6.1.1．平方根
知识梳理
1．一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的__ __，也叫作a的__ __．
2．一个正数a的平方根有__ __个，它们__ __．我们用__ __表示a的正的平方根，读作“__ __”，其中a叫作__ __．这个根也叫做a的__ __，另一个负的平方根记为__ __．
3．0的平方根是__ __，0的算术平方根是__ __，＝__ __．
4．负数__ __平方根．
平方根的性质是非常容易混淆的，一定要明确其性质的准确含义．
重难突破
重难点1 平方根的运用
【典例1】 一个正数b的两个平方根分别是2a－3与5－a，
(1)求a和b的值．
(2)求5a＋b－3平方根．
正数的平方根有两个，计算时切记不要丢失其中的负的平方根．
【对点训练】
1．求下列各式中x的值：
(1)4x2＝1；(2)x2－16＝0.
2．一个正数x的两个不同的平方根分别是3m＋2与4m－9.
(1)求x和m的值；
(2)求x＋11m的平方根．
重难点2 算术平方根的运用
【典例2】 已知＝2，且＋(z－3)2＝0，求x－y＋z的算术平方根．
几个非负数的和等于0时，这几个非负数均等于0.
【对点训练】
3．已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，求3n－2m的平方根．
4．已知|2a＋b|与互为相反数．
(1)求2a－3b的平方根；
(2)解关于x的方程ax2＋4b－2＝0.
课堂10分钟
1．7的平方根是( )
A. B．±7
C．± D．－
2．算术平方根等于它本身的数( )
A．不存在 B．只有1个
C．有2个 D．有无数个
3．一个正数的两个不同的平方根为a＋3和2a－15，则这个正数是( )
A．7 B．11
C．49 D．324
4．若(a－1)2＋＝0，则(a－b)2 025＝( )
A．1 B．－1
C．0 D．－2 025
5．若m，n为实数，且|m＋1|与互为相反数，则(mn)2 025的值为__ __．
6．解答题．
(1)一个正数a的平方根是2x－4与3－x，则a是多少？
(2)已知a，b满足＋|b－|＝0，求a＋2b2的平方根．6.1.1．平方根
知识梳理
1．一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的__平方根__，也叫作a的__二次方根__．
2．一个正数a的平方根有__两__个，它们__互为相反数__．我们用____表示a的正的平方根，读作“__根号a__”，其中a叫作__被开方数__．这个根也叫做a的__算术平方根__，另一个负的平方根记为__－__．
3．0的平方根是__0__，0的算术平方根是__0__，＝__0__．
4．负数__没有__平方根．
平方根的性质是非常容易混淆的，一定要明确其性质的准确含义．
重难突破
重难点1 平方根的运用
【典例1】 一个正数b的两个平方根分别是2a－3与5－a，
(1)求a和b的值．
(2)求5a＋b－3平方根．
解：(1)因为一个正数b的两个平方根分别是2a－3与5－a，所以2a－3＋5－a＝0，
所以a＝－2，所以5－a＝5－(－2)＝7，
所以b＝(5－a)2＝72＝49；
(2)由(1)得a＝－2，b＝49，
所以5a＋b－3＝5×(－2)＋49－3＝36.
因为36的平方根为±6，
所以5a＋b－3的平方根为±6.
正数的平方根有两个，计算时切记不要丢失其中的负的平方根．
【对点训练】
1．求下列各式中x的值：
(1)4x2＝1；(2)x2－16＝0.
(1)4x2＝1，所以x2＝，所以x＝±；
(2)x2－16＝0，所以x2＝16，所以x＝±4.
2．一个正数x的两个不同的平方根分别是3m＋2与4m－9.
(1)求x和m的值；
(2)求x＋11m的平方根．
(1)由题意，可得3m＋2＋4m－9＝0，解得m＝1，
所以x＝(3×1＋2)2＝25；
(2)将x＝25，m＝1代入x＋11m中，得25＋11×1＝36.
因为36的平方根是±6，所以x＋11m的平方根是±6.
重难点2 算术平方根的运用
【典例2】 已知＝2，且＋(z－3)2＝0，求x－y＋z的算术平方根．
解：因为＝2，即x的算术平方根是2，
所以x＝4.
因为＋(z－3)2＝0，≥0，(z－3)2≥0，所以y－2z＋1＝0，z－3＝0，
所以y＝5，z＝3，所以x－y＋z＝4－5＋3＝2，
所以x－y＋z的算术平方根为.
几个非负数的和等于0时，这几个非负数均等于0.
【对点训练】
3．已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，求3n－2m的平方根．
因为(m＋2)2＋＝0，
又因为(m＋2)2≥0，≥0，
所以m＋2＝0，4－n＝0，所以m＝－2，n＝4，
所以3n－2m＝3×4－2×(－2)＝16.
因为16的平方根是±4，
所以3n－2m的平方根是±4.
4．已知|2a＋b|与互为相反数．
(1)求2a－3b的平方根；
(2)解关于x的方程ax2＋4b－2＝0.
由题意，得2a＋b＝0，3b＋12＝0，解得b＝－4，a＝2.
(1)因为2a－3b＝2×2－3×(－4)＝16，
所以2a－3b的平方根为±4.
(2)把b＝－4，a＝2代入方程，得2x2＋4×(－4)－2＝0，
即x2＝9，解得x＝±3.
课堂10分钟
1．7的平方根是( C )
A. B．±7
C．± D．－
2．算术平方根等于它本身的数( C )
A．不存在 B．只有1个
C．有2个 D．有无数个
3．一个正数的两个不同的平方根为a＋3和2a－15，则这个正数是( C )
A．7 B．11
C．49 D．324
4．若(a－1)2＋＝0，则(a－b)2 025＝( B )
A．1 B．－1
C．0 D．－2 025
5．若m，n为实数，且|m＋1|与互为相反数，则(mn)2 025的值为__－1__．
因为|m＋1|和互为相反数，所以|m＋1|＋＝0，所以m＋1＝0，n－1＝0，所以m＝－1，n＝1，所以(mn)2 025＝－1.
6．解答题．
(1)一个正数a的平方根是2x－4与3－x，则a是多少？
(2)已知a，b满足＋|b－|＝0，求a＋2b2的平方根．
(1)由题意，得2x－4＋3－x＝0，
解得x＝1，所以a＝(3－x)2＝22＝4；
(2)因为＋|b－|＝0，所以2a＋8＝0，b－＝0，
所以a＝－4，b＝，所以a＋2b2的平方根为±＝±.
