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2025江苏版数学中考专题
第六章 圆
第1节 圆的相关概念与性质
基础练
1．[2024盐城二模]如图，在中，弦、相交于点.若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2024扬州一模]如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度的整数值共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
3．[2024宿迁模拟]的两直角边长分别为、，其外接圆的面积为________________.
【答案】
4．[2024宿迁三模]如图，四边形内接于，是直径，.若 ，则__ .
【答案】68
5．[2023宿迁二模]如图，在平面直角坐标系中，点，，都是格点，过，，三点作一圆弧，其圆心的坐标是____________.
【答案】
6．[2024南京二模]如图，点、、、在上，， ，则____ ．
【答案】130
7．[2024南京二模]如图，、是的两条弦，与相交于点，．
（1） 求证：；
（2） 连接，作直线，求证：．
解：（1） 证明：,，
,即.
.
（2） 连接、.
,,
.
,,
垂直平分，.
8．[2024南京模拟]如图，四边形中，， ，过、、三点的圆交于点，交于点.
（1） 求证：四边形为矩形；
（2） 若，，，求的长.
解：（1） 证明：， ，
， ，
四边形为矩形.
（2） ，，，
，
连接，，
四边形是圆内接四边形，
，
，，
，
，即，
，.
提升练
9．[2024南京模拟]如图，是半圆的直径，、、三点在半圆上，，是直径上的点，若，，的度数为 ，的度数为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】补全，延长交于点，延长交于点，，，，同理，由圆的对称性得到，，的度数为 ，的度数为 ，的度数为 ，的度数是 ，是圆的直径，的度数 ， .
10．[2024南京模拟]如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点.若是的中点，则的长是________.
【答案】
【解析】如图，连接交于点， 点是的中点，是的半径，，， ，，，，是直径，点是的中点， 易证，，，，，，.
11．[2024南京模拟]如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿所在的直线折叠，使恰好经过点.若，，则半圆的直径为______.
【答案】4
【解析】过点作于点，连接、、，如图,
由折叠得和所在的圆为等圆，和所对的圆周角都是，，，，，设,，，，，，，,,
解得或（舍去），
，.
12．[2024无锡二模]如图，已知是的直径，点在上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点.
（1） 若的半径为2，是弧的中点，求的长；
（2） 若，，求的面积.
解：（1）连接，是弧的中点，
，是的直径，
，
，是等腰直角三角形，.
（2） 延长交于点，
，，，
，
，
，，，
，，
设的半径为，，则，
在中，，
即，，
，
，，
，
，，，
.
13．[2024苏州一模]
【问题初探】 如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角.求证：.
图1
【拓展研究】 如图2，已知内接于，，点是的中点，过点作，垂足为点.求证：.
图2
【解决问题】 如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长.
图3
【问题初探】证明：，
，，
， ，，
.
【拓展研究】 证明：在上取点，使得，连接、、、，如图1，是的中点，
，，
，，
又，，
，，
又，，
.
图1
【解决问题】 过点作于点，如图2，
图2
， 点为的中点，
同（2）可得，
的周长为，，
，，，，.
第2节 与圆有关的位置关系
基础练
1．[2024扬州模拟]已知的半径是6，点是所在平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定
【答案】B
2．[2024常州模拟]已知与直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024无锡模拟]如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4．[2023宿迁一模]直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为______.
【答案】1
5．[2024宿迁二模]如图，是的切线，为切点，连接，.若 ，，，则的长度是________.
【答案】
6．[2024南京三模]如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为________.
【答案】
7．[2024南京模拟]如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，.若 ，则的度数为________.
【答案】
【解析】连接， 点是的内心，平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ，， .
8．[2024徐州二模]如图，在中，是直径，点在上.在的延长线上取一点，连接，使.
（1） 求证：直线是的切线；
（2） 若，，求的长.
解：（1）证明：连接，则，
，
是直径， ，
，，
，即 ，，又是的半径，
直线是的切线.
（2） 设,，，，
，，
，,
，
，，
，，
是等边三角形，
，
由（1）知 , ，
，，，
.
9．[2024无锡二模]如图，在中， ，是上一点，以为半径的与相切，切点为，连接，与相交于点.
（1） 求证：是的平分线；
（2） 若，，求的长.
解：（1） 证明：连接,
与相切，是半径，
， ，
又，
，，
，，
，平分.
