人教A版高中数学选择性必修三7.4.2第1课时-超几何分布-同步练习
1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
2．(多选)关于超几何分布下列说法正确的是( )
A．超几何分布的模型是不放回抽样
B．超几何分布的总体里可以只有一类物品
C．超几何分布中的参数是N，M，n
D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
3．在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A. B.
C. D.
4．已知10名学生中有a名女生，若从这10名学生中抽取2名作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则a的值为( )
A．2 B．6 C．8 D．2或8
5．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的．现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为( )
A．恰有1个是坏的
B．4个全是好的
C．恰有2个是好的
D．至多有2个是坏的
6．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有( )
A．2本 B．3本 C．4本 D．5本
7．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
8．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)该同学能及格的概率．
10．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课．为了检查网课的效果，某机构对2 000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有．网课学习后通过考试将这2 000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如表所示：
成绩上升 成绩没有上升 合计
有家长督促的学生 500 300 800
没有家长督促的学生 700 500 1 200
合计 1 200 800 2 000
从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到一名成绩上升的学生得1分，抽到一名成绩没有上升的学生得－1分，抽取3名学生的总得分用X表示，求X的分布列．
11．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是( )
A. B. C. D.
12．在某次学校的春游活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：一个纸箱里放了5个红球和5个白球，这些球除颜色外其余完全相同，若一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即中奖，则中奖的概率是(精确到0.001)( )
A．0.114 B．0.112 C．0.103 D．0.121
13．某党支部有10名党员(7名男党员3名女党员)，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则P(X<2)等于( )
A. B. C. D．1
14．若一个随机变量的分布列为P(ξ＝r)＝，其中r＝0,1,2，…，l，l＝min(n，M)则称ξ服从超几何分布，记为ξ～H(n，M，N)，并将P(ξ＝r)＝记为H(r；n，M，N)，则H(1；3,2,10)＝________.
15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
16．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机选取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.
专业 性别 中文 英语 数学 体育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)求m，n的值；
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列．
参考答案与详细解析
1．A [根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10.]
2．ACD [由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确；
超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n(n≤N)件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，
它取值为k时的概率为P(X＝k)＝(k≤r，r是n和M中较小的一个)，
所以B错误；C，D正确．]
3．C [记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.]
4．D [由题意，得＝＝，解得a＝2或a＝8.]
5．C [对于A，事件的概率为＝；
对于B，事件的概率为＝；
对于C，事件的概率为＝；
对于D，事件的概率为＝.]
6．C [设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7－n)本，则2本都是语文课本的概率是＝.所以n2－n－12＝0，所以n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.]
7.
解析 易知P(X＝1)＝＝.
8．2或3
解析 由题意可知，X服从超几何分布，且＝，所以＝＝，所以X＝2或3.
9．解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
则P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)该同学能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．解 由题意知，从有家长督促的800名学生中用分层抽样法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从这8人中随机抽取3人，随机变量X可能的取值为－3，－1,1,3，
则P(X＝－3)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X －3 －1 1 3
P
11．A [当摇出的3个小球中有1个标有数字2,2个标有数字5时，X＝12，故P(X＝12)＝＝.]
12．C [设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝5，于是中奖的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋≈0.103.]
13．C [由题意，知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2，
故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.]
14.
解析 根据题意，r＝1，n＝3，M＝2，N＝10，所以H(1；3,2,10)＝P(ξ＝1)＝＝.
15．15
解析 用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.
16．解 (1)设事件A为“从10名同学中随机选取1名同学，该名同学的专业为数学”．
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
则P(A)＝＝，解得m＝3.
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则事件B包含两种情况：一是从数学专业的3人中选1人，再从剩下的三个专业中选2人，有CC种方法，二是选出除数学外的3个专业的3人，有1种选法，
所以P(B)＝＝.
(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的取值范围为{0,1,2,3}．
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P人教A版高中数学选择性必修三7.4.2第2课时-超几何分布的综合问题-同步练习
1．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是( )
A．n B.
C. D.
2．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
3．(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( )
A．随机变量X服从超几何分布
B．随机变量X服从二项分布
C．P(X＝2)＝
D．E(X)＝
4．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )
A. B.
C．1－ D.
