中小学教育资源及组卷应用平台
2025江苏版数学中考专题
第二章 方程（组）与不等式（组）
第1节 一次方程（组）
基础练
1．[2024连云港二模]若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
【答案】A
2．[2024盐城模拟]已知有理数，满足方程组则的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
3．[2024无锡一模]明代《算法统宗》有一首数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇.醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
4．[2024无锡一模]写出一个解为的二元一次方程：____________________________.
【答案】（答案不唯一）
5．[2024宿迁一模]已知，且，则的值为______.
【答案】3
6．[2024苏州一模]二元一次方程组的解为________________________________________.
【答案】
7．解下列方程（组）
（1） [2024南通二模];
（2） [2024常州一模]
解：（1） ,
,
,
.
（2）
，得，解得，
把代入①，得，
解得，
所以原方程组的解是
8．[2024连云港]我市将5月21日设立为连云港市“人才日”,以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把.
解：若每次邮购都是100把，
则，
一次邮购少于100把，另一次邮购多于100把，
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把，
由题意得，解得，
.
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把.
9．[2024南京一模]小刚和小强分别从、两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后两人相遇.相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚到达地.求两人的行进速度.
解：设小强的行进速度为，则小刚的行进速度为，
根据题意得，
解得，.
答：小刚的行进速度为，小强的行进速度为.
提升练
10．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是：有大、小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛米（注：斛是古代一种容量单位）（ ）
A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 1斛
【答案】C
11．[2024无锡一模]已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
12．[2024扬州二模]关于，的方程组的解满足，则的值为______.
【答案】3
【解析】,即,,,.
13．[2023南京一模]某商场出售甲，乙，丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元.若购买甲，乙，丙各1件，则需__元.
【答案】55
【解析】设甲、乙、丙每件单价分别为、、元，由题意得
得，
得，
得，
.
14．[2024盐城一模]现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆型车和1辆型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆型车和2辆型车载满荔枝一次可运走11吨.现有荔枝31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝.根据以上信息，解答下列问题：
（1） 1辆型车和1辆型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
（2） 请你设计租车方案.
解：（1）设1辆型车载满荔枝一次可运送吨，1辆型车载满荔枝一次可运送吨，
由题意得解得
答：1辆型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆型车载满荔枝一次可运送4吨.
（2） 由题意得，
，又、均为非负整数，
或或
共有3种租车方案:
方案1：租用9辆型车，1辆型车；
方案2：租用5辆型车，4辆型车；
方案3：租用1辆型车，7辆型车.
15．市“第 届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同），两车同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车.已知两车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）.
（1） 如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达，并说明理由；
（2） 试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行的理由.
解：（1） 他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地.
理由：小汽车第二次到达比赛场地所需时间为（小时）分钟，
， 他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地.
（2） 方案：先将4人用车送到比赛场地，另外4人同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回，接到步行的4人后再载他们前往比赛场地.
理由：先将4人用车送到比赛场地所需时间为 （小时）分钟，（千米），
此时另外4人与比赛场地的距离为（千米），
设汽车返回小时后与步行的4人相遇，则，解得，
用这一方案送这8人到比赛场地共需（分钟）.
， 采取此方案能使所有参赛学生在截止进场的时刻前到达比赛场地.
第2节 分式方程
基础练
1．[2023苏州模拟]解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．[2024徐州一模]一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第一次有人分钱，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．[2024淮安一模]方程的解为__________.
【答案】
4．[2024无锡一模]若关于的分式方程有增根，则的值为________.
【答案】
5．[2024苏州一模]甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数.根据下面的解题过程，被墨迹弄污的条件应是________________________.
解：设甲每小时做个， 由题意得， ……
【答案】乙每小时比甲多做6个
6．解下列方程：
（1） [2024常州二模]；
（2） [2024泰州一模].
解：（1） 方程两边同乘，
得，解得，
检验：当时，，
原分式方程的解是.