（2） 由（1）知 ，
在中，，
设的半径为，，，
，解得，
，，，
，，
，，.
提升练
10．[2024南京模拟]如图，在中， ，为的切线，为切点，，则和面积的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，为的切线，D为切点，， ，为直径， ， ， ，， ， ，，又，，，，，.
11．[2024淮安二模]如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为2，为轴上一动点，切于点，则的最小值是________.
【答案】
【解析】连接，，由切线的性质定理得，要使最小，只需使最小，当轴于点时，最小，此时点的坐标是，，在中，，，，则的最小值是.
12．[2024南京一模]如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴、轴上，以为弦的与轴相切.若点的坐标为，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】设与轴相切于，连接并延长交于，连接，由题意可得，四边形是矩形，，，，，设的半径是，，，，，，， 点的坐标为.
13．[2024常州一模]如图，在矩形中，，与边、相切，现有一条过点的直线与相切于点，连接，恰为等边三角形，则的半径为__________.
【答案】
【解析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，是正三角形，四边形为矩形， 易得四边形为矩形， ， , ,,与相切于点， ， ，设的半径为，即，在中， ，，,又,
,.
14．[2024镇江二模]如图1，点为外一点.
图1 图2
（1） 过点作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）.
（2） 如图2,为的切线，连接,交于点,作,交于点,作直径,连接交于点.
① 求证:;
② 若，，求的长.
解：（1）如图，即为所求（也可取两圆的另一个交点）.
（2） ① 证明：,
,,
,,
是直径， ,
,
为的切线， ，
，.
② 是直径， ，
， ,
,,
,
,
,
,解得,
,,,
,,
,.
15．[2024南京二模]如图，在菱形中，点在上，连接、交于点，经过点、、，点恰好在上.
（1） 求证：；
（2） 求证：是的切线；
（3） 若，，则的长为__________.
解：（1） 证明： 四边形为菱形，
，，
, ,
，
，.
（2） 证明：如图，连接并延长交于点，连接，，，，
四边形是菱形，，，又，
，
，
，，
,，
，，
，，
，
，，
，，
为半径，是的切线.
（3） .
详解： ，，，，，，，，，，，，，，即，，.
微专题9 隐圆及与圆有关的最值问题
1．[2024南京模拟]如图，在中， ，，.经过点的与边相切于点，与边、的公共点分别为点、.切点从最靠近的位置到最靠近的位置的运动路径长为 （ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】 在中， ，，，，连接，当点D最靠近A时，点与点C重合，
与边相切于点D，，设此时的半径为，则，，
,，，，.
当点D最靠近B时，点与点C重合，
由题意可得，设此时的半径为，则，
,，，，.
所求路径长为.
2．[2024山东烟台]如图，在中， ,,,为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得,连接,,则面积的最小值为____________.
【答案】
【解析】由翻折得，是的中点，，即点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧.如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，交圆于，则，此时到边的距离最小，最小值为的长，即此时面积的值最小.
在中， ， ，，，,,,面积的最小值为.
3．[2024徐州二模]如图，为等边三角形，，若为内一动点，且满足 ，则线段长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图，作的外接圆，连接，， ， ，，是等边三角形，， 点在上，当、、三点共线时，长度最小，连接，设交于，是等边三角形， 四边形是菱形，，， ，，的最小值为.
4．[2024苏州一模]如图，已知中， ，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】连接，为的直径， , ,， 动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，当，，三点共线时，取最小值，连接，，的最小值为.
5．[2024无锡一模]如图，在矩形中，米，米.点以每秒5米的速度沿折线运动，，垂足为.当取得最小值时，点运动了________秒.
【答案】
【解析】 四边形是矩形，米，米，，， ，取中点， 点在以为直径的上运动， 当、、三点共线时，取得最小值，如图，连接交于，米，米，（米），（米），，，，即，解得， 点运动了（米）， 点运动了秒.
6．[2024泰州二模]如图，中， ，点是的中点，过点作交的延长线于点，若，则点到点的最大距离为______.
【答案】6
【解析】如图1，延长至，使，连接，.
图1
是的中点，， 易得，， ，， ， ，作的外接圆，则在优弧上运动，连接、，，当、、三点共线时，取最大值，如图2，
图2
易知此时， ,为等边三角形，，，即的最大值为6，连接，，点是的中点，，的最大值为6.
7．如图，等腰直角的斜边下方有一动点， ，平分交于点，则的最小值是________.
