人教A版高中数学选择性必修三7.3.1第1课时-离散型随机变量的均值-同步练习
1．已知随机变量X的分布列如下表：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E(X)的值为( )
A．2 B．2.4
C．3.6 D．不确定
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0 B. C．1 D．－1
3．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
4．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的均值E(X)等于( )
A．2 B．2或 C. D．1
5．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为( )
A．1.18万元 B．3.55万元
C．1.23万元 D．2.38万元．
6．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为( )
A. B．1 C. D．2
7．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________．
ξ 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
8.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数X的均值是________．
9．体育课排球发球项目考试的规则是：每名学生最多发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，求p的取值范围．
10．某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求：
(1)此人收益的概率分布；
(2)此人收益的期望值．
11．(多选)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b a＋b
则E(X)的可能取值有( )
A．1 B. C. D.
12．(多选)已知随机变量ξ的分布列是
ξ －1 0 2
P cos α
其中α∈，则下列表述正确的是( )
A.＋＋cos α＝1
B．cos α＝，sin α＝
C．E(ξ)＝1
D．以上均不正确
13．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(014．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i＝1,2)，则E(ξ1)＋E(ξ2)的值为________．
15．(多选)设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记P(X＝a，Y＝b)表示X＝a，Y＝b同时发生的概率，则( )
A．当n＝3时，P(X＝2，Y＝1)＝
B．当n＝4时，P(X＋Y＝4)＝
C．当n＝k(k≥2且k∈N*)时，P(X＝k，Y＝1)＝
D．当n＝2时，Y的均值为
16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值．
参考答案与详细解析
1．C [依题意0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6.]
2．A [因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.]
3．B [由题意，出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(－2 000)×(1－0.6)＝3 000－800＝
2 200(元)．]
4．C [由分布列的性质知，＋＝1，解得a＝1或a＝－2(舍去)．所以E(X)＝0×＋1×＝.]
5．A [因为X的所有可能取值为1.2,1.18，1.17，
P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的分布列为
X 1.2 1.18 1.17
P
所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18(万元)．]
6．B [记抽到自己准备的书的学生数为X，
则X的可能取值为0,1,2,4，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.]
7.
解析 首先2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝18x＝1，所以x＝，
因此E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝40×＝.
8．3.5
解析 由题意X的可能值依次为1,2,3,4,5,6，且P(X＝i)＝，i＝1,2,3,4,5,6，
所以E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5.
9．解 由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)
＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，
又由p∈(0,1)，可得p∈.
10．解 (1)因为1－0.001－0.01－0.2＝0.789＝78.9%，
所以收益为0的概率为78.9%，
所以收益的概率分布为
收益 0 1 10 100
P 78.9% 20% 1% 0.1%
(2)此人收益的期望值为100×0.1%＋10×1%＋1×20%＋0×78.9%＝0.4(元)．
11．BC [由分布列的性质可得
且a＋b＋(a＋b)＝2a＋2b＝1，则a＋b＝，所以a＝－b，则0<－b<1.又012．ABC [对于A，由随机变量的分布列的性质，
得＋＋cos α＝1；
对于B，sin α＋2cos α＝2，
联立
得5cos2α－8cos α＋3＝0，
解得cos α＝或cos α＝1(舍去)，则sin α＝；
对于C，E(ξ)＝－＋2cos α＝－×＋2×＝1.]
13.
解析 依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2(负值舍去)，
所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0,1,2，
可得P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝0)＝×＝，
所以E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝.
14.
解析 甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1,2，
则P(ξ1＝1)＝＝，
P(ξ1＝2)＝＝，
则E(ξ1)＝1×＋2×＝；
甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1,2,3，
则P(ξ2＝1)＝＝，
P(ξ2＝2)＝＝，
P(ξ2＝3)＝＝，
则E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝.
∴E(ξ1)＋E(ξ2)＝＋＝.
15．BCD [对于A，当n＝3时，P(X＝2)＝，P(Y＝1|X＝2)＝，则P(X＝2，Y＝1)＝P(X＝2)·P(Y＝1|X＝2)＝×＝，选项A错误；
对于B，当n＝4时，由X＋Y＝4，X≥Y，可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2，
所以P(X＋Y＝4)＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝2)＝×＋×＝，选项B正确；
对于C，当n＝k(k≥2且k∈N*)时，P(X＝k)＝，P(Y＝1|X＝k)＝，则P(X＝k，Y＝1)＝，选项C正确；
对于D，当n＝2时，Y的可能取值为1,2，
则P(Y＝1)＝P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝1)＝×1＋×＝，
P(Y＝2)＝P(X＝2，Y＝2)＝×＝，则Y的均值为1×＋2×＝，选项D正确．]
16．解 (1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故所求Y的分布列为
Y 51 48 45 42
P
因此所求年收获量Y的均值为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×
＝46 (kg)．人教A版高中数学选择性必修三
7.3.1第2课时-离散型随机变量的均值的综合应用-同步练习
1．已知随机变量X的分布列为：
X －1 0 1
P a
设Y＝2X＋1，则Y的均值E(Y)等于( )
A．－ B. C. D．－
2．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝，X的分布列为
X －1 0 1
P a b
则a，b的值分别为( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝
C．a＝，b＝ D．a＝，b＝
3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
4．某商场销售某种品牌的空调，每周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则每台未售出的空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，调剂的空调每台可获利200元．该商场记录了去年夏天(共10周)空调的周需求量n(单位：台)，整理得表：
周需求量n 18 19 20 21 22
频数 1 2 3 3 1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若该商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，则当周的平均利润为( )
A．10 000元 B．9 400元
C．8 800元 D．9 860元
5．某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在8：00,8：20,8：40发车的概率分别为，，；
第二班车：在9：00,9：20,9：40发车的概率分别为，，.