（2） 方程两边同乘，
得，解得，
检验：当时，，
原分式方程无解.
7．[2024扬州一模]在今年的3月12日，某校组织师生开展了植树活动.在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗.已知用1 200元购买甲种树苗的棵数与用900元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵便宜5元.求甲种树苗每棵多少元.
解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，根据题意得，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意.
答：甲种树苗每棵20元.
8．[2024徐州一模]近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小李开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程10千米的普通道路，路线包含快速通道，全程7千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少.
解：设走路线的平均速度是千米/时，则走路线的平均速度是千米/时，
根据题意得，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
.
答：走路线的平均速度是30千米/时，走路线的平均速度是42千米/时.
提升练
9．[2024南京模拟]为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图,、分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
10．[2024宿迁三模]关于的方程的解为非负数，则的取值范围是________________________.
【答案】且
【解析】解分式方程得，，，即，， 方程的解为非负数，，，且.
11．若关于的方程无解，则的值为________________.
【答案】3或或9
【解析】化简分式方程得， 原分式方程无解， 分式方程有增根或或化简后的整式方程无解， 当时，；当时，；当时，.故答案为3或或9.
12．数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦的长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：、、.研究15、12、10这三个数的倒数发现：，此时我们称15、12、10为一组调和数，现有三个数：6、4、，若要组成调和数，则的值为______________.
【答案】12或
【解析】分两种情况讨论：
①当时，,解得，经检验，是分式方程的解且符合题意；②当时，,解得，经检验,是分式方程的解且符合题意.的值为12或.
13．[2024苏州一模]3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动.据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少2捆.
（1） 求树苗基地每捆种树苗的价格.
（2） 树苗基地每捆种树苗的价格是40元.学校决定在树苗基地购买，两种树苗共100捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数.树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠.求本次购买的最少花费.
解：（1） 设树苗基地每捆种树苗的价格是元，则市场上每捆种树苗的价格是元，根据题意得，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意.
答：树苗基地每捆种树苗的价格是30元.
（2） 设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，
根据题意得，解得，
设本次购买树苗共花费元，
则，
即，
，随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为.
答：本次购买的最少花费为2 800元.
14．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程，已知甲工程队比乙工程队每天多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1） 甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2） 如果要求完成这项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你设计出来.
（3） 请你添加适当的条件，提出新的问题，并给出解答.
解：（1） 设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米，
根据题意得，
解得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意..
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米.
（2） 设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米.由题意得，
解得，
又以百米为单位， 分配方案有3种：
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米.
（3） 答案不唯一，如：在（2）的条件下，如果甲工程队每修1米需要付费1 000元，乙工程队每修1米需要付费900元，则哪个方案最省钱？花费是多少？
解： 甲工程队每修1米需要付的费用比乙高， 方案一最省钱，
（元）.
答：方案一最省钱，费用是950 000元.
第3节 一元二次方程
基础练
1．[2024南通模拟]用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2024无锡模拟]关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3．[2024常州模拟]方程的解为________________________.
【答案】，
4．[2024泰州一模]若是一元二次方程的一个根，则其另一个根为____________.
【答案】
5．[2024南京模拟]某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后的成本比第一次降低后少4元，设这个百分率为，则可列方程为________________________________.
【答案】
6．[2024南通模拟]若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________________.
【答案】且
7．[2024宿迁一模]若实数，是一元二次方程的两根，则的值为______.
【答案】8
8．解下列方程：
（1） [2024苏州模拟]；
（2） [2024徐州模拟]；
（3） [2024无锡模拟].
解：（1） ,
,
，.
（2） ，
，
，
，
，.
（3） ，，，
，
则，，.
9．[2024徐州一模]如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起，就能制成一个无盖纸盒.如果要制作的无盖纸盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？
解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，
由题意得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是.
10．[2024常州一模]某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本.为了吸引消费者，商家决定采取降价措施.经试销统计发现，画册售价每降低1元，平均每天就能多售出10本.商家想要使这种画册平均每天的销售利润达到2 240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元.
