期中检测
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．下列实数：3π，－，0，，3.141 59，0.101 001 000 1…(每两个1之间多一个0)，其中无理数的个数是( B )
A.2 B．3
C．4 D．5
2．化简代数式x(x＋3)＋(1＋x)(1－x)等于( D )
A．4 B．2x2＋3x－1
C．2x＋2 D．3x＋1
3．把一个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式的解集为( A )
A．x＜1 B．x≥1
C．x＞1 D．x≤1
4．计算(－x2y3)5÷(－x2y3)3的结果是( B )
A．－x4y6 B．x4y6
C．x2y6 D．x4y3
5．如果x＞y，且(a－1)x＜(a－1)y，那么a的取值范围是( D )
A．a≥1 B．a≤1
C．a＞1 D．a＜1
6．如果a＋3和2a－15是某个非负数的平方根，那么这个数是( D )
A．49 B．441
C．7或21 D．49或441
7．若关于x的不等式x＜m只有3个正整数解，则m的取值范围是( A )
A．3＜m≤4 B．3＜m＜4
C．3≤m≤4 D．3≤m＜4
8．若4x2－kx＋1能用完全平方公式分解因式，则k＝( C )
A．－4 B．4
C．－4或4 D．－8或8
9．把1－a2－b2－2ab分解因式，正确的分组为( A )
A．1－(a2＋b2＋2ab) B．(1－a2)－(b2－2ab)
C．(1－2ab)＋(－a2－b2) D．(1－a2－b2)－2ab
10．某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打( C )
A．9折 B．8折
C．7折 D．6折
11．定义一种新的运算：对任意的有序数对(x，y)和(m，n)都有(x，y)※(m，n)＝(x＋m，y＋n)(x，y，m，n为任意实数)，则下列说法错误的是( C )
A．若(x，y)※(m，n)＝(0，0)，则x和m互为相反数，y和n互为相反数
B．若(x，y)※(m，n)＝(x，y)，则(m，n)＝(0，0)
C．存在有序数对(x，y)，使得(x2，y2)※(1，－1)＝(0，0)
D．存在有序数对(x，y)，使得(x3，y3)※(1，－1)＝(0，0)
选项A，因为(x，y)※(m，n)＝(0，0)，所以x＋m＝0，y＋n＝0，所以x和m互为相反数，y和n互为相反数，故本选项正确，不符合题意．选项B，因为(x，y)※(m，n)＝(x，y)，所以x＋m＝x，y＋n＝y，所以m＝n＝0，则(m，n)＝(0，0)，故本选项正确，不符合题意，选项C，因为(x2，y2)※(1，－1)＝(x2＋1，y2－1)，x2＋1＞0，故本选项错误，符合题意．选项D，当x＝－1，y＝1时，满足条件，故本选项正确，不符合题意．
12．我们定义：一个整式能表示成a2＋b2(a，b是整式)的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2(x，y是整式)，所以M为“完全式”．若S＝x2＋4y2－8x＋12y＋k(x，y是整式，k为常数)为“完全式”，则k的值为( C )
A．23 B．24
C．25 D．26
S＝x2－8x＋16＋4y2＋12y＋9＋k－25＝(x－4)2＋(2y＋3)2＋k－25.因为S＝x2＋4y2－8x＋12y＋k(x，y是整式，k为常数)为“完全式”，所以k－25＝0，解得k＝25.
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“6 cm”分别对应数轴上表示实数－2和实数x的两点，若x与－2互为相反数，则数轴上原点O对应刻度尺上的数值为__3__．
14．计算(a＋2b－c)(a－2b＋c)＝__a2－4b2＋4bc－c2__．
15．若(x－3)(x＋a)＝x2＋bx－6，则2 025(a＋b)＝__2_025__．
因为(x－3)(x＋a)＝x2＋bx－6，所以x2＋ax－3x－3a＝x2＋(a－3)x－3a＝x2＋bx－6，所以a－3＝b，3a＝6，解得a＝2，b＝－1，所以a＋b＝2＋(－1)＝1，所以2 025(a＋b)＝2 0251＝2 025.
16．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b(b＜4a)，则这个长方形纸板的面积是__12a2＋6ab__．
设长方体底面的另一边长为x，则根据长方体的体积公式，可得4a2b＝abx，解得x＝4a，所以长方形纸板的长为4a＋a＋a＝6a，长方形纸板的面积＝6a×(2a＋b)＝12a2＋6ab.
三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分8分)计算：
(1)(4a2b＋6a2b2－ab2)×2ab；
(2)(x＋2)(2x－1).
(1)(4a2b＋6a2b2－ab2)×2ab
＝4a2b×2ab＋6a2b2×2ab－ab2×2ab
＝8a3b2＋12a3b3－2a2b3；
(2)(x＋2)(2x－1)＝2x2－x＋4x－2＝2x2＋3x－2.
