人教A版高中数学选择性必修三
8.2第3课时 指数函数模型与幂函数模型-同步练习
1.某公司对某产品做市场调查，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天的销量y(吨)的一组数据，根据这组数据制作了如图所示的统计表和散点图．
iyi iyi
0.33 10 3 0.164 100 68 350
表中t＝.
(1)根据散点图判断，＝x＋与＝x－1＋哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；
(3)若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据(2)的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？
(经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－)
2．根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2022年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2018年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5
每周人均读书时间y(小时) 1.3 2.8 5.7 8.9 13.8
现要建立y关于x的经验回归方程，有两个不同的经验回归模型可以选择，模型一＝x＋；模型二＝x2＋，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个经验回归模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的经验回归方程为＝3.1x－2.8.
(1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的经验回归方程(计算结果保留到小数点后一位)；
(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为(yi－i)2＝3.7.
参考数据：≈0.52，其中ti＝x，i＝1,2,3,4,5.
参考公式：经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－.
3．中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20 ℃)．
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
水温y/℃ 85 79 74 71 65
(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20 ℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画．
①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的经验回归方程；
②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c.
(2)你认为该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：ln 65≈4.2，ln 59≈4.1，ln 54≈4.0，ln 51≈3.9，ln 45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6，
参考公式：＝x＋，＝，＝－.
4．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
月份 1 2 3 4 5 6
广告投入量x/万元 2 4 6 8 10 12
收益y/万元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
iyi
7 30 1 464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；
②广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－.
参考答案与详细解析
1．解 (1)根据散点图可知，＝x－1＋更适合作为y关于x的经验回归方程．
(2)由t＝，得＝t＋，
所以＝＝＝5，
所以＝－＝10－5×3＝－5，
所以y关于t的经验回归方程为＝5t－5，
故y关于x的经验回归方程为＝－5.
(3)设一天的利润为W，W＝y(x－0.25)＝(x－0.25)＝6.25－5≤6.25－5×2
＝6.25－5×2×0.5＝1.25，
当且仅当x＝即x＝0.5时等号成立，
所以预计每吨定价为0.5万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是1.25万元．
2．解 (1)令t＝x2，则模型二可化为y关于t的线性经验回归方程＝t＋，则＝＝11，
＝＝6.5，
则由参考数据可得＝≈0.52≈0.5，
＝－ ＝6.5－0.52×11≈0.8，
则模型二的经验回归方程为＝0.5x2＋0.8.
(2)由模型二的经验回归方程可得，＝0.5×1＋0.8＝1.3，＝0.5×4＋0.8＝2.8，＝0.5×9＋0.8＝5.3，＝0.5×16＋0.8＝8.8，＝0.5×25＋0.8＝13.3，
∴(yi－)2＝02＋02＋0.42＋0.12＋0.52＝0.42<3.7，
故模型二的拟合效果更好．
3．解 (1)①由已知得出x与z的关系，如下表：
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
设经验回归方程＝x＋，
由题意，得＝＝2，
＝＝4，
∴(xi－)(zi－)＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，
(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10，
则＝＝＝－0.1，
＝－＝4＋0.1×2＝4.2，
则z关于x的经验回归方程为＝－0.1x＋4.2.
②由y＝kcx＋20(x≥0)，
得y－20＝kcx(x≥0)，
两边取对数得，ln(y－20)＝ln k＋xln c，
利用①的结论得，ln c＝－0.1，ln k＝4.2，
∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7.
(2)由(1)得，＝66.7×0.9x＋20(x≥0)，
令＝60，得x＝log0.90.6≈4.8.
∴该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制4.8 min后饮用，口感最佳．
4．解 (1)应该选择模型①，因为模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预测精度高．
(2)①剔除异常数据，即3月份的数据后，得
＝×(7×6－6)＝7.2，
＝×(30×6－31.8)＝29.64.
iyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44，
＝364－62＝328.
＝＝＝＝3，
＝－＝29.64－3×7.2＝8.04.
所以y关于x的经验回归方程为＝3x＋8.04.
