人教A版高中数学选择性必修三
7.3.2第1课时-离散型随机变量的方差-同步练习
1．下列说法正确的有( )
A．离散型随机变量X的方差与标准差的单位相同
B．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的波动水平
C．离散型随机变量X的均值E(X)与样本的平均值相同
D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平
2．已知随机变量X的取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则标准差为( )
A. B. C. D.
3．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差D(X)为( )
A. B. C. D.
4．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P(X≥D(X))等于( )
X 0 1 2 3
P
A. B. C. D.
5．(多选)已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P a b
若E(X)＝，则( )
A．a＝ B．b＝
C．D(X)＝ D．D(X)＝
6．(多选)已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则( )
A．X的可能取值为0,1
B．X服从两点分布
C．E(X)＝1
D．D(X)＝
7．若X的分布列为
X 0 1
P 0.5 a
则D(X)＝________.
8．随机变量X的概率分布为
X 0 1 m
P n
且E(X)＝1.1，则D(X)＝________.
9．抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的方差和标准差．
10．有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下：
X甲 28 29 30 31 32
P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1
X乙 28 29 30 31 32
P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量．
11．(多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，若0
A．E(ξ)有最大值 B．E(ξ)无最小值
C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)无最小值
12．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试机会的公司个数．若P(X＝0)＝，则D(X)＝________.
13．(多选)已知A＝B＝{1,2,3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中正确的是( )
A．P4＝2P2 B．P(3≤X≤5)＝
C．E(X)＝4 D．D(X)＝
14．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x115．已知A，B两个不透明的盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m(016．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值和方差．
参考答案与详细解析
1．D [单位不同，方差的单位是随机变量单位的平方，故A错误；
因为离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平，故B错误；
常用样本的平均值估计均值E(X)，但不代表两者相同，故C错误；
因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，D正确．]
2．C [设P(X＝1)＝p，则P(X＝2)＝－p，
由E(X)＝p＋2＝1，解得p＝，
则由公式得D(X)＝1×＋0×＋1×＝，
则标准差＝.]
3．A [由题意，得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，故X的分布列为
X 0 1
P
所以E(X)＝，所以D(X)＝×2＋×2＝.]
4．A [由题意得E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，
故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.]
5．ABC [由题意得a＋b＝.①
由E(X)＝＋2a＋3b＝，
得2a＋3b＝.②
联立①②，得a＝，b＝.
所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.]
6．ABD [由已知X的可能取值为0,1.且服从两点分布．
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝＋×＝，
∴E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝×＋×＝.]
7．0.25
解析 由题意知0.5＋a＝1，则a＝0.5，所以E(X)＝0.5，
D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.
8．0.49
解析 由＋n＋＝1，得n＝，
∵E(X)＝1.1，
∴0×＋1×＋m×＝1.1，得m＝2，
∴D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
9．解 由题可知X为随机变量，其可能的取值为1,2,3,4,5,6，
且P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝P(X＝5)＝P(X＝6)＝，
∴E(X)＝＝；
D(X)＝＝，X的标准差为＝＝.
10．解 由表中的数据，有E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，
E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.
D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，
D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2× 0.13＝1.38.
由上面的计算知，尽管甲、乙两种棉花的纤维长度的均值相等，但D(X甲)＝1.111．BD [由题意可得，E(ξ)＝0×＋1×x＋2×＝－x，因为f(x)＝－x在上单调递减，
所以当0D(ξ)＝2·＋2·x＋2·＝－x2－x＋，
因为f(x)＝－x2－x＋＝－2＋在上单调递减，所以当012.
解析 由P(X＝0)＝，知×(1－p)2＝，得p＝，
由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的可能取值是0,1,2,3，
P(X＝1)＝×2＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝×2＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
所以D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝.