假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的均值为( )
A．30 B．35 C．40 D．25
6．(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则( )
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a＝7 B．b＝0.4
C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62
7．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192例 8例
则该公司一年后估计可获收益的均值是________．
9．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲的得分X的分布列和均值E(X)．
10．某景点电动车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1 h免费，超过1 h的部分每小时收费10元(不足1 h的部分按1 h计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车游玩(各租一车次)．设甲、乙不超过1 h还车的概率分别为，，1 h以上且不超过2 h还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过3 h.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
11．已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b c
当a增大时，则下列说法中正确的是( )
A．E(X)增大
B．E(X)减小
C．E(X)先增大后减小
D．E(X)先减小后增大
12．某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量(单位：份)，制成如下表格(注：x，y∈N*，且x＋y＝30)．
每天前8小时的销售量 15 16 17 18 19 20 21
频数 10 x 15 16 16 13 y
若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时，x的取值集合为( )
A．{24,25,28,29} B．{26,27,28,29}
C．{20,21,22} D．{25,26,27,28}
13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为， 乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值E(ξ)为( )
A. B. C. D.
14．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，以2为公比的等比数列，相应资金是以700元为首项，以－140元为公差的等差数列，则参与该游戏获得资金的均值为____元．
15．将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为________；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为________．
16．图1是一颗拥有完美正八面体晶形的钻石，其示意图如图2.设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝2.
(1)求P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列及E(ξ)．
参考答案与详细解析
1．C [根据分布列的性质，得＋＋a＝1，解得a＝，
所以随机变量X的均值为E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.又Y＝2X＋1，
所以随机变量Y的均值为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.]
2．C [因为E(Y)＝2E(X)＋3＝，所以E(X)＝－，
则有
解得]
3．B [当ξ＝0时，
P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；
当ξ＝1时，
P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.22；
当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.]
4．D [当n≥20时，X＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000，
当n≤19时，X＝500n－100(20－n)
＝600n－2 000，
则X的可能取值为8 800,9 400,10 000,10 200，10 400，
P(X＝8 800)＝0.1，
P(X＝9 400)＝0.2，
P(X＝10 000)＝0.3，
P(X＝10 200)＝0.3，
P(X＝10 400)＝0.1，
则当周的平均利润
E(X)＝0.1×8 800＋0.2×9 400＋0.3×10 000＋0.3×10 200＋0.1×10 400＝9 860(元)．]
5．A [设该旅客候车的分钟数为ξ，
则ξ的取值范围为{10,30,50,70,90}，
P(ξ＝10)＝，P(ξ＝30)＝，
P(ξ＝50)＝×＝，
P(ξ＝70)＝×＝，
P(ξ＝90)＝×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 10 30 50 70 90
P
故E(ξ)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝30，
即该旅客候车的分钟数的均值为30.]
6．ABC [由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
∴b＝0.4，
又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52.]
7．2
解析 ∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，
∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.
8．4 760元
解析 由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故该公司一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．
9．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，
X的可能取值为0，－1,1，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝，
所以X的分布列为
X 0 －1 1
P
因此E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
10．解 (1)由题意得甲、乙在2小时以上且不超过3小时还车概率分别为，，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝.
(2)ξ的可能取值为0,10,20,30,40，
则P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝10)＝×＋×＝，
P(ξ＝20)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝30)＝×＋×＝，
P(ξ＝40)＝×＝，
所以甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ 0 10 20 30 40
P
故E(ξ)＝10×＋20×＋30×＋40×＝17.5.
11．B [因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝，b＝，所以0≤a≤，所以E(X)＝0·a＋1×＋2c＝＋2＝－2a＋，所以当a增大时，E(X)减小．]
12．B [设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为ξ，购进18份有机蔬菜时利润为η，则ξ的分布列如下表所示：
ξ 65 75 85
P
所以E(ξ)＝65×＋75×＋85×＝83－0.1x.
η的分布列如下表所示：
η 60 70 80 90
P
所以E(η)＝60×＋70×＋80×＋90×＝85.5－0.2x.
由题意知，E(ξ)>E(η)，即83－0.1x>85.5－0.2x，解得x>25，
又x＋y＝30且x，y∈N*，则2513．B [依题意知，ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.]
14．500
解析 由分布列的性质可得a1＋2a1＋4a1＝1，
所以a1＝，2a1＝，4a1＝.
因此获得资金X的分布列为
X 700 560 420
P
所以E(X)＝700×＋560×＋420×＝500(元)．
15.
解析 当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有A种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有A种，所以共有AA＝12(种)排列方法，六个字母在3×2的表格中进行排列，共有＝90(种)排列方法，所以所求概率为＝.由题意知，分数ξ的可能取值为0,1,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－－＝，所以所得分数ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝.
16．解 (1)若2条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个，又过任意顶点有4条棱，所以共有6C对相交的棱，所以P(ξ＝0)＝＝.
(2)若2条棱平行，则它们之间的距离为1，则
由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2.
因为正八面体中，相互平行的棱一共有6对，所以P(ξ＝1)＝＝，
所以P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－－＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