解：设每本画册应降价元，根据题意得，
解得，，
当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去.
答：每本画册应降价4元.
提升练
11．[2024南京模拟]若关于的方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得且，.
12．[2024南通模拟]等腰三角形三边长分别为、、4，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A. 30 B. 34或30 C. 36或30 D. 34
【答案】D
【解析】由题意得,,又 等腰三角形三边长分别为、、4，，,.
13．[2023南京二模]若关于的一元二次方程（为常数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程化为一般形式为，解得，， 方程在的范围内有实数根，或，解得，解得，的取值范围为.
14．[2024南京一模]关于的方程的两根之和是__________.
【答案】
15．[2024南京模拟]已知 、 是方程的两个根，则______.
【答案】5
16．[2024无锡三模]已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的实数根的个数为____.
【答案】1或2
17．[2023苏州模拟]关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】，
，，， 方程有一个大于的非正数根，
，解得.
18．[2024苏州模拟]我们规定：若，，则.例如，，则.已知，，若，且，则的值为____________.
【答案】
【解析】根据题意知，，，，.
19．[2024南京模拟]已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
（1） 求实数的取值范围；
（2） 当时，求的值.
解：（1） 由题意得，解得.
（2） 由得，
若，解得，
，舍去；
若，即，
由（1）知.
综上，当时，.
20．[2024无锡模拟]如图，在矩形中，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，沿规定路线移动.
（1） 若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，问经过多长时间，两点之间的距离是？
（2） 若点沿着移动，点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为.
解：（1） 过点作于点，
设后，点和点的距离是,由题意得，
，，
经过或，、两点之间的距离是.
（2） 设后的面积为.
①当时，，
则，即，解得；
②当时，，，则，解得，（舍去）；
③当时，，则，解得（舍去）.
综上所述，经过或，的面积为.
第4节 一元一次不等式（组）
基础练
1．[2024常州一模]若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2．[2024苏州一模]不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．[2024宿迁二模]下图所表示的关于的不等式组的解集是____________.
【答案】
4．[2024南京模拟]不等式的最大整数解是______.
【答案】3
5．[2024扬州二模]在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则实数的取值范围是____________.
【答案】
6．[2024盐城]求不等式的正整数解.
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
不等式的正整数解为1，2．
7．[2024盐城模拟]解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组的解集为，在数轴上表示如下：
8．[2024扬州一模]解不等式组并写出满足条件的正整数解.
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组的解集为，
则原不等式组的正整数解为1，2.
9．为响应“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，某市教体局向某中学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套.
（1） 求书籍和实验器材各有多少套.
（2） 现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该中学，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排货车时，有几种方案？请你帮助设计出来.
解：（1） 设书籍有套，实验器材有套，
由题意得解得
答：书籍有240套，实验器材有120套.
（2） 设运输部门安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆，
由题意得
解得，
有5种方案：①仅安排乙种货车8辆；②安排甲种货车1辆，乙种货车7辆；③安排甲种货车2辆，乙种货车6辆；④安排甲种货车3辆，乙种货车5辆；⑤安排甲种货车4辆，乙种货车4辆.
提升练
10．[2024常州模拟]已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
11．[2024盐城一模]关于、的方程组的解满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，，，
，解得.
12．[2023连云港模拟]若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】由不等式，得， 实数3是不等式的一个解，，解得，可取的最大整数为.
13．[2024苏州模拟]已知实数，满足，且，，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】,,
,,
,,，即的最大值是3.
14．已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】解，得， 关于的不等式的解也是不等式的解，故， 不等式的解集是,
，解得，
，.
15．[2024南通模拟]若关于的不等式组的整数解恰有3个，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
解不等式①得，解不等式②得， 关于的不等式组的整数解恰有3个， 这3个整数解为1，0，，.
16．[2024无锡一模]为迎接即将到来的“五一”劳动节，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款.
