10．1 相交线 第2课时 垂直
知识梳理
1．在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相__ __，记作“AB__ __CD”，读作“AB__ __CD”，其中一条直线叫作另一条直线的__ __，它们的交点叫作__ __.
2．过一点__ __一条直线垂直于已知直线．
3．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，__ __最短．
4．直线外一点到这条直线的__ __的长度叫作点到直线的距离．
垂线的性质与点到直线的距离容易混淆，必须细微体会定义与性质的区别．
重难突破
重难点 与垂直相关的角度计算
【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O.
(1)直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
(2)若∠AOC∶∠COE＝3∶1，求∠COB的度数．
与垂直相关的角度的计算通常会借助于互余角、互补角之间的关系列式计算．
【对点训练】
1．如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝41°.
(1)求∠COE的度数．
(2)求∠EOF的度数．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD.
(1)若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
(2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明理由．
课堂10分钟
1．下列四个图形中，过点B作AC的垂线，正确的是( )
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A.55° B．45°
C．35° D．30°
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为( )
A．135° B．145°
C．150° D．125°
4．如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是( )
A.两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
5．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是__ __．
6．在图1中，已知∠1和∠1内一点P，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．
(1)按要求将图1补充完整，则∠1与∠P之间的数量关系是__ __．
(2)若点P在∠1的外部，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．请分别在图2和图3中画出符合要求的图形，(1)中的结论还成立吗？请给出证明．
(3)由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个
角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角__ __．
(4)应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数分别是__ __．10．1 相交线 第2课时 垂直
知识梳理
1．在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相__垂直__，记作“AB__⊥__CD”，读作“AB__垂直于__CD”，其中一条直线叫作另一条直线的__垂线__，它们的交点叫作__垂足__.
2．过一点__有且只有__一条直线垂直于已知直线．
3．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，__垂线段__最短．
4．直线外一点到这条直线的__垂线段__的长度叫作点到直线的距离．
垂线的性质与点到直线的距离容易混淆，必须细微体会定义与性质的区别．
重难突破
重难点 与垂直相关的角度计算
【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O.
(1)直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
(2)若∠AOC∶∠COE＝3∶1，求∠COB的度数．
解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD；
(2)因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°.因为∠AOC∶∠COE＝3∶1，所以∠AOC＝∠AOE＝×90°＝67.5°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝112.5°.
与垂直相关的角度的计算通常会借助于互余角、互补角之间的关系列式计算．
【对点训练】
1．如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝41°.
(1)求∠COE的度数．
(2)求∠EOF的度数．
(1)因为∠BOD＝41°，
所以∠AOD＝180°－∠BOD＝139°.
因为OE平分∠AOD，
所以∠DOE＝∠AOE＝∠AOD＝69.5°，所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－69.5°＝110.5°.
(2)因为OF⊥AB，
所以∠AOF＝90°.
因为∠AOE＝69.5°，
所以∠EOF＝90°－∠AOE＝90°－69.5°＝20.5°.
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD.
(1)若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
(2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明理由．
(1)因为∠FOD＝21°，∠AOE＝2∠FOD，
所以∠AOE＝42°，
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－42°＝138°.
因为OC平分∠BOE，
所以∠COE＝∠BOE＝×138°＝69°，
所以∠AOD＝180°－∠AOE－∠COE＝180°－42°－69°＝180°－111°＝69°；
(2)OE⊥OF，理由如下：
设∠FOD＝x，∠COE＝y，则∠AOE＝2x，∠BOE＝2y.
因为∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以2x＋2y＝180°，
所以x＋y＝90°，即∠DOF＋∠COE＝90°.
因为∠EOF＋∠DOF＋∠COE＝180°，
所以∠EOF＝90°，所以OE⊥OF.
课堂10分钟
1．下列四个图形中，过点B作AC的垂线，正确的是( A )
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是( A )
A.55° B．45°
C．35° D．30°
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为( C )
A．135° B．145°
C．150° D．125°
因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°，因为∠AOE＝60°，所以∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝150°，所以∠BOC＝∠AOD＝150°.
4．如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是( B )
A.两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
5．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是__12__．
6．在图1中，已知∠1和∠1内一点P，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．
(1)按要求将图1补充完整，则∠1与∠P之间的数量关系是__互补__．
(2)若点P在∠1的外部，以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．请分别在图2和图3中画出符合要求的图形，(1)中的结论还成立吗？请给出证明．
(3)由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个
角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角__相等或互补__．
(4)应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数分别是__65°，115°__．
(1)补充图形如图1，
图1
∠1与∠P之间的数量关系是∠1＋∠P＝360°－90°－90°＝180°；
即∠1与∠P互补；
(2)补充图形如图2，图3，(1)中的结论不成立，选图3证明如下.
如图3，
因为∠CON＝∠POM，∠ONC＝90°，∠OMP＝90°，
所以∠1＝∠P(等角的余角相等)，
所以∠1与∠P的关系为∠1＝∠P；
(3)如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补；
(4)不妨设∠P＞∠1.
根据题意，得∠1＋∠P＝180°，∠P－∠1＝50°，
解得∠P＝115°，∠1＝65°，
那么这两个角的度数分别是65°，115°.
