过关检测（第9章 分式）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．若是分式，则□可以是( )
A.π B．x
C．0 D．2 024
2．当x＝1时，下列分式没有意义的是( )
A．＋ B．
C． D．
3．化简的结果是( )
A． B．
C． D．
4．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式－＋－的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
5．若P＝，则下列各式的值与P的值一定相等的是( )
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是( )
A．a3m÷am＝a2m B．2a3·a2＝2a6
C．(－a2)3＝－a5 D．(－)2＝
7．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是( )
A．－＝10 B．－＝10
C．－＝10 D．－＝10
8．化简(x3y2)2·，结果正确的是( )
A．x5y B．x6y
C．x6y2 D．x7y
9．化简＋a－1的结果是( )
A．1 B．
C． D．
10．如果a－b＝3，那么代数式(－a)·的值为( )
A．－6 B．－3
C．3 D．6
11．已知当x＝－4时，分式无意义；当x＝2时，此分式的值为0，则()2·－÷的值是( )
A． B．
C． D．
12．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为M1；作差，结果记为N1(即M1＝＋，N1＝－)；第二次操作：将M1，N1作和，结果记为M2；作差，结果记为N2(即M2＝M1＋N1，N2＝M1－N1)；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①M3＝2M1；②当x＝1时，M2＋M4＋M6＋M8＝30；③在第2n(n为正整数)次操作的结果中：M2n＝，N2n＝.以上结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．已知三张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为__ __．(写出一个分式即可)
14．老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下：
整个游戏过程，__ __负责的那一步出现了错误．
15．按一定规律排列的式子：－，，－，，……第n个式子是__ __.
16．若a2＋2a－15＝0，则代数式(a＋)·的值为__ __．
三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分8分)在解答题目“已知x＝2 024，求÷·()2的值”时，小明误将x＝2 024看成了x＝2 025，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？
18．(本题满分10分)先化简(＋)·，再从－1，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．
19．(本题满分10分)阅读材料题：
已知：＝＝，求分式的值．
解：设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k；①
所以＝＝＝.②
(1)上述解题过程中，第①步运用了__ __的基本性质；
第②步中，由求得结果运用了__ __的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：＝＝，求分式的值．
20．(本题满分10分)(1)找一组不为0的数a，b，c，d，使得＝成立．由这组数值计算下面各组中两个分式的值，看看两个分式之间有什么关系．
①和；
②和(a≠b，c≠d).
(2)对于任意一组不为零的数a，b，c，d，若＝成立，(1)中各组两个分式的关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
21．(本题满分10分)如果一个正整数n的倒数可以分解成两个正整数a，b(a，b均不为n)倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为n的“最大倒分解”，这个最大的差记为：F(n)＝－，例：12的倒分解为×或×，因为－＞－，所以最大倒分解为×，所以F(12)＝－＝.
(1)填空：写出8的一种倒分解：__ __；
(2)计算F(36)的值；
(3)若3m＋6的最大倒分解为×，且F(3m＋6)＝，求m的值．
22．(本题满分12分)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
23．(本题满分12分)已知A＝m＋n，B＝m2－n2，C＝m2－2mn＋n2.
(1)若＝，求C的值；
(2)若A＝C＝5，求mn的值；
(3)在(1)的条件下，且为整数，求整数m的值．过关检测（第9章 分式）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．若是分式，则□可以是( B )
A.π B．x
C．0 D．2 024
2．当x＝1时，下列分式没有意义的是( B )
A．＋ B．
C． D．
3．化简的结果是( C )
A． B．
C． D．
4．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式－＋－的值是( D )
A．－1 B．0
C．1 D．2
5．若P＝，则下列各式的值与P的值一定相等的是( C )
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是( A )
A．a3m÷am＝a2m B．2a3·a2＝2a6
C．(－a2)3＝－a5 D．(－)2＝
7．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是( C )
A．－＝10 B．－＝10
C．－＝10 D．－＝10
8．化简(x3y2)2·，结果正确的是( D )
A．x5y B．x6y
C．x6y2 D．x7y
9．化简＋a－1的结果是( C )
A．1 B．
C． D．
10．如果a－b＝3，那么代数式(－a)·的值为( A )
A．－6 B．－3
C．3 D．6
11．已知当x＝－4时，分式无意义；当x＝2时，此分式的值为0，则()2·－÷的值是( B )
A． B．
C． D．
因为当x＝－4时，分式无意义．又当x＝2时，此分式的值为0，所以－8＋a＝0，2－b＝0，解得a＝8，b＝2，所以()2·－÷＝·－·＝－＝＝＝＝，当a＝8，b＝2时，原式＝＝.
12．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为M1；作差，结果记为N1(即M1＝＋，N1＝－)；第二次操作：将M1，N1作和，结果记为M2；作差，结果记为N2(即M2＝M1＋N1，N2＝M1－N1)；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①M3＝2M1；②当x＝1时，M2＋M4＋M6＋M8＝30；③在第2n(n为正整数)次操作的结果中：M2n＝，N2n＝.以上结论正确的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
由题意，得M1＝＋＝，N1＝－＝，M2＝M1＋N1＝＋＝，N2＝M1－N1＝－＝，M3＝M2＋N2＝＋＝，N3＝M2－N2＝－＝，M4＝M3＋N3＝＋＝＝，N4＝M3－N3＝－＝＝……当2n－1为奇数时(1除外)，M2n－1＝，N2n－1＝，当2n为偶数时，M2n＝，N2n＝.因为M3＝＝2·＝2M1，故①正确；当x＝1时，M2＋M4＋M6＋M8＝＋＋＋＝＝30，故②正确；由规律，知③错误．
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．已知三张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为__或__．(写出一个分式即可)
14．老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下：
整个游戏过程，__乙、丁__负责的那一步出现了错误．
÷＝·＝·＝－，所以游戏过程中，乙、丁负责的那步出现了错误．
15．按一定规律排列的式子：－，，－，，……第n个式子是__(－1)n·__.
