人教A版高中数学选择性必修三7.4.1第1课时-二项分布-同步练习
1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )
A. B. C. D.
2．已知随机变量X服从二项分布X～B，P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
3．(多选)若随机变量X服从参数为4，的二项分布，则( )
A．P(X＝1)＝P(X＝3) B．P(X＝2)＝3P(X＝1)
C．P(X＝4)＝2P(X＝0) D．P(X＝3)＝4P(X＝1)
4．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为( )
A. B. C. D.
5．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业．则两家店铺在该节假日能正常营业的概率为( )
A. B. C. D.
6．(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是( )
A．P1＝P2＝P3＝P4
B．P3＝2P1
C．P1＋P2＋P3＋P4＝1
D．P4＝3P2
7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
8．设随机变量X～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则p的值为________．
9．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
10．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列及至多遇到一次红灯的概率．
11．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1)
12．(多选)某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是( )
A．这5个家庭均有小汽车的概率为
B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为
C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为
D．这5个家庭中，4个以上家庭(含4个家庭)拥有小汽车的概率为
13．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为________．
14．某人抛掷一枚硬币，出现正反面向上的概率都是，构造数列{an}，使得
an＝
记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________．
15．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟试验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀：“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀．经随机模拟试验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是( )
101 111 011 101 010 100 100 011 111 001
A. B. C. D.
16．为了比较传统粮食α与新型粮食β的产量是否有差别，研究人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食α与新型粮食β，并收集统计了β的亩产量，所得数据如下图所示．已知传统粮食α的产量约为760公斤/亩．
(1)通过计算比较传统粮食α与新型粮食β的平均亩产量的大小关系；
(2)以频率估计概率，若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食β，记亩产量不低于785公斤的土地块数为X，求X的分布列．
参考答案与详细解析
1．A [P＝C×2×3＝.]
2．D [因为随机变量X服从二项分布X～B，所以P(X＝2)＝C×2×2＝.]
3．BD [由题意，根据二项分布中概率的计算公式P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝C04＝，
P(X＝1)＝C13＝，
P(X＝2)＝C22＝，
P(X＝3)＝C31＝，
P(X＝4)＝C40＝，
因此P(X＝2)＝3P(X＝1)，P(X＝3)＝4P(X＝1)，P(X＝4)＝16P(X＝0)．]
4．A [该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为C×2×＝，
有三天出现大潮概率为C×3＝，
所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝.]
5．D [设两家店铺都不能正常营业为事件A，由题意可知有4人休假的概率为4＝，有3人休假的概率为C×3×1＝，
所以两家店铺都不能正常营业的概率P(A)＝＋＝，
所以两家店铺在该节假日能正常营业的概率为1－P(A)＝.]
6．CD [由题意知，P1＝3＝，P2＝3＝，
P3＝C×2×＝，
P4＝C××2＝，
P1＝P2
P3＝3P1，故B错误；
P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；
P4＝3P2，故D正确．]
7.
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，
所求概率P＝C6＋C6＋C6＝.
8.
解析 因为X～B(4，p)，所以P(X＝0)＝(1－p)4，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)4＝，解得p＝.
9．解 (1)记“预报一次准确”为事件A，
则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5重伯努利试验．
“恰有2次准确”的概率为
P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．
其概率为P＝C×0.25＋C×0.8×0.24
＝0.006 72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
10．解 由已知，有X～B，
可得P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
设“至多遇到一次红灯”的事件记为A，
则P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝.
所以至多遇到一次红灯的概率为.
11．A [由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4，又∵012．ACD [由题意得小汽车的普及率为75%＝.
对于A选项，这5个家庭均有小汽车的概率为5＝，故A选项正确；
对于B选项，这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为C×3×2＝，故B选项不正确；
对于C选项，这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为C0×5＋C1×
4＋C2×3＝＝，故C选项正确；
对于D选项，这5个家庭中，4个以上家庭(含4个家庭)拥有小汽车的概率为C×4×1＋5＝，故D选项正确．]
13.
解析 某人参加考试，4道题目中，答对的题目数X满足二项分布X～B，
所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C4＋4＝.
14.
解析 S4＝2，即4次中有3次正面向上1次反面向上，则所求概率P＝C×3×＝.
15．B [模拟试验中，总共进行了10轮，10轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手拿到优秀的概率为P＝＝，因此，该选手投掷飞镖两轮，这是一个2重伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率P＝1－C×0×2＝.]
16．解 (1)依题意，所求新型粮食β的平均亩产量为750×0.05＋760×0.1＋770×0.2＋780×0.25＋790×0.2＋800×0.1＋810×0.05＋820×0.05＝37.5＋76＋154＋195＋158＋80＋40.5＋41＝782(公斤)；
因为782>760，故传统粮食α的平均亩产量低于新型粮食β的平均亩产量．
(2)任取1块土地，新型粮食β的亩产量不低于785公斤的概率为，故X～B，故
P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C13＝，
P(X＝2)＝C22＝，
P(X＝3)＝C31＝，
P(X＝4)＝4＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P人教A版高中数学选择性必修三7.4.1第2课时-二项分布的综合问题-同步练习
1．某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用ξ表示他投篮3次的进球数，则随机变量ξ的标准差为( )
A. B. C. D.
2．(多选)已知随机变量X＋ξ＝7，若X～B(10,0.6)，则E(ξ)，D(ξ)分别为( )
A．E(ξ)＝1 B．E(ξ)＝2
C．D(ξ)＝2.4 D．D(ξ)＝5.6
3．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为( )
A. B．3 C. D．2
4．(多选)一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则( )
A．该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数的均值为15
B．该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数的方差为6
C．该学生在这次测验中的成绩的均值为60
D．该学生在这次测验中的成绩的方差为24
5．(多选)某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是( )
A．14 B．15 C．16 D．17
6.王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.若分别走L1，L2路线，则王先生遇到红灯次数的均值分别为( )
A.， B.， C.， D.，
7．若随机变量X～B，则E(X)＝______.