【答案】
【解析】如图，取的中点，连接、、， ，，、、、四点共圆，， ， ， ，，平分，平分， 点是的角平分线的交点，平分，，，，，，即长是定值， 当长最大，即为直径时，的值最小，最小值.
8．[2024宿迁一模]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，直线与以为直径的半圆相交于点，连接、，如果，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图所示，过点作，使，连接，，是直径，，，，， 点的坐标为，，， ， ， ， 点在轴上， ， 点在以为直径的圆上运动，取，连接，则当点在上时，取最小值，由勾股定理得，的最小值为.
第3节 与圆有关的计算
基础练
1．[2024扬州一模]如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024苏州模拟]如图，在中，点、、在圆上， ，的半径长为2，则劣弧的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024宿迁一模]如图，点在半圆上，直径， ，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4．[2024无锡二模]圆锥的侧面展开图的面积为 ，该圆锥的母线长与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）
A. 10 B. 20 C. D.
【答案】B
5．[2024徐州一模]已知圆锥的侧面积是 ，母线长为4，则该圆锥的底面圆半径为______.
【答案】3
6．[2024宿迁二模]有一张等腰直角三角形纸片， ，，在该纸片上剪下一个以点为圆心的最大的扇形并围成一个无底的圆锥，所围成的圆锥底面圆的半径是________.
【答案】
7．[2024苏州模拟]已知正六边形的内切圆半径为，则该正六边形的周长为__.
【答案】12
8．[2024南京三模]如图，在矩形中，，，点为的中点，连接、.以为圆心，长为半径画、，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）.
【答案】
9．[2024徐州模拟]如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均为小正方形的顶点，且点，在上， ，则的长为________.
【答案】
10．[2024徐州二模]蜂巢由六角柱形体组成，可从中抽象出正六边形.按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排满一圈，则需要正六边形的个数是______.
【答案】6
11．[2024扬州一模]如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，，，且.
（1） 求证：为的切线；
（2） 若，求阴影部分的面积.
解：（1） 证明：连接，
为的直径， ，
，
，，
，，
，，
， ，
又是的半径，
是的切线.
（2） ，
，，
， 易得 ，
，
阴影部分的面积.
提升练
12．[2024盐城一模]我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积.如图所示，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
13．[2024连云港二模]如图，在中， ，， ，将绕点顺时针旋转 后得到，点经过的路径为弧，将线段绕点顺时针旋转 后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
14．[2024苏州二模]如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中两空白部分面积之差的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设左边空白部分的面积为，右边空白部分的面积为，上边阴影部分的面积为，根据对称性知上、下两阴影部分面积相等，则，，两式作差得，.
15．[2024徐州模拟]如图，是的直径，点在上.将沿翻折，与交于点.若，的度数为 ，则的长度为________.
【答案】
【解析】作关于的对称点，连接，，，则，，由题意知所在的圆与是等圆，又,,, 的度数为 ，， ， ， ，的长度为， 的长度为.
16．[2024盐城模拟]
（1） 问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上.以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分，请用无刻度的直尺作图.（不写作法，保留作图痕迹）
图1
（2） 尝试应用：如图2，是的直径，是的切线，，交于点.请用无刻度的直尺作出的中点.（不写作法，保留作图痕迹）
图2
（3） 问题解决：请在（2）的条件下，解决以下问题.
① 连接，判断与的位置关系并证明；
② 若，求，与围成的图形面积.
解：（1） 如图1，点即为所求.
图1
详解：先取正方形的对角线的交点、，作直线交线段于点，连接并延长交半圆于点，点即为所求.
（2） 如图2，点即为所求.
图2
详解：连接并延长交于点，连接、交于点，连接并延长交于点，则为的中点.
（3） ① 与相切.
证明：由（2）知，，
四边形是平行四边形，
是的切线， ，
四边形是矩形，
，又是的半径，
与相切.
② 由①知四边形是矩形，
， 四边形是正方形，
所求面积 .
微专题10 与圆有关的阴影部分面积的计算方法
1．[2024徐州模拟]“春雨惊春清谷天”对应二十四节气邮票第一组，其示意图如图②所示，它是以为圆心，长为半径，圆心角 的扇形去掉扇形后的部分，若，，则阴影部分的面积为（ ）
图① 图②
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024无锡模拟]如图，扇形的圆心角为 ，点在圆弧上， ，，阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，， ， ，又，是等边三角形， ， ， ，，， .