促销方式一：按所购商品原价打八五折；
促销方式二：所购商品原价每满300减60（如：所购商品原价为340元，则减60元，需付款280元；所购商品原价为630元，则减120元，需付款510元）.
（1） 若某商品原价为500元，选择哪种促销方式更优惠？请说明理由.
（2） 当商品原价为多少时，两种促销方式一样优惠？
（3） 若某商品原价为元，请问当满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠？请说明理由.
解：（1） 选择促销方式一更优惠，理由如下：选择促销方式一需付款（元），选择促销方式二需付款（元），，
选择促销方式一更优惠.
（2） 设商品原价为元，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（不符合题意，舍去）.
易得当时，均不符合题意.
答：当商品原价为400元或800元时，两种促销方式一样优惠.
（3） 当时，显然促销方式一比促销方式二更优惠；
当时，
根据题意得，
解得，
当时，促销方式二比促销方式一更优惠；
当时，
根据题意得，
解得，
当时，促销方式二比促销方式一更优惠.
答：当或时，促销方式二比促销方式一更优惠.
17．已知关于、的方程组
（1） 若方程组的解满足，求的值；
（2） 若、、都是非负数，且，求的取值范围；
（3） 无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个固定解.
解：（1），
，解得
的值为7.
（2） 解方程组
得
将、的值代入中，得，
，、、都是非负数，
解得，
，.
（3）
微专题1 方程（组）与不等式（组）的含参问题
1．[2024南通一模]若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解不等式组得， 原不等式组有且只有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2，.
2．若关于、的方程组的解满足不等式，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】将方程组中两个方程相加得，则，，，解得.
3．如果不等式组的解集是，那么的值为______.
【答案】1
【解析】解不等式组得， 原不等式组的解集是，，，，，.
4．
（1） 已知关于的一次方程无解，则的值为______;
（2） 若关于的方程有无数个解，则的值为________；
（3） 如果、为常数，无论为何值，关于的方程的解总是，那么________，__________.
【答案】（1） 8
（2）
（3） ；
【解析】
（1） 方程无解，，，.
（2） 将方程整理得， 该方程有无数个解，且，，，.
（3） 将方程整理为， 无论为何值，方程的解总是，且，将代入得且，，.
5．[2024南通一模]若关于的不等式组无解，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】由得，由得， 不等式组无解，.
6．[2024宿迁一模]若不等式组有解，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由得，由得， 不等式组有解，.
7．已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】是不等式的解，，解得，不是原不等式的解，，解得，.
8．如果关于、的二元一次方程组的解是正整数，则整数的值是____.
【答案】7或9
【解析】解关于、的方程组得 方程组的解是正整数，且，解得， 整数为7，8，9，10，、为正整数，或9.
9．已知方程组的解是则方程组的解为________________________________________.
【答案】
【解析】把代入方程组得将方程组变形为
解得
10．【阅读材料】
材料一：对于实数，，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等号右边是通常的四则运算.如：；.
已知：；.
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围.”此题有如下解法：
，，
，是非负数，
，即，，
，
，.
【回答问题】
（1） 求出，的值；
（2） 已知，均为非负数，，求的取值范围；
（3） 已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值.
解：（1） ，，
解得
（2） ，，
，是非负数，,即，
，
，
，，
.
（3） ，，
，，都为非负数，
解得，
,
, 当时，;当时，.
第二章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．[2024宿迁模拟]若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．[2024无锡一模]若是关于的方程的解，则的值是（ ）
A. 3 B. 1 C. D.
【答案】A
3．[2024宿迁一模]已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
4．[2024南京二模]某竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分.小明答对了道题，得分不低于70分，可列不等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2024无锡一模]已知方程组则的值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】C
6．[2024常州一模]若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．[2024宿迁一模]关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】D
8．[2024南通二模]已知，满足，且，.若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
得，解得，把代入②，得，，，
解得.