13．BCD [因为A＝B＝{1,2,3}，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的值可以为2,3,4,5,6.从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝.对于A，P4＝3P2，故A不正确；对于B，P(3≤X≤5)＝＋＋＝，故B正确；对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4，故C正确；对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×＝，故D正确．]
14．3
解析 由已知得
即
解得或
又x1所以x1＋x2＝3.
15．5
解析 ξ的可能取值为0,1,2，
则P(ξ＝0)＝·＝，
P(ξ＝1)＝·＋·＝，
P(ξ＝2)＝·＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，
D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×
＝≤×2＝，当且仅当m＝5时，等号成立，
所以当D(ξ)取到最大值时，m的值为5.
16．解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6，
当ξ＝1时，直接从1号通道走出，则P(ξ＝1)＝；
当ξ＝3时，先走2号通道，再走1号通道，
则P(ξ＝3)＝×＝；
当ξ＝4时，先走3号通道，再走1号通道，
则P(ξ＝4)＝×＝；
当ξ＝6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，则P(ξ＝6)＝2××1＝.
所以ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.人教A版高中数学选择性必修三
7.3.2第2课时-离散型随机变量的方差的综合问题-同步练习
1．(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是( )
A．E(X)是反映随机变量的平均取值
B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)
C．E(aX＋b)＝aE(X)＋b
D．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b
2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )
A．0.5和0.25 B．0.5和0.75
C．1和0.25 D．1和0.75
4．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)等于( )
A. B. C. D.
5．(多选)若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则下列说法正确的是( )
A．E(ξ)＝－4 B．E(ξ)＝－3
C．D(ξ)＝－4 D．D(ξ)＝4
6．已知0ξ k k－1
P a 1－a
A.a＝ B．a＝
C．k＝ D．k＝1
7．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)＝________.
8．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)等于( )
A. B. C. D.
9．已知随机变量X的分布列如下表所示．
X －2 1 3
P 0.16 0.44 0.40
求E(X)，E(2X＋5)，D(X)，D(2X＋5)．
10．设离散型随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5.求E(X2＋4X＋4)，
D(2X－1)．
11．设a∈，随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y满足Y＝2X＋1，则当a在上增大时，关于D(Y)的表述下列正确的是( )
X 0 1 3
P a b－a b
A.D(Y)增大
B．D(Y)减小
C．D(Y)先增大后减小
D．D(Y)先减小后增大
12．随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3)，其中a是常数，则D(aX)等于( )
A. B. C. D.
13．设a>0，若随机变量ξ的分布列如下
ξ －1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差值中最大的是( )
A．D(ξ) B．D(|ξ|)
C．D(2ξ－1) D．D(2|ξ|－1)
14．已知随机变量ξ的所有可能取值为m，n，其中P(ξ＝m)＝P(ξ＝n)＝，则E(ξ)＝________，当D(ξ)取最小值时，mn＝________.
15．(多选)已知随机变量ξ的分布列(如下表)，则下列说法错误的是( )
ξ x y
P y x
A.存在x，y∈(0,1)，E(ξ)>
B．对任意x，y∈(0,1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0,1)，D(ξ)≤E(ξ)
D．存在x，y∈(0,1)，D(ξ)>
16．为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试(满分100分)，根据测试成绩评定为“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示．
等级 不合格 合格
得分
频数 6 a 24 b
(1)求a，b，c的值；(2)用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(3)设函数f(ξ)＝(其中D(ξ)表示ξ的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数．当f(ξ)≥2.5时，认定教育方案是有效的，否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
参考答案与详细解析
1．ABC [离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确；
由均值和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正确，D错误．]
2．C [D(2X＋1)＝4D(X)＝4.]
3．A [∵X服从两点分布，
∴X的分布列为
X 0 1
P 0.5 0.5
∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，
D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.]
4．A [由X的分布列得E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，
因为Y＝2X＋3，则D(Y)＝4D(X)＝.]
5．BD [随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，据此可得E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4.]