3．[2024连云港二模]如图，扇形中，， ，为上一点， ，过点作的垂线交于，连接.则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，设与交于点， ，，是正三角形，，，，在中，， ，，，.
4．[2024南京三模]如图是同学们设计的“心”形图案，正方形的边长为，以为圆心，长为半径作扇形，又分别以和的长为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________.
【答案】
5．[2024扬州一模]如图，已知中， ，，若以为直径作分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为________.
【答案】
6．[2024苏州一模]如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________.
【答案】
7．[2024无锡模拟]如图，边长为2的等边的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为____________.
【答案】
8．[2024无锡一模]将半径为1的半圆形纸片按如图所示的方式折叠，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则图中阴影部分的面积是____________.
【答案】
【解析】如图，连接交于点，连接、，由题意知，，且，在中，，，, 易得 ，， ，，.
第六章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024连云港二模]如图，是的直径，，是上的两点，若 ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2024扬州二模]如图，的顶点，在上，点在内（，在同侧）， ，则的度数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024无锡三模]如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，.若， ，则的长为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024徐州一模]如图，是的内接三角形，若 ，，则的半径长为 （ ）
A. 4 B. C. 2 D. 1
【答案】C
5．[2024无锡模拟]如图，已知 ，的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为 （ ）
A. B. 6 C. D. 5
【答案】B
【解析】连接，，作于点D，于点，，，，，切于点A， 易得，，， ，，，，，， ，是等腰直角三角形，，，，，，，，，即，.
6．[2024苏州模拟]如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，分别交，于点，，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】如图，连接交于点，则所在的直线是正三角形、正方形及圆的对称轴，，设的半径为，则易得，在中，， ，，，在中， ，，同理，，.
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．[2024扬州二模]若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________.
【答案】
8．[2024连云港二模]如图，，，是上的点，，点在优弧上，连接，.若 ，，则的半径为______.
【答案】2
9．[2024南京三模]如图，AB为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为______.
【答案】9
10．[2024苏州一模]如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为________（结果保留）.
【答案】
11．[2024南京模拟]如图，四边形内接于，为直径，，.若为四边形的内切圆圆心，且在上，则的长为________.
【答案】
【解析】设与、分别相切于，，连接，，由题意易证四边形是正方形， 设，，，，，，，，，，.
12．[2024盐城一模]如图，以为直径的半圆内有一条弦，是弦上一个动点，连接并延长交半圆于点.若，，则的最大值是________.
【答案】
【解析】过点作于点，连接，是半圆的直径， ,,,,,,,, 当取最大值时，的值最大.当为中点时，最大，此时，连接，则在上，由垂径定理可知，，，,的最大值为.
三、解答题（共40分）
13．[2024南京三模]（12分）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且.
（1） 求证：与相切；
（2） 若，，求的长.
解：（1） 证明：连接，
是的直径， ，
，，
，
，，
又，
，
，
即，又是半径，
与相切.
（2） 设的半径为，即，则，在中，
，
，，
在中，，，
.
14．[2024南京一模]（12分）如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点.
（1） 求证：；
（2） 连接并延长交于点，若，，求的长.
解：（1） 证明：是的直径，，..
（2） 延长交于点，连接，
为直径， ，
， ，
，，
，，
是的直径，，
，即点为的中点，
点为的中点，为的中位线，，
，，
，.
15．[2024南京三模]（16分）如图1，是的外接圆，点在上，，交于点，交的延长线于点.
图1 图2
（1） 求证：是的切线；
（2） 连接，若，，求的长；
（3） 若是的直径，如图2，动点运动到与点在直径同侧，且，求证：.
解：（1） 证明：连接，
，，
，，
是半径，是的切线.
（2） ，，
又，
，
，即，.
（3） 证明：过点作交于点，连接，，
,是的直径，
，，
, ，
又 ， ，，，
， ，，
又，，
，
，，
.
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2025江苏版数学中考专题
第六章 圆
第1节 圆的相关概念与性质
基础练
1．[2024盐城二模]如图，在中，弦、相交于点.若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024扬州一模]如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度的整数值共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．[2024宿迁模拟]的两直角边长分别为、，其外接圆的面积为________________.
4．[2024宿迁三模]如图，四边形内接于，是直径，.若 ，则__ .
5．[2023宿迁二模]如图，在平面直角坐标系中，点，，都是格点，过，，三点作一圆弧，其圆心的坐标是____________.