18．(本题满分10分)已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13，求：
(1)a2＋b2的值；
(2)ab的值．
(1)因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，①
(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，②
所以①＋②，得2(a2＋b2)＝30，即a2＋b2＝15；
(2)①－②，得4ab＝4，即ab＝1.
19．(本题满分10分)已知关于x的不等式＞x－1.
(1)当m＝1时，求该不等式的正整数解；
(2)当m取何值时，该不等式有解，并求出其解集．
(1)将m＝1代入不等式，得＞x－1，
则2－x＞x－2，－x－x＞－2－2，－2x＞－4，x＜2，
所以此不等式的正整数解为1；
(2)由＞x－1，得2m－mx＞x－2，
－mx－x＞－2－2m，(m＋1)x＜2m＋2，
所以当m＋1≠0，即m≠－1时，该不等式有解．
当m＞－1时，不等式的解集为x＜2；
当m＜－1时，不等式的解集为x＞2.
20．(本题满分10分)解答下列各题：
(1)分解因式：ab＋a＋b＋1；
(2)若a，b(a＞b)都是正整数且满足ab－a－b－4＝0，求a＋b的值；
(3)若a，b为实数且满足ab－a－b－5＝0，S＝2a2＋3ab＋b2＋5a－b，求S的最小值．
(1)ab＋a＋b＋1＝(ab＋a)＋(b＋1)＝a(b＋1)＋(b＋1)＝(a＋1)(b＋1)；
(2)由题，得ab－a－b＋1＝5，即(a－1)(b－1)＝5.
因为a，b为正整数且a＞b，
所以即所以a＋b＝8；
(3)由题，得ab＝a＋b＋5，
S＝2a2＋3ab＋b2＋5a－b
＝2a2＋3a＋3b＋15＋b2＋5a－b
＝2a2＋8a＋b2＋2b＋15
＝2(a2＋4a＋4)＋(b2＋2b＋1)＋6
＝2(a＋2)2＋(b＋1)2＋6.
因为(a＋2)2≥0，(b＋1)2≥0，
所以S≥6(当且仅当a＝－2，b＝－1时取等号)，
经验证，a＝－2，b＝－1满足ab－a－b－5＝0，
综上，S的最小值为6.
21．(本题满分10分)【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图2的长方形．
请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1：__a2－b2__，图2：__a＋b__，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
(1)已知2m－n＝5，2m＋n＝11，则4m2－n2的值为__55__；
(2)计算：(x－2)(x＋2)(x2＋4)；
【拓展】计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的结果.
【探究】题图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2－b2，拼成的题图2是长为a＋b，宽为a－b的长方形，因此面积为(a＋b)(a－b)，所以有(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
【应用】(1)因为2m－n＝5，2m＋n＝11，
所以4m2－n2＝(2m－n)(2m＋n)＝55；
(2)原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16；
【拓展】原式＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)
＝(28－1)(28＋1)(216＋1)
＝(216－1)(216＋1)
＝232－1.
22．(本题满分12分)
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元．
素材2 该商店迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售(已知小明在此之前不是该商店的会员)；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 该商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A，B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个(0＜m＜40)， 若在线下商店购买，共需要__(1.6m＋291)__元； 若在线上网店购买，共需要__(1.8m＋288)__元．(均用含m的代数式表示)
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
任务1 设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，
根据题意，得解得
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元．
任务2 根据题意，得在线下商店购买，共需要35＋10×0.8m＋8×0.8(40－m)＝(1.6m＋291)(元)；
在线上网店购买，共需要10×0.9m＋8×0.9(40－m)＝(1.8m＋288)(元).
任务3 根据题意，得1.6m＋291＜1.8m＋288，解得m＞15.
又因为0＜m＜40，所以15＜m＜40.
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算.
23．(本题满分12分)定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程4x＝8和2x＋1＝－7为“活力方程”，方程2x＝6是方程x＋4＝－1的“领先方程”．
(1)若关于x的方程3x＋s＝0和方程4x－2＝x＋10是“活力方程”，求s的值.
(2)若“活力方程”的两个解分别为a，b(a＞b)，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
(3)方程2x＋7＝23是关于x的方程＝12－m的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若M＝2m＋3n－p，3m－n＋p＝4，m＋n＋p＝6，求M的取值范围．
(1)解关于x的方程3x＋s＝0，得x＝－，
解方程4x－2＝x＋10，得x＝4.
因为关于x的方程3x＋s＝0和方程4x－2＝x＋10是“活力方程”，
所以|4－(－)|＝6，解得s＝6或－30.
(2)解关于x的不等式组得
因为a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b(a＞b)为“活力方程”的两个解，
所以b＝2，a＝8，所以8＜≤9，所以＜k≤.
(3)方程2x＋7＝23的解是x＝8，关于x的方程＝12－m的解是 x＝8－m.
因为方程2x＋7＝23是关于x的方程＝12－m的“领先方程”，所以8－(8－m)＞6或(8－m)－8＞6，即m＞6或m＜－6.
