(共16张PPT)
第1章 三角形的证明
2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
导入新课
填一填：
(1)判定两个三角形全等的方法有哪几种？
SSS
ASA
SAS
AAS
(2)如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由．
添加___________，利用_______证明△ACB≌△BDA，
添加________________，利用________证明△ACB≌△BDA；
添加___________，利用________证明△ACB≌△BDA.
C
D
A
B
AC＝BD
SAS
∠ABC＝∠DAB
ASA
∠C＝∠D
AAS
探究新知
探究
已知：如图，线段 a，c（a＜c），直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C =∠α，BC = a，AB = c.
a
c
a
解：作法
（1）作∠MCN = ∠α = 90°.
（2）在射线 CM 上截取 CB = a.
（3）以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A.
（4）连接 AB，得到 Rt△ABC.
M
C
N
B
A
探究新知
探究
A
C
B
A'
C'
B'
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC 中，∵∠C = 90°，
∴BC2 = AB2 – AC2（勾股定理）.
同理，B'C'2 = A'B'2 – A'C'2.
∵AB = A'B'，AC = A'C'，
∴BC = B'C'.
∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS）.
A
C
B
A'
C'
B'
归纳总结
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
应用举例
例1
【分析】根据题意可知AB＝AC，AD边共用，利用HL可证Rt△ABD≌Rt△ACD，得到BD＝CD.
B
D
C
A
如图，两条长度为12 m的绳子，一端系在旗杆的同一点上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
解：BD＝CD.
理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴BD＝CD(全等三角形的对应边相等)．
B
D
C
A
例2
【分析】先根据题意证得Rt△BAC≌Rt△EDF，得到∠B＝∠DEF，再根据∠DEF＋∠F＝90°，通过等量代换得到∠B＋∠F＝90°.
如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
解：根据题意，得
∠BAC＝∠EDF＝90°，
BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)，
∴∠B＝∠DEF(全等三角形的对应角相等)．
∵∠DEF＋∠F＝90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F＝90°.
随堂练习
1．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则直接判定△AEO≌△AFO的依据是
( )
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
B
E
A
F
C
O
A
2．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；
③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是_________．
(填序号)
①②③
1
2
E
C
D
B
N
F
A
M
3．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DEC＝90°，∠BFD＝90°.
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC.
在Rt△BFD和Rt△CED中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)，
∴AB＝AC(等角对等边)，
∴△ABC是等腰三角形．
A
F
B
D
C
E
课堂小结
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提
条件
使用
方法
斜边、直角边
在直角三角形中
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）(共19张PPT)
第2课时 直角三角形全等的判定
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可简述为“斜边、直角边”或“_________”．
判定两个直角三角形全等的方法共有5种，它们分别是“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”．
HL
【例1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是点F，E，AF＝AE.
求证：AB＝AC.
【名师点拨】先利用“HL”证明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到DF＝DE，再由“HL”证Rt△DBF≌Rt△DCE即可．
【学生解答】
证明：连接AD.
∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠DFA＝∠DEA＝90°.
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，∴DF＝DE.
∵D是BC的中点，∴DB＝DC.
在Rt△DBF和Rt△DCE中，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE(HL)，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
【例2】如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°
【学生解答】C
用“HL”证明直角三角形全等
1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A．∠A＝∠D B．AB＝CD
C．AE＝EF D．∠B＝∠C
B
2．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB的长为____．
7
3．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：Rt△ADE≌Rt△BEC.
证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形．
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
用其他方法证明直角三角形全等
4．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．两条直角边分别对应相等
B．斜边和一个锐角分别对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一直角边分别对应相等
C
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：BF＝AB.
证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.
∴∠A＝∠F.
在△FBD和△ABC中，
∴△FBD≌△ABC(AAS)，∴BF＝AB.
6． 如图是一架秋千的侧面示意图，静止时秋千位于垂线AB上．已知AB＝2.5m.在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为C和C′，C到AB的距离CD为2.2m，C′到AB的距离C′F＝AD，则点C′到地面的距离为__________．
0.3 m
7． 如图，有一个Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝_________时，才能使△ABC与△PQA全等．
5或10
8．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
解：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)；
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)，得Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
9． 在△ABC中，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OE＝OF.
(1)如图①，当点O为BC边的中点时，求证：AB＝AC；
(2)如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC时，试判断AB与AC的关系；
(3)如图③，当点O在△ABC外部，且OB＝OC时，试判断AB与AC的关系．
解：(1)∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°.
∵O为BC边的中点，∴OB＝OC.
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
(2)同(1)可证Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠OBE＝∠OCF.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBE＋∠OBC＝∠OCF＋∠OCB，
即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；
(3)解法一：同(1)可证Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠OBE＝∠OCF.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴180°－∠OBE－∠OBC＝180°－∠OCF－∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
解法二：连接AO.
在Rt△OAE和Rt△OAF中，
∴Rt△OAE≌Rt△OAF(HL)，∴AE＝AF.
同(1)可证Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)，
∴BE＝CF，∴AE－BE＝AF－CF，即AB＝AC.
