10．3 平行线的性质
知识梳理
1．两直线平行，同位角__相等__．
2．两直线平行，内错角__相等__．
3．两直线平行，同旁内角__互补__．
平行线的性质与判定极其容易混淆，应用时需要细心体会．
重难突破
重难点 平行线的性质与判定的应用
【典例】 一盏可调节台灯的示意图如图所示．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，求∠DCE的度数.
解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD.因为CD∥MN，
所以AG∥MN∥BH∥CD.
因为OA⊥MN，所以AG⊥OA，
即∠OAG＝90°.因为∠BAO＝158°，
所以∠BAG＝∠BAO－∠OAG＝68°，
所以∠ABH＝∠BAG＝68°.因为CE∥AB，BH∥CD，
所以∠ABC＋∠BCE＝180°＝∠CBH＋∠BCD，
所以∠ABH＋∠CBH＋∠BCE＝180°＝∠CBH＋∠BCE＋∠DCE，所以∠DCE＝∠ABH＝68°.
对于含有折线的几何题，通常是过折点添加平行线，作为沟通条件和结论的桥梁．
【对点训练】
1．如图，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，则∠EFD的度数是__140°__．
如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB.
因为AB∥CD，
所以FN∥EM∥CD，
所以∠MEB＝∠B＝40°，∠EFN＝∠MEF.
因为BE⊥EF，DF⊥CD，所以∠BEF＝90°，DF⊥FN，所以∠MEF＝90°－40°＝50°，所以∠EFN＝50°，所以∠EFD＝∠EFN＋∠DFN＝50°＋90°＝140°.
2．将一个含有45°的三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝20°，求∠2的度数.
如图，过直角顶点作直线l∥a.因为a∥b，所以l∥a∥b，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝90°，所以∠2＝90°－∠1＝70°.
课堂10分钟
1．如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝232°，AB∥DF，则∠2的度数为( B )
A.58° B．52°
C.75° D．62°
因为AB∥DF，所以∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝232°－180°＝52°.
2．如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠CED＝80°，则∠D的度数为( D )
A．70° B．65°
C．60° D．50°
因为AB∥CD，所以∠A＋∠C＝180°.因为∠A＝130°，所以∠C＝50°，所以∠D＝180°－∠CED－∠C＝180°－80°－50°＝50°.
3．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1－∠4＝90°；③2∠3－∠2＝180°；④∠3＋∠4＝135°.结论正确的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF，故①正确，符合题意；因为AE平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠1.因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠2＝180°，所以2∠1＋∠2＝180°(1).因为AC⊥CE，所以∠2＋∠4＝90°(2)，(1)－(2)，得2∠1－∠4＝90°，故②正确，符合题意；因为AB∥EF，所以∠BAE＋∠3＝180°.因为AE平分∠BAC，所以∠1＝∠BAE，所以∠1＋∠3＝180°，所以2∠1＋2∠3＝360°(3).因为2∠1＋∠2＝180°(1)，(3)－(1)，得2∠3－∠2＝180°，故③正确，符合题意；因为CD∥EF，所以∠CEF＋∠4＝180°，所以∠3＋∠AEC＋∠4＝180°.因为AC⊥CE，所以∠1＋∠AEC＝90°，所以∠AEC＝90°－∠1，所以∠3＋∠4－∠1＝90°.因为2∠1－∠4＝90°，所以∠1＝45°＋∠4，所以∠3＋∠4＝135°，故④错误，不符合题意，故符合题意的有①②③.
4．如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为__109°__.
因为∠1＝71°，所以∠3＝180°－71°＝109°.因为a∥b，所以∠2＝∠3＝109°.
5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于点E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G，∠DFA＝∠A.试说明：DE平分∠CDF.
因为DE∥AB，
所以∠A＝∠CDE，∠BFG＝∠EDG.
因为∠DFA＝∠A，∠DFA＝∠BFG，
所以∠CDE＝∠EDG，所以DE平分∠CDF.
6．已知：如图，直线AB∥CD∥EF，根据图形直接写出∠ABD，∠BDE，∠DEF之间满足的等量关系并说明理由．
∠ABD＋∠DEF－∠BDE＝180°.理由如下：
因为AB∥CD∥EF，
所以∠ABD＋∠CDB＝180°，
∠DEF＝∠CDE，
所以∠CDB＝180°－∠ABD.
因为∠CDB＋∠BDE＝∠CDE，
所以180°－∠ABD＋∠BDE＝∠DEF，
所以∠ABD＋∠DEF－∠BDE＝180°.10．3 平行线的性质
知识梳理
1．两直线平行，同位角__ __．
2．两直线平行，内错角__ __．
3．两直线平行，同旁内角__ __．
平行线的性质与判定极其容易混淆，应用时需要细心体会．
重难突破
重难点 平行线的性质与判定的应用
【典例】 一盏可调节台灯的示意图如图所示．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，求∠DCE的度数.
对于含有折线的几何题，通常是过折点添加平行线，作为沟通条件和结论的桥梁．
【对点训练】
1．如图，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，则∠EFD的度数是__ __．
2．将一个含有45°的三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝20°，求∠2的度数.
课堂10分钟
1．如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝232°，AB∥DF，则∠2的度数为( )
A.58° B．52°
C.75° D．62°
2．如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠CED＝80°，则∠D的度数为( )
A．70° B．65°
C．60° D．50°
3．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1－∠4＝90°；③2∠3－∠2＝180°；④∠3＋∠4＝135°.结论正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为__ __.
5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于点E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G，∠DFA＝∠A.试说明：DE平分∠CDF.
6．已知：如图，直线AB∥CD∥EF，根据图形直接写出∠ABD，∠BDE，∠DEF之间满足的等量关系并说明理由．