二、填空题（每小题4分，共24分）
9．[2024常州模拟]一元二次方程的解是________________________.
【答案】，
10．[2024南京一模]若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
【答案】
11．[2024南京三模]不等式组的解集为，则的取值范围为__________.
【答案】
12．[2024宿迁二模]若关于的分式方程有增根，则的值是______.
【答案】2
13．[2024南京模拟]设、是方程的两个根，则______.
【答案】2 023
14．[2024南京模拟]若关于的方程有两个实数根，则的最小值为______.
【答案】9
【解析】 关于的方程有两个实数根，，，又， 当时，取得最小值，为.
三、解答题（共44分）
15．[2024南京一模]（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
解：
由①得，由②得，
原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
16．（8分）解方程：
（1） [2024南京一模]；
（2） [2024南通二模].
解：（1） ，
或，
,.
（2） 方程两边同乘,
得,解得,
检验：当时，,
原分式方程无解.
17．[2024扬州一模]（8分）2024扬州鉴真半程马拉松于3月31日鸣枪开跑，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目.小明参与了半程马拉松（约）项目，前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的1.2倍，最终比原计划提前到达目的地.求小明前的平均速度.
解：设小明前的平均速度为，依题意得，
解得，经检验，是原方程的根，且符合题意.
答：小明前的平均速度是.
18．[2024无锡二模]（10分）为了加强劳动教育，某校在校园开辟了一块劳动教育基地.如图，利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入.
（1） 若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
（2） 若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
解：（1）设的长为米，则的长为米，
根据题意得，
解得，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意.
答：此时边的长为10米.
（2） 设的长为米，围成的菜地面积为平方米，则的长为米，
根据题意得，即.
，
， 当时，取得最大值，最大值为147，.
答：该片菜地最多可收获294千克的菜.
19．[2024无锡一模]（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售.据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元.
（1） 求、两种型号的汽车每辆的进价分别为多少万元.
（2） 若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8 000元，销售1辆型汽车可获利5 000元，问：购进型、型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元，
根据题意得
解得
答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元.
（2） 设该公司购进辆型汽车，两种汽车全部售出后获得的总利润为万元，则该公司购进辆型汽车，根据题意得，即，
，
随的增大而减小，
又、均为正整数，
的最小值为2，
当时，取得最大值，
为，
此时.
答：购进2辆型汽车，15辆型汽车，才能获得最大利润，最大利润是91 000元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025江苏版数学中考专题
第二章 方程（组）与不等式（组）
第1节 一次方程（组）
基础练
1．[2024连云港二模]若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．[2024盐城模拟]已知有理数，满足方程组则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．[2024无锡一模]明代《算法统宗》有一首数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇.醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024无锡一模]写出一个解为的二元一次方程：____________________________.
5．[2024宿迁一模]已知，且，则的值为______.
6．[2024苏州一模]二元一次方程组的解为________________________________________.
7．解下列方程（组）
（1） [2024南通二模];
（2） [2024常州一模]
8．[2024连云港]我市将5月21日设立为连云港市“人才日”,以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把.
9．[2024南京一模]小刚和小强分别从、两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后两人相遇.相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚到达地.求两人的行进速度.
提升练
10．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是：有大、小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛米（注：斛是古代一种容量单位）（ ）
A．斛 B．斛 C．斛 D．1斛
11．[2024无锡一模]已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．[2024扬州二模]关于，的方程组的解满足，则的值为______.
13．[2023南京一模]某商场出售甲，乙，丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元.若购买甲，乙，丙各1件，则需__元.
14．[2024盐城一模]现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆型车和1辆型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆型车和2辆型车载满荔枝一次可运走11吨.现有荔枝31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝.根据以上信息，解答下列问题：
（1） 1辆型车和1辆型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
（2） 请你设计租车方案.
15．市“第 届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同），两车同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车.已知两车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）.
（1） 如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达，并说明理由；
（2） 试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行的理由.