因为关于x的不等式组有解且均为非负解，
即＜x≤7，所以＜7且≥0，所以3≤m＜17，
综上所述，6＜m＜17，解得
所以6＜＜17，所以40＜M＜117.期中检测
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．下列实数：3π，－，0，，3.141 59，0.101 001 000 1…(每两个1之间多一个0)，其中无理数的个数是( )
A.2 B．3
C．4 D．5
2．化简代数式x(x＋3)＋(1＋x)(1－x)等于( )
A．4 B．2x2＋3x－1
C．2x＋2 D．3x＋1
3．把一个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式的解集为( )
A．x＜1 B．x≥1
C．x＞1 D．x≤1
4．计算(－x2y3)5÷(－x2y3)3的结果是( )
A．－x4y6 B．x4y6
C．x2y6 D．x4y3
5．如果x＞y，且(a－1)x＜(a－1)y，那么a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a≤1
C．a＞1 D．a＜1
6．如果a＋3和2a－15是某个非负数的平方根，那么这个数是( )
A．49 B．441
C．7或21 D．49或441
7．若关于x的不等式x＜m只有3个正整数解，则m的取值范围是( )
A．3＜m≤4 B．3＜m＜4
C．3≤m≤4 D．3≤m＜4
8．若4x2－kx＋1能用完全平方公式分解因式，则k＝( )
A．－4 B．4
C．－4或4 D．－8或8
9．把1－a2－b2－2ab分解因式，正确的分组为( )
A．1－(a2＋b2＋2ab) B．(1－a2)－(b2－2ab)
C．(1－2ab)＋(－a2－b2) D．(1－a2－b2)－2ab
10．某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打( )
A．9折 B．8折
C．7折 D．6折
11．定义一种新的运算：对任意的有序数对(x，y)和(m，n)都有(x，y)※(m，n)＝(x＋m，y＋n)(x，y，m，n为任意实数)，则下列说法错误的是( )
A．若(x，y)※(m，n)＝(0，0)，则x和m互为相反数，y和n互为相反数
B．若(x，y)※(m，n)＝(x，y)，则(m，n)＝(0，0)
C．存在有序数对(x，y)，使得(x2，y2)※(1，－1)＝(0，0)
D．存在有序数对(x，y)，使得(x3，y3)※(1，－1)＝(0，0)
12．我们定义：一个整式能表示成a2＋b2(a，b是整式)的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2(x，y是整式)，所以M为“完全式”．若S＝x2＋4y2－8x＋12y＋k(x，y是整式，k为常数)为“完全式”，则k的值为( )
A．23 B．24
C．25 D．26
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“6 cm”分别对应数轴上表示实数－2和实数x的两点，若x与－2互为相反数，则数轴上原点O对应刻度尺上的数值为__ __．
14．计算(a＋2b－c)(a－2b＋c)＝__ __．
15．若(x－3)(x＋a)＝x2＋bx－6，则2 025(a＋b)＝__ _ __．
16．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b(b＜4a)，则这个长方形纸板的面积是__ __．
三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分8分)计算：
(1)(4a2b＋6a2b2－ab2)×2ab；
(2)(x＋2)(2x－1).
18．(本题满分10分)已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13，求：
(1)a2＋b2的值；
(2)ab的值．
19．(本题满分10分)已知关于x的不等式＞x－1.
(1)当m＝1时，求该不等式的正整数解；
(2)当m取何值时，该不等式有解，并求出其解集．
20．(本题满分10分)解答下列各题：
(1)分解因式：ab＋a＋b＋1；
(2)若a，b(a＞b)都是正整数且满足ab－a－b－4＝0，求a＋b的值；
(3)若a，b为实数且满足ab－a－b－5＝0，S＝2a2＋3ab＋b2＋5a－b，求S的最小值．
21．(本题满分10分)【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图2的长方形．
请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1：__ __，图2：__ __，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式__ __；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
(1)已知2m－n＝5，2m＋n＝11，则4m2－n2的值为__ __；
(2)计算：(x－2)(x＋2)(x2＋4)；
【拓展】计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的结果.
22．(本题满分12分)
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元．
素材2 该商店迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售(已知小明在此之前不是该商店的会员)；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 该商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A，B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个(0＜m＜40)， 若在线下商店购买，共需要__ __元； 若在线上网店购买，共需要__ __元．(均用含m的代数式表示)
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
23．(本题满分12分)定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程4x＝8和2x＋1＝－7为“活力方程”，方程2x＝6是方程x＋4＝－1的“领先方程”．
(1)若关于x的方程3x＋s＝0和方程4x－2＝x＋10是“活力方程”，求s的值.
(2)若“活力方程”的两个解分别为a，b(a＞b)，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
(3)方程2x＋7＝23是关于x的方程＝12－m的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若M＝2m＋3n－p，3m－n＋p＝4，m＋n＋p＝6，求M的取值范围．