6．[2024南京二模]如图，点、、、在上，， ，则____ ．
7．[2024南京二模]如图，、是的两条弦，与相交于点，．
（1） 求证：；
（2） 连接，作直线，求证：．
8．[2024南京模拟]如图，四边形中，， ，过、、三点的圆交于点，交于点.
（1） 求证：四边形为矩形；
（2） 若，，，求的长.
提升练
9．[2024南京模拟]如图，是半圆的直径，、、三点在半圆上，，是直径上的点，若，，的度数为 ，的度数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．[2024南京模拟]如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点.若是的中点，则的长是________.
11．[2024南京模拟]如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿所在的直线折叠，使恰好经过点.若，，则半圆的直径为______.
12．[2024无锡二模]如图，已知是的直径，点在上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点.
（1） 若的半径为2，是弧的中点，求的长；
（2） 若，，求的面积.
13．[2024苏州一模]
【问题初探】 如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角.求证：.
图1
【拓展研究】 如图2，已知内接于，，点是的中点，过点作，垂足为点.求证：.
图2
【解决问题】 如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长.
图3
第2节 与圆有关的位置关系
基础练
1．[2024扬州模拟]已知的半径是6，点是所在平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．无法确定
2．[2024常州模拟]已知与直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为 （ ）
A． B． C． D．
3．[2024无锡模拟]如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2023宿迁一模]直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为______.
5．[2024宿迁二模]如图，是的切线，为切点，连接，.若 ，，，则的长度是________.
6．[2024南京三模]如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为________.
7．[2024南京模拟]如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，.若 ，则的度数为________.
8．[2024徐州二模]如图，在中，是直径，点在上.在的延长线上取一点，连接，使.
（1） 求证：直线是的切线；
（2） 若，，求的长.
9．[2024无锡二模]如图，在中， ，是上一点，以为半径的与相切，切点为，连接，与相交于点.
（1） 求证：是的平分线；
（2） 若，，求的长.
提升练
10．[2024南京模拟]如图，在中， ，为的切线，为切点，，则和面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024淮安二模]如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为2，为轴上一动点，切于点，则的最小值是________.
12．[2024南京一模]如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴、轴上，以为弦的与轴相切.若点的坐标为，则点的坐标为____________.
13．[2024常州一模]如图，在矩形中，，与边、相切，现有一条过点的直线与相切于点，连接，恰为等边三角形，则的半径为__________.
14．[2024镇江二模]如图1，点为外一点.
图1 图2
（1） 过点作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）.
（2） 如图2,为的切线，连接,交于点,作,交于点,作直径,连接交于点.
① 求证:;
② 若，，求的长.
15．[2024南京二模]如图，在菱形中，点在上，连接、交于点，经过点、、，点恰好在上.
（1） 求证：；
（2） 求证：是的切线；
（3） 若，，则的长为__________.
微专题9 隐圆及与圆有关的最值问题
1．[2024南京模拟]如图，在中， ，，.经过点的与边相切于点，与边、的公共点分别为点、.切点从最靠近的位置到最靠近的位置的运动路径长为 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．[2024山东烟台]如图，在中， ,,,为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得,连接,,则面积的最小值为____________.
3．[2024徐州二模]如图，为等边三角形，，若为内一动点，且满足 ，则线段长度的最小值为__________.
4．[2024苏州一模]如图，已知中， ，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为__________.
5．[2024无锡一模]如图，在矩形中，米，米.点以每秒5米的速度沿折线运动，，垂足为.当取得最小值时，点运动了________秒.
6．[2024泰州二模]如图，中， ，点是的中点，过点作交的延长线于点，若，则点到点的最大距离为______.
7．如图，等腰直角的斜边下方有一动点， ，平分交于点，则的最小值是________.
8．[2024宿迁一模]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，直线与以为直径的半圆相交于点，连接、，如果，则的最小值为__________.
第3节 与圆有关的计算
基础练
1．[2024扬州一模]如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则（ ）
A． B． C． D．
2．[2024苏州模拟]如图，在中，点、、在圆上， ，的半径长为2，则劣弧的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024宿迁一模]如图，点在半圆上，直径， ，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
4．[2024无锡二模]圆锥的侧面展开图的面积为 ，该圆锥的母线长与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）
A．10 B．20 C． D．
5．[2024徐州一模]已知圆锥的侧面积是 ，母线长为4，则该圆锥的底面圆半径为______.