第2节 分式方程
基础练
1．[2023苏州模拟]解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024徐州一模]一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第一次有人分钱，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024淮安一模]方程的解为__________.
4．[2024无锡一模]若关于的分式方程有增根，则的值为________.
5．[2024苏州一模]甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数.根据下面的解题过程，被墨迹弄污的条件应是________________________.
解：设甲每小时做个， 由题意得， ……
6．解下列方程：
（1） [2024常州二模]；
（2） [2024泰州一模].
7．[2024扬州一模]在今年的3月12日，某校组织师生开展了植树活动.在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗.已知用1 200元购买甲种树苗的棵数与用900元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵便宜5元.求甲种树苗每棵多少元.
8．[2024徐州一模]近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小李开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程10千米的普通道路，路线包含快速通道，全程7千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少.
提升练
9．[2024南京模拟]为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图,、分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．[2024宿迁三模]关于的方程的解为非负数，则的取值范围是________________________.
11．若关于的方程无解，则的值为________________.
12．数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦的长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：、、.研究15、12、10这三个数的倒数发现：，此时我们称15、12、10为一组调和数，现有三个数：6、4、，若要组成调和数，则的值为______________.
13．[2024苏州一模]3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动.据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少2捆.
（1） 求树苗基地每捆种树苗的价格.
（2） 树苗基地每捆种树苗的价格是40元.学校决定在树苗基地购买，两种树苗共100捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数.树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠.求本次购买的最少花费.
14．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程，已知甲工程队比乙工程队每天多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1） 甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2） 如果要求完成这项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你设计出来.
（3） 请你添加适当的条件，提出新的问题，并给出解答.
第3节 一元二次方程
基础练
1．[2024南通模拟]用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024无锡模拟]关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024常州模拟]方程的解为________________________.
4．[2024泰州一模]若是一元二次方程的一个根，则其另一个根为____________.
5．[2024南京模拟]某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后的成本比第一次降低后少4元，设这个百分率为，则可列方程为________________________________.
6．[2024南通模拟]若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________________.
7．[2024宿迁一模]若实数，是一元二次方程的两根，则的值为______.
8．解下列方程：
（1） [2024苏州模拟]；
（2） [2024徐州模拟]；
（3） [2024无锡模拟].
9．[2024徐州一模]如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起，就能制成一个无盖纸盒.如果要制作的无盖纸盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？
10．[2024常州一模]某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本.为了吸引消费者，商家决定采取降价措施.经试销统计发现，画册售价每降低1元，平均每天就能多售出10本.商家想要使这种画册平均每天的销售利润达到2 240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元.
提升练
11．[2024南京模拟]若关于的方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
12．[2024南通模拟]等腰三角形三边长分别为、、4，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．30 B．34或30 C．36或30 D．34
13．[2023南京二模]若关于的一元二次方程（为常数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．[2024南京一模]关于的方程的两根之和是__________.
15．[2024南京模拟]已知 、 是方程的两个根，则______.
16．[2024无锡三模]已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的实数根的个数为____.
17．[2023苏州模拟]关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是____________.
18．[2024苏州模拟]我们规定：若，，则.例如，，则.已知，，若，且，则的值为____________.
19．[2024南京模拟]已知关于的一元二次方程有两个实数根和.
（1） 求实数的取值范围；
（2） 当时，求的值.
20．[2024无锡模拟]如图，在矩形中，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，沿规定路线移动.
（1） 若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，问经过多长时间，两点之间的距离是？
（2） 若点沿着移动，点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为.
第4节 一元一次不等式（组）
基础练
1．[2024常州一模]若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024苏州一模]不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024宿迁二模]下图所表示的关于的不等式组的解集是____________.
4．[2024南京模拟]不等式的最大整数解是______.
5．[2024扬州二模]在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则实数的取值范围是____________.
6．[2024盐城]求不等式的正整数解.
7．[2024盐城模拟]解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.