②把x＝18代入①中所求经验回归方程，
得＝3×18＋8.04＝62.04，故预测值为62.04万元．人教A版高中数学选择性必修三
8.2第2课时 一元线性回归模型的综合问题-同步练习
1．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归方程＝x＋，对应的残差如图所示，模型误差( )
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．满足回归模型E(e)＝0的假设
C．满足回归模型D(e)＝σ2的假设
D．不满足回归模型E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据(xi，yi)．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和(yi－)2的值分别是0.98,0.80,0.12，1.36.则拟合效果最好的模型是( )
A．模型① B．模型②
C．模型③ D．模型④
3．(多选)对变量y和x的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)进行回归分析，建立回归模型，则( )
A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好
B．若由样本数据得到经验回归直线＝x＋，则其必过点(，)
C．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若y和x的样本相关系数r＝－0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sin α＋1，为将y转化为t的经验回归方程，则需作变换t等于( )
A．sin2α B．(sin α＋1)2
C．sin α＋ D．以上都不对
5．已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 m
其经验回归方程是＝0.7x＋，据此计算，样本(4,3)处的残差为－0.15，则表中m的值为( )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
6．(多选)对于表中x，y之间的一组数据：
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
甲、乙两位同学给出的拟合直线方程分别为①＝x＋1和②＝x＋，若通过分析得出②的拟合效果好，则下列分析理由正确的是( )
A．①的残差和大于②的残差和，所以②拟合效果更好
B．①的残差平方和大于②的残差平方和，所以②拟合效果更好
C．①的R2小于②的R2，所以②拟合效果更好
D．残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效果更好
7．某同学计算两个线性相关变量x与y的经验回归方程是＝－3.2x＋40，则相对应于点(11,5)的残差 (i＝yi－i)为________．
8．若一个样本的观测值与均值的差的平方和为80，残差平方和为60，决定系数R2为________．
9．某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成如图所示的散点图．光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤每亩)，记w＝ln x.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x，哪一个更适合作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；
(3)根据实际种植情况，发现上述经验回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(自然对数的底数e≈2.718 28)，大棚蔬菜亩产约为多少．
参考数据：
i i i iyi iyi
290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1
参考公式：β关于α的经验回归方程＝α＋中，＝，＝－.
10．耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表．绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为＝x＋0.88.
海水浓度xi(‰) 3 4 5 6 7
亩产量yi(吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31
残差i
(1)求，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；
(2)①完成上述残差表：
②统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，如假设R2＝0.8，就说明预报变量y的差异有80%是由解释变量x引起的．请计算决定系数R2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由海水浓度引起的？
附：残差公式＝yi－，
决定系数R2＝1－.
11．(多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2015年到2023年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x(2015年作为第1年)的函数．运用excel软件，分别选择经验回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是( )
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．三次函数回归模型的残差平方和大于线性回归模型的残差平方和
C．三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果
D．根据三次函数回归曲线可以预测2024年“年货节”期间的销售额约为1 698.719亿元
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．经验回归直线一定经过点(，)
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．在线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归模型的拟合效果越好
13．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示：
广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法正确的是( )
A．第三个样本点对应的残差3＝－1，回归模型的拟合效果一般
B．第三个样本点对应的残差3＝1，回归模型的拟合效果较好
C．销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的
D．销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的
14．已知经验回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.2)，则残差平方和是________．
15．若对于变量x，y的10组统计数据的回归模型中，计算R2＝0.95，又知残差平方和为120.55，那么(yi－)2的值为( )
A．241.1 B．245.1
C．2 411 D．2 451
16．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示：
月份 1 2 3 4
物流成本x 83 83.5 80 86.5
利润y 114 116 106 122
残差＝yi－ 0.2 0.6 1.8 －3
月份 5 6 7 8
物流成本x 89 84.5 79 86.5
利润y 132 114 m 132
残差＝yi－ －1 －4.6 －1
根据最小二乘法求得经验回归方程为＝3.2x－151.8.
(1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值8；
(2)请先求出线性回归模型＝3.2x－151.8的决定系数R2(精确到0.000 1)；若根据非线性经验回归方程y＝267.76ln x－1 069.2求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)决定系数R＝0.905 7，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？
(3)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的经验回归方程．
附1(修正前的参考数据)：
iyi＝78 880，＝56 528，
＝84，(yi－)2＝904.
附2：R2＝1－.
附3：＝＝，＝－.
参考答案与详细解析
1．D [由残差图可以看出，图中的残差点不能拟合成一条直线，且不满足D(e)＝σ2.]
2．C [对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好，故拟合效果最好的模型是模型③.]