6．[2024宿迁二模]有一张等腰直角三角形纸片， ，，在该纸片上剪下一个以点为圆心的最大的扇形并围成一个无底的圆锥，所围成的圆锥底面圆的半径是________.
7．[2024苏州模拟]已知正六边形的内切圆半径为，则该正六边形的周长为__.
8．[2024南京三模]如图，在矩形中，，，点为的中点，连接、.以为圆心，长为半径画、，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）.
9．[2024徐州模拟]如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均为小正方形的顶点，且点，在上， ，则的长为________.
10．[2024徐州二模]蜂巢由六角柱形体组成，可从中抽象出正六边形.按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排满一圈，则需要正六边形的个数是______.
11．[2024扬州一模]如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，，，且.
（1） 求证：为的切线；
（2） 若，求阴影部分的面积.
提升练
12．[2024盐城一模]我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积.如图所示，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．[2024连云港二模]如图，在中， ，， ，将绕点顺时针旋转 后得到，点经过的路径为弧，将线段绕点顺时针旋转 后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A． B． C． D．
14．[2024苏州二模]如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中两空白部分面积之差的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
15．[2024徐州模拟]如图，是的直径，点在上.将沿翻折，与交于点.若，的度数为 ，则的长度为________.
16．[2024盐城模拟]
（1） 问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上.以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分，请用无刻度的直尺作图.（不写作法，保留作图痕迹）
图1
（2） 尝试应用：如图2，是的直径，是的切线，，交于点.请用无刻度的直尺作出的中点.（不写作法，保留作图痕迹）
图2
（3） 问题解决：请在（2）的条件下，解决以下问题.
① 连接，判断与的位置关系并证明；
② 若，求，与围成的图形面积.
微专题10 与圆有关的阴影部分面积的计算方法
1．[2024徐州模拟]“春雨惊春清谷天”对应二十四节气邮票第一组，其示意图如图②所示，它是以为圆心，长为半径，圆心角 的扇形去掉扇形后的部分，若，，则阴影部分的面积为（ ）
图① 图②
A． B． C． D．
2．[2024无锡模拟]如图，扇形的圆心角为 ，点在圆弧上， ，，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024连云港二模]如图，扇形中，， ，为上一点， ，过点作的垂线交于，连接.则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024南京三模]如图是同学们设计的“心”形图案，正方形的边长为，以为圆心，长为半径作扇形，又分别以和的长为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________.
5．[2024扬州一模]如图，已知中， ，，若以为直径作分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为________.
6．[2024苏州一模]如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________.
7．[2024无锡模拟]如图，边长为2的等边的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为____________.
8．[2024无锡一模]将半径为1的半圆形纸片按如图所示的方式折叠，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则图中阴影部分的面积是____________.
第六章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．[2024连云港二模]如图，是的直径，，是上的两点，若 ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024扬州二模]如图，的顶点，在上，点在内（，在同侧）， ，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024无锡三模]如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，.若， ，则的长为 （ ）
A． B． C． D．
4．[2024徐州一模]如图，是的内接三角形，若 ，，则的半径长为 （ ）
A．4 B． C．2 D．1
5．[2024无锡模拟]如图，已知 ，的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为 （ ）
A． B．6 C． D．5
6．[2024苏州模拟]如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，分别交，于点，，则（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．[2024扬州二模]若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________.
8．[2024连云港二模]如图，，，是上的点，，点在优弧上，连接，.若 ，，则的半径为______.
9．[2024南京三模]如图，AB为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为______.
10．[2024苏州一模]如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为________（结果保留）.
11．[2024南京模拟]如图，四边形内接于，为直径，，.若为四边形的内切圆圆心，且在上，则的长为________.
12．[2024盐城一模]如图，以为直径的半圆内有一条弦，是弦上一个动点，连接并延长交半圆于点.若，，则的最大值是________.
三、解答题（共40分）
13．[2024南京三模]（12分）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且.
（1） 求证：与相切；
（2） 若，，求的长.
14．[2024南京一模]（12分）如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点.
（1） 求证：；
（2） 连接并延长交于点，若，，求的长.
15．[2024南京三模]（16分）如图1，是的外接圆，点在上，，交于点，交的延长线于点.
图1 图2
（1） 求证：是的切线；
（2） 连接，若，，求的长；
（3） 若是的直径，如图2，动点运动到与点在直径同侧，且，求证：.
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