5．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于( )
A. B. C. D.
6.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为( )
A. B. C. D.
7．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得________分．
8．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为________．
9．从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
10．根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．
(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值；
(2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．
(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)
11．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是( )
A．E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＜D(η)
B．E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)
C．E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＞D(η)
D．E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)
12．(多选)为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示．
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则( )
A．X的取值范围为{0,1,2,3}
B．P(X＝0)＝
C．P(X＝1)＝
D．E(X)＝
13．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率为________．(结果用最简分数表示)
14．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的均值为________．
15．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6，n∈N*)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着n(1≤n≤6，n∈N*)的增加，下列说法正确的是( )
A．E(ξ)增加，D(ξ)增加
B．E(ξ)增加，D(ξ)减小
C．E(ξ)减小，D(ξ)增加
D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
16．甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其均值；
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性较大？
参考答案与详细解析
1．C [设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，所以抽到的次品数的均值E(X)＝.]
2．C [设袋中白球个数为x，由题意得1－＝，
解得x＝5.X服从超几何分布，
其中P(X＝2)＝＝.]
3．ACD [由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝3，故A正确，B错误；
P(X＝2)＝＝，故C正确；
E(X)＝n·＝3×＝，故D正确．]
4．C [出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为，则出现二级品的概率为1－.]
5．D [方法一 (公式法)由题意得随机变量X服从超几何分布，且n＝2，M＝4，N＝10，
则E(X)＝＝2×＝.
方法二 由题意知，X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝.
则X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝1×＋2×＝.]
6．C [由题意可知，10个数中，1,3,5,7,9是阳数，2,4,6,8,10是阴数，
若任取3个数中有2个阳数，
则P＝＝＝，
若任取3个数中有3个阳数，
则P＝＝＝，
故这3个数中至少有2个阳数的概率P＝＋＝.]
7．1.5
解析 用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，且N＝10，M＝3，n＝5，于是E(X)＝n·＝5×＝1.5.
8．24
解析 由题意，可得X的所有可能取值为190,150,110，且P(X＝190)＝＝，P(X＝150)＝＝，P(X＝110)＝＝，
则E(X)＝190×＋150×＋110×＝158，
标准差＝＝24.
9．解 (1)根据题意，X＝0,1,2,3，又P(X＝0)＝＝，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)根据(1)中所求分布列可知，X的均值为0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．解 (1)X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，
∴p＝C×0×10＋C××9＝≈0.01<0.05.故试验方案合理．
11．A [当n＝3时，ξ的可能取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴E(ξ)＝＋2×＋3×＝2，
D(ξ)＝＋＝；
当n＝4时，η可取1,2,3,4，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，
P(η＝4)＝＝，
∴E(η)＝＋2×＋3×＋4×＝，
D(η)＝×2＋×2＋×2＋×2＝，
∴E(ξ)12．BC [X的取值范围为{0,1,2}，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.]
13.
解析 以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝2，n＝5，
所以该批产品被接收的概率为P(X≤1)＝＋＝.
14.
解析 以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，一共能画出C＝10(个)三角形，
其中钝角三角形有7个，所以X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
15．C [由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数X服从超几何分布，
X的分布列为P(X＝k)＝，
其中k∈N，k≤3且k≤n，E(X)＝＝.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的(n＋1)个球中取一球，取到红球个数为ξ.
故P(ξ＝1)＝＝＋，
随机变量ξ服从两点分布，所以E(ξ)＝P(ξ＝1)＝＋，随着n的增大，E(ξ)减小；
D(ξ)＝P(ξ＝1)·[1－P(ξ＝1)]＝－，随着n的增大，D(ξ)增大．]
16．解 (1)设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得X服从超几何分布，且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值为1,2,3，
∴P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
由题意可得Y～B，Y的可能取值为0,1,2,3，
∴P(Y＝0)＝C03＝，
P(Y＝1)＝C12＝＝，
P(Y＝2)＝C21＝＝，
P(Y＝3)＝C30＝，
∴Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)D(X)＝×(1－2)2＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，
D(Y)＝np(1－p)＝3××＝，
∵E(X)＝E(Y)，D(X)∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
