系中，点、分别是函数与的图像上的点，且点、关于原点对称，则点的横坐标为________.
9．[2024扬州三模]如图，在中，以点为圆心，
5为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为______.
10．[2024常州模拟]某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知， ，则左视图的面积是______.
11．[2024扬州一模]如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转 后得到，则阴影部分的面积为______.
12．[2024宿迁三模]如图，正方形和中，，，连接，.若绕点旋转，当最大时，______.
三、解答题（共40分）
13．[2024扬州二模]（12分）在中，连接， ，将沿着对角线翻折，使点落在处，与交于，连接.
（1） 试判断四边形的形状，并说明理由；
（2） 若的周长为32，，求四边形的面积.
14．[2023连云港模拟]（12分）如图，在直角坐标系中，，.
（1）
① 画出线段关于轴对称的线段；
② 将线段绕点顺时针旋转，得到对应线段，使得轴，请画出线段.
（2） 连接，若直线平分四边形的面积，求的值.
15．[2024常州二模]（16分）如图，在中， ，将线段绕点按顺时针方向旋转到，连接.点是边上一个动点，连接交于点.已知， .
（1） 若 ，则____ ；
（2） 若 ，，求的长；
（3） 若，点是的中点，求的长.
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