3．BD [因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项A错误；
因为经验回归直线必过点(，)，故选项B正确；
因为决定系数R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故选项C错误；
由样本相关系数为负且接近1，则y和x之间具有很强的负线性相关关系，故选项D正确．]
4．B [因为y是关于t的经验回归方程，实际上即y是关于t的一次函数，又因为y＝(sin α＋1)2，若令t＝(sin α＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．]
5．B [由题意，样本(4,3)处的残差为－0.15，所以3.15＝0.7×4＋，所以＝0.35，由经验回归方程＝0.7x＋0.35过点(，)，且＝×(3＋4＋5＋6)＝4.5，所以可得＝0.7 ＋0.35＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，由＝×(2.5＋3＋4＋m)＝3.5，得m＝4.5.]
6．BCD [不可以根据残差和的大小来分析模型的拟合效果的好坏，故A错误；
用＝x＋1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和即残差平方和为S1＝2＋(2－2)2＋(3－3)2＋2＋2＝，用＝x＋作为拟合直线时，所得残差平方和为S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋2＋(4－4)2＋2＝.
∴S2①的R2＝1－＝，②的R2＝1－＝，
∴①的R2小于②的R2，∴②拟合效果更好，故C正确；
残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，
∴直线②拟合效果更好，故D正确．]
7．0.2
解析 因为＝－3.2x＋40.
当x＝11时，＝－3.2×11＋40＝4.8，
故＝5－4.8＝0.2.
8．0.25
解析 R2＝1－＝0.25.
9．解 (1)根据散点图，开始的点在某条直线附近，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dln x更适合作为y关于x的经验回归方程模型．
(2)因为w＝ln x．所以y＝c＋dln x为y＝c＋dw，
＝＝＝5.12，＝＝＝2.6，
＝≈3.26，＝5.12－3.26×2.6≈－3.36，
所以＝3.26w－3.36，即＝3.26ln x－3.36.
(3)当x＝e2时，＝3.26ln e2－3.36＝3.16.
所以大棚蔬菜亩产约为3.16千斤．
10．解 (1)经计算，＝5，＝0.48，
由0.48＝5＋0.88可得，＝－0.08，
当x＝8时，＝－0.08×8＋0.88＝0.24，
所以当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量约为0.24吨．
(2)①由(1)知＝－0.08x＋0.88，从而有
海水浓度xi(‰) 3 4 5 6 7
亩产量yi(吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31
残差 －0.02 0.02 0.01 0 －0.01
②R2＝1－＝1－＝≈0.98，
所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的．
11．AC [由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故选项A正确；
由散点图以及线性回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于线性回归模型的残差平方和，故选项B错误；
因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y1＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，
则当x＝10时，y1＝2 698.719(亿元)，故选项D错误．]
12．ACD [对于选项A，因为经验回归直线一定经过点(，)，故选项A正确；
对于选项B，由样本相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强可知，若两个变量负相关，其相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于－1，故选项B错误；
对于选项C，因为在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故选项C正确；
对于选项D，因为在线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明线性回归模型的拟合效果越好，故选项D正确．]
13．C [由题意得3＝7－(2.27×4－1.08)＝－1，
由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故A，B错误；
在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量的贡献率，R2≈0.96，
则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确，D错误．]
14．0.06
解析 因为＝2x＋1，
故当x＝2时，＝5，1＝－0.1，
x＝3，＝7，2＝0.1，
x＝4，＝9，3＝0.2，
则＋＋＝0.01＋0.01＋0.04＝0.06.
15．C [由题意知残差平方和(yi－i)2＝120.55，
又R2＝1－＝0.95，所以(yi－)2
＝2 411.]
16．解 (1)因为＝3.2x－151.8，＝84，所以＝3.2×84－151.8＝117，
114＋116＋106＋122＋132＋114＋m＋132＝117×8，
解得m＝100，
8月份对应的残差值8＝132－3.2×86.5＋151.8＝7.
