(共14张PPT)
第1章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理
导入新课
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成，
A
B
探究新知
探究
【线段垂直平分线的性质】
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．
求证：PA＝PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS)，
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．
A
B
C
M
N
P
归纳总结
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
想一想
探究新知
探究
【线段垂直平分线的判定】
已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C.
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，
∴AC＝BC，
即点P在AB的垂直平分线上．
C
A
B
P
证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．
C
A
B
P
∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
即PC⊥AB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
应用举例
例1
A
B
C
O
【分析】线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用．
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
同理，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．
如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，
且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
例2
【分析】由AD＝ AB，AB＝AC和AD＋AC＝24 cm，可求出AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.由BD＋BC＝20 cm得BC＝12 cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，由此即可求出△BEC的周长．
A
D
E
B
C
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，求△BEC的周长．
∴AD＝BD＝ AB.
∵AB＝AC，
∵AD＋AC＝24 cm，
A
D
E
B
C
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝ AC.
∴AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.
∵BD＋BC＝20 cm，
∵DE垂直平分线段AB，
∴BC＝12 cm.
∴EA＝EB，
∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).
即△BEC的周长为28 cm.
随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
A
B
E
C
D
C
2．如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB＝5，
BD＝4，则AC＝____，CD＝____，AD＝____．
A
D
B
C
5
4
3
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE为AB的垂直平分线，则∠1＝______，∠C＝______，∠3＝______，∠2＝______；若△ABC的周长为16 cm，BC＝4 cm，则AC＝______cm，△BCE的周长为______cm.
1
2
3
A
B
C
D
E
40°
70°
30°
80°
6
10
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容:
判定
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用:
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
内容:
作用:(共21张PPT)
3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其判定定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______．
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的__________上．
相等
垂直平分线
【例1】如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，则∠C＝________.
【名师点拨】由线段垂直平分线的性质得AD＝BD，可证DB＝BC，即可求出∠C.
【学生解答】78°
【例2】如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC＝BD.
求证：点P在线段CD的垂直平分线上．
【名师点拨】要证点P在CD的垂直平分线上，只要证明PC＝PD即可，因此由Rt△BPD≌Rt△APC即可得到．
【学生解答】
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA.
∵PC⊥PA，PD⊥PB，
∴∠BPD＝∠APC＝90°.
在Rt△BPD和Rt△APC中，
∴Rt△BPD≌Rt△APC(HL)，
∴PD＝PC，
∴点P在线段CD的垂直平分线上．
线段垂直平分线的性质定理
1．(2024·贵阳期中)如图，P为线段AB的垂直平分线上一点．若PB＝3cm，则PA的长为( )
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
D
2．如图，直线AD垂直平分线段BC，∠B＝50°，则∠C的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
B
3．(教材P24习题T3变式)如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE.若BC＝3.8，AC＝2.4，则△ACE的周长为________．
6.2
【变式】(2024·四川凉山州改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50cm，则AC＋BC的值为__________．
50 cm
线段垂直平分线的判定定理
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC.若BC＝4，则BD的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在线段AB的垂直平分线上．
6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP.若∠A＝50°，则∠BPC的度数为( )
A.50° B．100° C．130° D．150°
B
7． 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则AP＋BP的最小值是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
A
8． 小华和两个朋友相约去看电影，因为他们有不同购票APP上的优惠券，于是他们分开购票．如图，已知两位朋友的位置分别在A，B点(正方形网格上的每一个格点都代表影厅内的一个座位)．小华若要选一个座位C，使得C到A，B两个座位的距离相等，则在图中满足条件的位置有____处．
4
9．(2024·毕节期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC＝AD；
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF.
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
10． 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于M，N两点．
(1)若∠BAC＝100°(如图①)，求∠EAN的度数；
(2)若∠BAC＝70°(如图②)，求∠EAN的度数；
(3)若∠BAC＝α(α≠90°)，直接写出用α表示∠EAN大小的代数
式．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B.
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAN)＝∠BAC－(∠B＋∠C).
∵在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－100°＝80°，∴∠EAN＝100°－80°＝20°；
(2)∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B.
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC.
∵在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－70°＝110°，
∴∠EAN＝110°－70°＝40°；
(3)当α<90°时，∠EAN＝180°－2α；
当α>90°时，∠EAN＝2α－180°.