6．D [由题意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，
D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a)．
因为E(ξ)＝D(ξ)，
所以k－1＋a＝a(1－a)，
所以k＝1－a2，又0所以k＝1－a2∈(0,1)，
故k＝1不可能成立，
而选项A，B，C均有可能成立．]
7.
解析 X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
8．B [∵X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，
P(X＝a)＝，E(X)＝，
∴1×＋a×＝，解得a＝2，
∴D(X)＝2×＋2×＝，
∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝.]
9．解 由分布列可得，E(X)＝－2×0.16＋1×0.44＋3×0.40＝1.32.
所以E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×1.32＋5＝7.64.
D(X)＝(－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32)2×0.44＋(3－1.32)2×0.40＝2.937 6.
所以D(2X＋5)＝4D(X)＝4×2.937 6＝11.750 4.
10．解 ∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3，
E(X2)＝12×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11，
D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝2，
∴E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋4×3＋4＝27，
D(2X－1)＝4D(X)＝8.
11．A [由a＋(b－a)＋b＝1，得b＝，
则E(X)＝1×＋3×＝2－a，
D(X)＝(0－2＋a)2a＋(1－2＋a)2＋(3－2＋a)2×＝－a2＋3a＋1，
由Y＝2X＋1，得D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)
＝－42＋13，
故a在上增大时， D(Y)增大．]
12．B [因为随机变量X的分布列为
P＝，
故＋＋＝1，解得a＝，
则E(X)＝1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝，
故D＝a2D(X)＝ .]
13．C [由题意，得a＋2a＋3a＝1，则a＝，
所以E(ξ)＝－1×＋0×＋2×＝，
E(|ξ|)＝1×＋0×＋2×＝，
所以D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝，
D(|ξ|)＝×2＋×2＋×2＝，
所以D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝4×＝，
D(2|ξ|－1)＝4D(|ξ|)＝，所以D(2ξ－1)最大．]
14.
解析 由分布列的性质得＋＝1，即m＋n＝1，
所以E(ξ)＝m·＋n·＝＝，
D(ξ)＝2×＋2×
＝2×＋2×
＝2≥0，
当且仅当m＝n＝时等号成立，此时mn＝.
15．ABD [依题意可得E(ξ)＝2xy，
因为x＋y＝1，
所以2xy≤＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，即E(ξ)≤，故A，B错误；
D(ξ)＝(x2y＋y2x)－(2xy)2＝xy(x＋y－4xy)＝xy(1－4xy)，
D(ξ)－E(ξ)＝xy(1－4xy－2)＝－xy(1＋4xy)，
由于xy>0，∴D(ξ)－E(ξ)<0，故C正确；
令t＝xy，则D(ξ)＝t(1－4t)＝－42＋，
即D(ξ)≤，故D错误．]
16．解 (1)由频率分布直方图可知，得分在[20,40)的频率为0.005×20＝0.1，故抽取的学生答卷数为＝60，又由频率分布直方图可知，得分在[80,100]的频率为0.2，
所以b＝60×0.2＝12.
又6＋a＋24＋b＝60，得a＋b＝30，所以a＝18.
c＝＝0.015.
(2)“合格”与“不合格”的人数比例为36∶24＝3∶2，因此抽取的10人中“合格”的有6人，“不合格”的有4人，所以ξ的可能取值为40,35,30,25,20.
P(ξ＝40)＝＝，P(ξ＝35)＝＝，
P(ξ＝30)＝＝，P(ξ＝25)＝＝，
P(ξ＝20)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 40 35 30 25 20
P
E(ξ)＝40×＋35×＋30×＋25×＋20×＝32.
(3)由(2)可得
D(ξ)＝(40－32)2×＋(35－32)2×＋(30－32)2×＋(25－32)2×＋(20－32)2×＝16，
所以f(ξ)＝＝＝2<2.5.
故可以认为该校的安全教育方案是无效的，需要调整安全教育方案．