(2)由已知公式得(yi－)2＝0.22＋0.62＋1.82＋(－3)2＋(－1)2＋(－4.6)2＋(－1)2＋72＝84.8，
R2＝1－＝1－≈0.906 2>R，
所以＝3.2x－151.8的拟合效果更好．
(3)由(1)可知，第八组数据的利润应为116(万元)，
此时iyi＝78 880－86.5×16＝77 496，
又＝56 528，＝84，
＝117－＝115，
所以＝＝＝2.7，
所以＝115－2.7×84＝－111.8，
所以重新采集数据后，经验回归方程为＝2.7x－111.8.人教A版高中数学选择性必修三
8.2第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计-同步练习
1．在线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是( )
A．Y＝bx＋a＋e是一次函数
B．因变量Y是由自变量x唯一确定的
C．因变量Y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生
D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其经验回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
3.研究两个变量x，y的相关关系，得到了7个数据，作出其散点图如图所示，对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程＝1x＋1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点3对应的数据，根据剩下的数据得到经验回归方程：＝2x＋2，样本相关系数为r2，则( )
A.1<0，2<0，－1B.1>0，2>0，－1C.1>0，2>0,0D.1>0，2>0,04．在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：
x 4 m 8 10 12
y 1 2 3 5 6
由表中数据求得y关于x的经验回归方程为＝0.65x－1.8，则(4,1)，(m,2)，(8,3)这三个样本点中与经验回归直线的竖直距离最近的点是( )
A．(4,1) B．(m,2)
C．(8,3) D．(4,1)和(m,2)
5．为了研究某班学生的听力成绩x(单位：分)与笔试成绩y(单位：分)的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现x与y之间有线性关系，设其经验回归方程为＝x＋，已知i＝400，i＝1 580，＝－1，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩约为( )
A．99 B．101 C．103 D．105
6.(多选)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 024，y2 024)是变量x和y的2 024个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论正确的是( )
A．直线l过点(，)
B．直线l过点(x1 012，y1 012)
C．x和y的样本相关系数在区间[－1,0)上
D．因为2 024是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同
7．已知经验回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则经验回归方程是___________．
8.如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为＝0.8x＋，则＝________.
9．某单位为了了解用电量y(度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温的数据如表：
气温(℃) 14 12 8 6
用电量(度) 22 26 34 38
(1)求用电量y与气温x的经验回归方程；
(2)由(1)的方程预测气温为5 ℃时，用电量的度数．
10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的经验回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：经验回归方程＝x＋中，＝，＝－.
11．(多选)已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次试验．试验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的经验回归方程为＝3x＋4.5，且＝4，又增加了2次试验，得到2个数据点(2,11)，(6,22)，根据这10个数据点重新求得经验回归方程为＝mx＋n(其中m，n∈R)，则( )
A．变量y与x正相关
B．m<3
C．n<4.5
D．经验回归直线＝mx＋n经过点(4,16.5)
12．(多选)湖北潜江素有“中国小龙虾之乡”之称，是我国小龙虾的主要产区．已知某种饲料的投放量x(单位：吨)与小龙虾的产量y(单位：吨)的统计数据如表：
投放量x(吨) 2 3 4 5 6
产量y(吨) 31 42 52 64 73
由表中的数据，得到经验回归方程为＝10.6x＋，则下列结论正确的是( )
A.＝9
B．产量y与投放量x正相关
C．经验回归直线＝10.6x＋过点(4,52.4)
D．当x＝8时，小龙虾产量的预测值是93.8
13．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知经验回归方程为＝6.3x＋6.8，下列说法正确的是( )
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 40 44
A.看不清的数据★的值为33
B．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨
C．据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨
D．经验回归直线＝6.3x＋6.8恰好经过点(4，★)
14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________．
15．已知x与y之间的几组数据如表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得经验回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的经验回归方程为＝′x＋′，则以下结论正确的是( )
A.>′，>′ B.>′，<′
C.<′，>′ D.<′，<′
16．改革开放以来，我国高等教育事业迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率．现得到某城市从2016－2020年的本科录取成绩，为了便于计算，将2016年编号为1、2017年编号为2、…、2020年编号为5，如果将每年的本科录取率记作y%，把年份对应编号1到5作为自变量，记作x，得到如下数据：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
自变量x 1 2 3 4 5
本科录取率y% 24.5% 27.5% 29% 31.5% 32.5%
(1)试建立y关于x的经验回归方程；
(2)已知该城市2021年本科录取率为35.5%,2022年本科录取率为37.4%.若|－y|≤0.5，则认为该经验回归方程精确度较高，试用2021和2022年的数据判断能否用该方程预测2023年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2023年该城市的本科录取率．
参考公式：＝ ＝ ，＝－.
