10．1 相交线 第1课时 对顶角
知识梳理
1．两边__互为反向延长线__的两个角叫作对顶角．
2．对顶角__相等__．
对顶角不是顶点相对的角，而是一种具有特殊位置关系的角．
重难突破
重难点 对顶角性质的应用
【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，射线ON在∠BOM的内部．
(1)求∠AOD的度数；
(2)若∠BOC＝4∠NOB，求∠MON的度数.
解：(1)因为OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，
所以∠AOC＝∠COM＝∠AOM＝44°，
所以∠AOD＝180°－44°＝136°；
(2)因为∠AOD＝136°，所以∠BOC＝136°.
因为∠BOC＝4∠NOB，所以∠NOB＝34°.
因为∠COM＝44°，所以∠MON＝∠BOC－∠NOB－∠COM＝136°－34°－44°＝58°.
对顶角的性质经常与邻补角等相互关联运用，对顶角的性质在中间起到桥梁的作用，沟通了已知和结论的联系．
【对点训练】
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝36°.求∠AOC的度数．
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOD＝2∠BOE＝2×36°＝72°，
所以∠AOC＝∠BOD＝72°.
2．如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB，∠1＝30°，则∠EOD是多少度？
因为∠1＋∠AOB＝180°，∠1＝30°，
所以∠AOB＝180°－30°＝150°.
因为OE平分∠AOB，
所以∠AOE＝∠BOE＝∠AOB＝×150°＝75°.
因为∠1＝∠2＝30°，
所以∠EOD＝∠2＋∠BOE＝30°＋75°＝105°.
课堂10分钟
1．下列工具中，有对顶角的是( C )
2．如图，下面的说法正确的是( B )
A．点P在直线m上
B．直线m和n相交于点O
C．∠1可以表示成∠AOB或∠O
D．射线OA和射线AO表示同一条射线
选项A，点P在直线m外，该选项错误；选项B，直线m和n相交于点O，该选项正确；选项C，∠1可以表示成∠AOB，该选项错误；选项D，射线OA和射线AO表示不同射线，该选项错误．
3．如图，在同一平面内有n条直线两两相交，当n＝2时邻补角的对数计为a1，当n＝3时邻补角的对数计为a2，当n＝4时邻补角的对数计为a3，…，以此类推，当n＝2 025时邻补角的对数计为a2 024.则＋＋＋…＋的值为( C )
A． B．
C． D．
当n＝2时邻补角的对数计为a1＝2＝1×2，当n＝3时邻补角的对数计为a2＝6＝2×3，当n＝4时邻补角的对数计为a3＝12＝3×4，…，当n＝2 025时邻补角的对数计为a2 024＝2 024×2 025，所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
4．利用如图的工具可以测得∠1的大小是__30__°.
5．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
如图所示．
6．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，OF平分∠BOE.
(1)若∠BOD＝72°，求∠BOE.
(2)若∠BOF＝2∠AOE＋15°，求∠COF.
(1)由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝72°，
由OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，得∠AOE＝∠AOC×＝27°，
由邻补角，得∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－27°＝153°.
(2)由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE＋30°.
由邻补角，得∠BOE＋∠AOE＝180°，即4∠AOE＋30°＋∠AOE＝180°，
解得∠AOE＝30°，
所以∠EOC＝50°，∠EOF＝∠BOF＝75°，
所以∠COF＝75°－50°＝25°.10．1 相交线 第1课时 对顶角
知识梳理
1．两边__ __的两个角叫作对顶角．
2．对顶角__ __．
对顶角不是顶点相对的角，而是一种具有特殊位置关系的角．
重难突破
重难点 对顶角性质的应用
【典例】 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，射线ON在∠BOM的内部．
(1)求∠AOD的度数；
(2)若∠BOC＝4∠NOB，求∠MON的度数.
对顶角的性质经常与邻补角等相互关联运用，对顶角的性质在中间起到桥梁的作用，沟通了已知和结论的联系．
【对点训练】
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝36°.求∠AOC的度数．
2．如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB，∠1＝30°，则∠EOD是多少度？
课堂10分钟
1．下列工具中，有对顶角的是( )
2．如图，下面的说法正确的是( )
A．点P在直线m上
B．直线m和n相交于点O
C．∠1可以表示成∠AOB或∠O
D．射线OA和射线AO表示同一条射线
3．如图，在同一平面内有n条直线两两相交，当n＝2时邻补角的对数计为a1，当n＝3时邻补角的对数计为a2，当n＝4时邻补角的对数计为a3，…，以此类推，当n＝2 025时邻补角的对数计为a2 024.则＋＋＋…＋的值为( )
A． B．
C． D．
4．利用如图的工具可以测得∠1的大小是__ __°.
5．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
6．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，OF平分∠BOE.
(1)若∠BOD＝72°，求∠BOE.
(2)若∠BOF＝2∠AOE＋15°，求∠COF.