3b，8b，15b，24b，…，分子可表示为n(n＋2)b.1，3，5，7，…分母可表示为a2n-1，则第n个式子为(－1)n·.
16．若a2＋2a－15＝0，则代数式(a＋)·的值为__15__．
原式＝·＝·＝a(a＋2)＝a2＋2a.因为a2＋2a－15＝0，所以a2＋2a＝15，则原式＝15.
三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分8分)在解答题目“已知x＝2 024，求÷·()2的值”时，小明误将x＝2 024看成了x＝2 025，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？
÷·()2＝··＝2.
因为原式结果是常数2，与x的值无关，
所以小明误将x＝2 024看成了x＝2 025，其结果仍然是正确的．
18．(本题满分10分)先化简(＋)·，再从－1，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．
(＋)·
＝·
＝·
＝.
因为当x＝－1，0，1时原分式无意义，所以x＝2，
当x＝2时，原式＝＝.
19．(本题满分10分)阅读材料题：
已知：＝＝，求分式的值．
解：设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k；①
所以＝＝＝.②
(1)上述解题过程中，第①步运用了__等式__的基本性质；
第②步中，由求得结果运用了__分式__的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：＝＝，求分式的值．
(2)设＝＝＝k，
则x＝2k，y＝3k，z＝6k，
所以＝＝＝＝，
所以分式的值为.
20．(本题满分10分)(1)找一组不为0的数a，b，c，d，使得＝成立．由这组数值计算下面各组中两个分式的值，看看两个分式之间有什么关系．
①和；
②和(a≠b，c≠d).
(2)对于任意一组不为零的数a，b，c，d，若＝成立，(1)中各组两个分式的关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
(1)举例，例如当a＝3，b＝4，c＝9，d＝12时，有＝，即＝，
则①＝＝，＝＝，
所以＝；
②＝＝－7，＝＝－7，所以＝.
(2)对于任意一组不为零的数a，b，c，d，若＝成立，(1)中各组两个分式的关系仍然成立．
证明：①因为＝，所以＋1＝＋1，所以＝；
②设＝＝k，则a＝kb，c＝kd，
所以＝＝＝，
＝＝＝，所以＝，
所以对于任意一组不为零的数a，b，c，d，若＝成立，(1)中各组两个分式的关系仍然成立．
21．(本题满分10分)如果一个正整数n的倒数可以分解成两个正整数a，b(a，b均不为n)倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为n的“最大倒分解”，这个最大的差记为：F(n)＝－，例：12的倒分解为×或×，因为－＞－，所以最大倒分解为×，所以F(12)＝－＝.
(1)填空：写出8的一种倒分解：__×__；
(2)计算F(36)的值；
(3)若3m＋6的最大倒分解为×，且F(3m＋6)＝，求m的值．
(2)因为36的倒分解为×或×或×或×，
其中最大的倒分解为×，所以F(36)＝－＝.
(3)因为3m＋6的最大倒分解为×且F(3m＋6)＝，
所以①当m＋2＞3时，－＝，解得m＝4，
经检验，m＝4是原方程的根，
但当m＝4时，3m＋6＝18，最大倒分解为×，故不合题意，舍去．
②当m＋2＜3时，－＝，解得m＝0，
经检验，m＝0是原方程的根，且符合题意，
综上可得，m的值为0.
22．(本题满分12分)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线．
根据题意，得解得
答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线．
(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m＋5)万元．
根据题意，得＝，解得m＝45，
经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意，
所以10(m＋5)＋20m－70＝10×(45＋5)＋20×45－70＝1 330.
答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备．
23．(本题满分12分)已知A＝m＋n，B＝m2－n2，C＝m2－2mn＋n2.
(1)若＝，求C的值；
(2)若A＝C＝5，求mn的值；
(3)在(1)的条件下，且为整数，求整数m的值．
(1)因为＝，所以＝，
所以＝，所以＝，所以m－n＝6，
所以C＝m2－2mn＋n2＝(m－n)2＝62＝36；
(2)因为A＝C＝5，所以m＋n＝m2－2mn＋n2＝5，
所以(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝25.①
因为m2－2mn＋n2＝5，②
所以①－②，得4mn＝20，所以mn＝5；
(3)由(1)，得m－n＝6，C＝36，
所以＝2－＝2－＝2－＝2－＝2－.
因为为整数，所以m＋n＝±1，±2，±3，±6.
当m＋n＝1，m－n＝6时，m＝3.5，n＝－2.5.因为m为整数，所以舍去；
当m＋n＝－1，m－n＝6时，m＝2.5，n＝－3.5.因为m为整数，所以舍去；
当m＋n＝2，m－n＝6时，m＝4，n＝－2，符合题意；
当m＋n＝－2，m－n＝6时，m＝2，n＝－4，符合题意；
当m＋n＝3，m－n＝6时，m＝4.5，n＝－1.5.因为m为整数，所以舍去；
当m＋n＝－3，m－n＝6时，m＝1.5，n＝－4.5.因为m为整数，所以舍去；
当m＋n＝6，m－n＝6时，m＝6，n＝0，符合题意；
当m＋n＝－6，m－n＝6时，m＝0，n＝－6，符合题意；
综上，整数m的值为4或2或6或0.