参考答案与详细解析
1．C [选项A，在线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是函数关系，因此不是一次函数，故A错误；
选项B，因变量Y不是由自变量x唯一确定的，故B错误；
选项D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不能没有误差，故D错误，只有选项C成立．]
2．A [x的系数为负数，表示负相关，排除B，D；由实际意义可知x＞0，y＞0，显然C不满足．]
3．D [根据相关变量x，y的散点图知，变量x，y具有正线性相关关系，故1>0，2>0.方案一中，没剔除点3，线性相关性弱些；方案二中，剔除点3，线性相关性强些，故相关系数04．B [由表中的数据，得＝×(4＋m＋8＋10＋12)＝，＝×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4，
将代入经验回归方程，有3.4＝0.65×－1.8，解得m＝6.
所以当x＝4时，＝0.65×4－1.8＝0.8，|1－0.8|＝0.2；
当x＝6时，＝0.65×6－1.8＝2.1，|2－2.1|
＝0.1；
当x＝8时，＝0.65×8－1.8＝3.4，|3－3.4|
＝0.4.
综上，(4,1)，(m,2)，(8,3)三个样本点中，距离经验回归直线最近的点是(m,2)．]
5．C [i＝400，故＝＝20；i＝1 580，故＝＝79，
故点(20,79)在经验回归直线上，即79＝20－1，得＝4，即＝4x－1，
当x＝26时，代入计算得到＝103.]
6．AC [经验回归方程一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，故A正确，B错误；由题图可知x和y的样本相关系数在区间[－1,0)上，故C正确；不能因为2 024是偶数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数相同，故D错误．]
7.＝1.23x＋0.08
解析 经验回归直线的斜率的估计值为1.23，
即＝1.23，
又经验回归直线过定点(4,5)，
∴＝5－1.23×4＝0.08，
∴＝1.23x＋0.08.
8．1
解析 因为＝＝2，
＝＝2.6，
所以2.6＝0.8×2＋，所以＝1.
9．解 (1)由题意知，n＝4，＝10，＝30，则
＝
＝
＝－＝－2，
＝－＝30－(－2)×10＝50，
所以经验回归方程为＝－2x＋50.
(2)由(1)知，当x＝5时，＝－2×5＋50＝40，所以预测当气温是5 ℃时，用电量是40度．
10．解 (1)由题意知
n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又－102＝720－10×82＝80，
iyi－10 ＝184－10×8×2＝24，
则＝＝0.3，
＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求经验回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
11．ABD [设A(2,11)，B(6,22)，由kAB＝<3，
而8个数据点的经验回归方程中，＝3，∴0而10个数据点的′＝＝4，＝＝16.5，∴经验回归直线过定点(4,16.5)，则16.5＝4m＋n，n＝16.5－4m,012．BC [由表可知，投放量x的均值＝＝4，
小龙虾的产量y的均值＝＝52.4，
所以经验回归直线恒过定点(4,52.4)．故选项C正确；
代入经验回归方程＝10.6x＋，解得＝10，故选项A错误；
经验回归方程为＝10.6x＋10，故选项B正确；
当x＝8时，＝10.6×8＋10＝94.8，故选项D错误．]
13．D [对于A，因为＝＝4，
将＝4代入＝6.3x＋6.8，
故＝6.3×4＋6.8＝32，
∴★＝32×5－(19＋25＋40＋44)＝32，故A错误；
对于B，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故B错误；
对于C，当x＝8时，＝6.3×8＋6.8＝57.2，故C错误；
对于D，因为＝4，＝32，故＝6.3x＋6.8必经过点(4,32)，故D正确．]
14．0.5 0.53
解析 ＝＝＝0.5，
＝＝3.
由公式，得＝0.01，
从而＝－＝0.5－0.01×3＝0.47，
所以经验回归方程为＝0.47＋0.01x，
所以当x＝6时，＝0.47＋0.01×6＝0.53.
15．C [＝＝，
＝＝，
＝＝，
＝－＝－，
′＝＝2＞，′＝－2＜.]
16．解 (1)由表中数据可以计算出＝3，＝29，
则＝55，iyi＝455,52＝45,5 ＝435，
＝＝＝2，＝－＝29－2×3＝23，
故y关于x的经验回归方程为＝2x＋23.
(2)当x＝6时，＝35，|－y|＝|35－35.5|≤0.5；
当x＝7时，＝37，|－y|＝|37－37.4|≤0.5，
则该经验回归方程可用来预测2023年该城市的本科录取率，
当x＝8时，＝39，
故预测2023年该城市的本科录取率为39%.
