(共25张PPT)
第1章 三角形的证明
2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
导入新课
A
B
C
我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？
探究新知
探究
【直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理】
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
归纳总结
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
C
∵∠B = 90°，
∴∠A +∠C = 90°.
性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．
证明：在△ABC中，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
探究新知
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
A
C
B
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.
性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
证明：在△ABC中，
∠A＋∠B＋∠C＝180°.
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形．
A
C
B
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°
∴△ABC是直角三角形．
利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
如图，在△ABC 中，
∠C = 90°，BC = a，
AC = b，AB = c.
分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH.
勾股定理的证明
D
M
N
过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N.
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
D
∵EA = CA,
∠EAB =∠CAH=90°+ ∠CAB ，
AB = AH，
∴△EAB ≌△CAH（SAS）.
又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB，
S长方形AHNM = 2S△CAH，
∴b2 = S长方形AHNM.
同理 a2 = S长方形MNIB.
∴ c2 = a2 + b2.
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
D
探究新知
探究
【勾股定理及其逆定理】
问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？
问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？
已知：如图①，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形．
分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
A
B
C
图①
证明：作Rt△A′B′C′(如图②)，使∠A′＝90°，
A
B
C
图①
A′
B′
C′
图②
A′B′＝AB，A′C′＝AC，
则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
归纳总结
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
探究新知
探究
【互逆命题和互逆定理】
观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
应用举例
例1 若a，b，c能构成直角三角形，则它们的比可能为( )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶6
C．5∶12∶13 D．4∶6∶7
【分析】勾股定理逆定理的运用．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，选项C中，52＋122＝132，所以答案是C.
C
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【分析】给出△ABC是直角三角形，同时给出两边的长，我们会想到利用勾股定理来解题，再利用面积作为桥梁，求CD的长．
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，
∴由勾股定理，得
又∵S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
C
B
D
A
例3
【分析】(1)该命题的条件与结论很清楚，只要将条件与结论互换即可得逆命题，然后判断其真假；(2)此定理的条件与结论都是略写的形式，要注意写出的逆命题必须是完整的，不能简单地说成“相等是对顶角”．
解：(1)逆命题是：如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；
(2)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．这个命题是假命题，所以它不是原定理的逆定理，即原定理没有逆定理．
(1)写出命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题，并判断这个逆命题是真命题还是假命题；
(2)写出定理“对顶角相等”的逆命题，并判断其是否是原定理的逆定理．
1.填空．
(1)每个命题都是由________、________两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是__________；
(2)“对顶角相等”是______命题；“我们是小学生”是______命题；(选填“真”或“假”)
(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______________________________________________；
随堂练习
条件
结论
对顶角
相等
真
假
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等
(4)直角三角形的两个锐角__________；有两个角互余的三角形是________________；
(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：____________________________________________．
互余
直角三角形
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
2．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
144
3．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，
DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为_______．
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长.
解：∵AB∥CD，
∴ ∠BAD +∠ADC = 180°，
又∵∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，
∴∠EAD +∠ ADE = 90°，
根据勾股定理，AD2 = AE2 + DE2 = 22 + 32 = 13,
∴ AD =
课堂小结
直角三角形
角的性质
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
互逆命题与互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
概念(共20张PPT)
2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
定理：(1)直角三角形的两个锐角________；(2)有两个角互余的三角形是____________.
勾股定理：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方．
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是________三角形．
互余
直角三角形
平方和
直角
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为_________，其中一个命题称为另一个命题的________．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的________．
互逆命题
逆命题
逆定理
【例1】如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AM⊥b，垂足为点M.若∠1＝58°，则∠2＝________．
【学生解答】32°
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE的度数为________．
【学生解答】70°
直角三角形的性质
1．如图，把一块三角尺ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
C
2． 如图，货车车厢底部离地面的高度AB为1m，为了方便装卸货物，调用移动式登车桥AC.已知登车桥末端与车厢的水平距离BC为2.4m，则移动式登车桥AC的长为________．
2.6 m
直角三角形的判定
3．下列各组线段中，不能组成直角三角形的是( )
A．6，8，10 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，12，13
C
逆命题和逆定理
5．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|.该命题的逆命题是( )
A.如果a＝b，那么|a|＝|b| B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果a≠b，那么|a|≠|b| D．如果|a|≠|b|，那么a≠b
6．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是_______(选填“真”或“假”)命题．
B
真
7．(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有
( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
8． 如图是小聪参加室内攀岩活动的攀岩墙，其近似一个长方体的两个侧面，则根据所学的数学知识可以推算出，从点A攀爬到点B的最短路径为____m.
10
9． 小明和爸爸妈妈一起去露营．如图是他们搭建帐篷的部分支架示意图．在△ABC中，两根支架AB与AC从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，一根支架AD⊥BC于点D.经测量，BD＝1.6m，CD＝0.9m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．按照要求，当帐篷支架AB与AC的夹角∠BAC为直角时，帐篷符合要求．请通过计算说明他们搭建的帐篷是否符合要求．
10．如图，在四边形ACBD中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13.
(1)求AB的长；
(2)试判断△ABD的形状，并求四边形ACBD的面积．
11． 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图①中，以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(3)如图③，点A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