8．[2024扬州一模]解不等式组并写出满足条件的正整数解.
9．为响应“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，某市教体局向某中学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套.
（1） 求书籍和实验器材各有多少套.
（2） 现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该中学，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排货车时，有几种方案？请你帮助设计出来.
提升练
10．[2024常州模拟]已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．[2024盐城一模]关于、的方程组的解满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．[2023连云港模拟]若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A． B．2 C． D．3
13．[2024苏州模拟]已知实数，满足，且，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
14．已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是____________.
15．[2024南通模拟]若关于的不等式组的整数解恰有3个，则的取值范围是______________.
16．[2024无锡一模]为迎接即将到来的“五一”劳动节，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款.
促销方式一：按所购商品原价打八五折；
促销方式二：所购商品原价每满300减60（如：所购商品原价为340元，则减60元，需付款280元；所购商品原价为630元，则减120元，需付款510元）.
（1） 若某商品原价为500元，选择哪种促销方式更优惠？请说明理由.
（2） 当商品原价为多少时，两种促销方式一样优惠？
（3） 若某商品原价为元，请问当满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠？请说明理由.
17．已知关于、的方程组
（1） 若方程组的解满足，求的值；
（2） 若、、都是非负数，且，求的取值范围；
（3） 无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个固定解.
微专题1 方程（组）与不等式（组）的含参问题
1．[2024南通一模]若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于、的方程组的解满足不等式，则的取值范围为____________.
3．如果不等式组的解集是，那么的值为______.
4．
（1） 已知关于的一次方程无解，则的值为______;
（2） 若关于的方程有无数个解，则的值为________；
（3） 如果、为常数，无论为何值，关于的方程的解总是，那么________，__________.
5．[2024南通一模]若关于的不等式组无解，则的取值范围为________.
6．[2024宿迁一模]若不等式组有解，则的取值范围是________.
7．已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是____________.
8．如果关于、的二元一次方程组的解是正整数，则整数的值是____.
9．已知方程组的解是则方程组的解为________________________________________.
10．【阅读材料】
材料一：对于实数，，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等号右边是通常的四则运算.如：；.
已知：；.
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围.”此题有如下解法：
，，
，是非负数，
，即，，
，
，.
【回答问题】
（1） 求出，的值；
（2） 已知，均为非负数，，求的取值范围；
（3） 已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值.
第二章 章节检测
100分 60分钟
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．[2024宿迁模拟]若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024无锡一模]若是关于的方程的解，则的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
3．[2024宿迁一模]已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．6
4．[2024南京二模]某竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分.小明答对了道题，得分不低于70分，可列不等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024无锡一模]已知方程组则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．[2024常州一模]若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．[2024宿迁一模]关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
8．[2024南通二模]已知，满足，且，.若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
9．[2024常州模拟]一元二次方程的解是________________________.
10．[2024南京一模]若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
11．[2024南京三模]不等式组的解集为，则的取值范围为__________.
12．[2024宿迁二模]若关于的分式方程有增根，则的值是______.
13．[2024南京模拟]设、是方程的两个根，则______.
14．[2024南京模拟]若关于的方程有两个实数根，则的最小值为______.
三、解答题（共44分）
15．[2024南京一模]（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
16．（8分）解方程：
（1） [2024南京一模]；
（2） [2024南通二模].
17．[2024扬州一模]（8分）2024扬州鉴真半程马拉松于3月31日鸣枪开跑，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目.小明参与了半程马拉松（约）项目，前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的1.2倍，最终比原计划提前到达目的地.求小明前的平均速度.
18．[2024无锡二模]（10分）为了加强劳动教育，某校在校园开辟了一块劳动教育基地.如图，利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入.
（1） 若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
（2） 若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
19．[2024无锡一模]（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售.据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元.
（1） 求、两种型号的汽车每辆的进价分别为多少万元.
（2） 若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8 000元，销售1辆型汽车可获利5 000元，问：购进型、型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