8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则D(Y)＝________.
9．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛．已知各局比赛相互独立，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局．
10．某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了6次球．
(1)求恰有4次命中的概率；
(2)求至多有4次命中的概率；
(3)设命中的次数为X，求E(X)．
11．(多选)为了支持国家发展足球的战略，某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得10分，没踢进一球得－5分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，记ξ为小明踢进球的个数，则下列结论正确的是( )
A．E(ξ)＝ B．P(X≤5)＝
C．E(X)＝25 D．D(X)＝
12．掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为Pn(k)，若n＝20，则当Pn(k)取最大值时，k为( )
A．3 B．4 C．8 D．10
13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)等于( )
A. B. C. D.
14．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差D(X)＝2.4，且P(X＝4)>P(X＝6)，则均值E(X)＝________.
15．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5,10] (10,15] (15,20] (20,25]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
16．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
参考答案与详细解析
1．D [由题意，随机变量ξ～B，故标准差＝＝.]
2．AC [因为X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
因为X＋ξ＝7，所以ξ＝7－X，由均值和方差的性质可得，E(ξ)＝E(7－X)＝7－E(X)＝1，D(ξ)＝D(7－X)＝D(X)＝2.4.]
3．A [因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验，
即X～B，
则X的方差D(X)＝3××＝，
所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×＝6，
所以Y的标准差为＝.]
4．ABC [设答对个数为X，则X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，A对；
D(X)＝25×0.6×(1－0.6)＝6，B对；
设得分为Y，则Y＝4X，则E(Y)＝4E(X)＝60，C对；
D(Y)＝42D(X)＝16×6＝96，D错．]
5．BC [设命中目标的子弹数为X，则X～B(19,0.8)．根据题意，设有K发子弹击中目标的概率最大，则有P(X＝K)≥P(X＝K＋1)且P(X＝K)≥P(X＝K－1)，
即C·0.8K·0.219－K≥C·0.8K＋1·0.218－K且C·0.8K·0.219－K≥C·0.8K－1·0.220－K，
解得15≤K≤16，即有15发或16发子弹击中目标的可能性最大．]
6．D [设王先生遇到红灯次数为随机变量X.
若走L1路线，X的取值可以为{0,1,2,3}，
且X～B，所以E(X)＝3×＝；
若走L2路线，X的取值可以为{0,1,2}，则由题意知P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.]
7．2
解析 因为随机变量X～B，所以E(X)＝4×＝2.
8.
解析 由随机变量X～B(2，p)，
且P(X≥1)＝，
得P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×(1－p)2＝，解得p＝.
由Y～B，得随机变量Y的方差D(Y)＝4××＝.
9．解 由题意，用X表示10局中甲赢的次数，
则X～B(10,0.51)，
所以E(X)＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局，
用Y表示10局中乙赢的次数，则Y～B(10，0.49)，
所以E(Y)＝10×0.49＝4.9，
即乙平均赢4.9局．
10．解 (1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7，则未命中的概率为1－0.7＝0.3，
现投了6次球，恰有4次投中的概率为P＝C×0.74×(1－0.7)2＝0.324 135 .
(2)至多有4次投中的概率为
P＝C×0.36＋C×0.71×0.35＋C×0.72×0.34＋C×0.73×0.33＋C×0.74×0.32＝0.579 825.
(3)由题意可知X～B(6,0.7)，
所以E(X)＝6×0.7＝4.2.
11．ABC [由题可知ξ～B，则X＝10ξ－5(5－ξ)＝15ξ－25，
所以E(ξ)＝5×＝，D(ξ)＝5××＝，故A正确；
所以P(X≤5)＝P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝C×5＋C××4＋C×2×3＝，故B正确；
所以E(X)＝15E(ξ)－25＝15×－25＝25，故C正确；
所以D(X)＝152D(ξ)＝152×＝250，故D错误．]
12．A [掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X，
则X～B，P20(k)＝C×20－k×k，＝，
当0≤k≤2时，>1，P20(k＋1)>P20(k)；
当k≥3时，<1，P20(k＋1)因此当k＝3时，P20(k)取最大值．]
13．B [由题意得该产品能销售的概率为×＝，
易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，
设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，所以P(ξ＝k)＝C×k×4－k，
所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C×2×2＝，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C×3×1＝，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝C×4×0＝，故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝＋＋＝.]
14．4
解析 依题意，知X～B(10，p)，且D(X)＝10p(1－p)＝2.4，即p2－p＋0.24＝0，解得p＝0.6或p＝0.4.又p(X＝4)>P(X＝6)，所以Cp4·(1－p)10－4>Cp6(1－p)10－6，所以(1－p)2>p2，解得015．C [根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为＝，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，
则ξ～B，
其中P(ξ＝k)＝Ck20－k，k＝0,1,2，…，20，
当k≥1时，由
得
化简得
解得≤k≤，又k∈N，所以k＝4，所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.]
16．解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．
则P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)依题意，知X～B(3,0.6)，
P(X＝k)＝C0.6k(1－0.6)3－k，
X的可能取值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B(3,0.6)，
所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.