(共22张PPT)
第1章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
导入新课
作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
P
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．
探究新知
探究
【三角形三条边垂直平分线的性质的证明】
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.
P
A
B
C
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
P
A
B
C
∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．
同理，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
即边AC的垂直平分线经过点P.
探究新知
探究
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
A1
D
C
B
A
a
h
( )
D
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
解：可以画出无数个三角形
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
解：已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．
C
D
A
E
B
O
F
注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形．
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？
解：如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图.
C
A
B
D
h
h
探究新知
探究
已知：如图，线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h.
a
h
尺规做出等腰三角形
作法：
（1）作线段 BC = a.
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
B
C
D
A
l
已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
做一做
A
B
C
P
解：作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
l
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.
议一议
P ●
B
A
作法：
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B.
C
D
P ●
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长
为半径作圆，相交于C、D两点.
(3)过两交点作直线 l ,此直线为
l 过P的垂线.
应用举例
例1
(1)若∠A＝35°，则∠BPC＝________；
解：∵DP垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴∠A＝∠ABP，
∴∠ABP＝35°，
∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°；
A
D
P
B
C
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P.
例1
(2)若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长为________cm.
解：∵AB＝AC＝5 cm，AC＝AP＋PC，
∴AP＋PC＝5 cm.
∵AP＝BP，
∴BP＋PC＝5 cm，
∴△PBC的周长为BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm).
A
D
P
B
C
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P.
例2
【分析】根据题意，要想将△ABC的面积四等分，需将线段BC四等分，因此在BC边上作三条垂直平分线即可．
如图，靠河边有一块三角形菜地，要分给甲、乙、丙、丁四家，为了分配合理，需要所分的面积相等，而且每家的菜地都要有靠河边的位置，便于取水浇地．你能想办法将菜地合理分配吗？(保留作图痕迹)
A
B
C
如图所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分给甲、乙、丙、丁四家等面积且都有靠河边的菜地．
A
B
C
D
E
F
解：①作线段BC的垂直平分线交BC于点E
②作线段BE的垂直平分线交BE于点D
③作线段CE的垂直平分线交CE于点F
④连接AD、AE、AF即可得到四个等底等高的三角形
随堂练习
1．P为△ABC内一点，且点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P是( )
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三个角的平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
D
2．如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
A
3．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了实现村民子女就近入学，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置.
解：作法：
①连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；
②连接BC，作线段BC的垂直平分线M′N′，MN与M′N′交于点P，点P就是所求学校的位置．
A
B
C
M
N
M′
N′
P
4. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长.
A
B
C
E
F
解：AE = BE，AF = CF. （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
∴ AE + EF + AF
= BE + EF + CF
= BC
= 2
5. 如图，已知线段 a，求作以 a 为底边、以 a 为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？
1
2
A
B
P
a
a
1
2
解：这是个等腰直角三角形
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
a
b
c
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.(共19张PPT)
第2课时 三角形三边的垂直平分线
到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点．
【例1】如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点O.
求证：点O在AC的垂直平分线上．
【名师点拨】本题只需证OA＝OC即可．
【学生解答】
证明：连接OA，OB，OC.
∵点O在AB，BC的垂直平分线上，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O在AC的垂直平分线上．
【例2】如图，已知线段a＝2cm，b＝3cm.作等腰三角形ABC，使AB＝AC，BC＝2cm，BC边上的高AD＝3cm.
【学生解答】解：如图所示：①作BC＝2cm，并作其垂直平分线MN交BC于点D；
②在DM上截取DA＝3cm；
③连接AB，AC，则△ABC即为所求．
三角形三边的垂直平分线的性质
1．(毕节期末)在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
D
2．(教材P26随堂练习变式)如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点G，则△AGE的周长等于____．
8
3．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝18°，∠PCB＝32°，求∠PAB的度数．
有关垂直平分线的几何作图
4．根据图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功确定到三角形三个顶点的距离相等的点的是( )
C
5．(遵义期中)如图．
(1)已知△ABC，其中AB＝AC，作AC的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，连接CE；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，若BC＝7，AC＝9，
则△BCE的周长为________.
解：(1)如图；
(2)16
6．已知△ABC(AC
D
7．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积为24，点E在边AC上，点F在边AB上，且EF垂直平分AC，点D是边BC的中点，点M在线段EF上移动，连接CM，DM，则△CDM的周长的最小值为____．
10
解：如图，点E即为所求；
(2)在(1)图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，那么△APE的周长是____cm.
8．(1)如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE＋EP＝AC；(保留作图痕迹，不写作法)
9
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA，OB.
(1)求证：△OBC为等腰三角形；
(2)若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数．
解：(1)∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴OC＝OA.
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF为线段AB的垂直平分线，
∴OB＝OA，∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形；
10． 如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P，连接AP，AF，AN.
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)求证：AP平分∠FAN；
(3)若∠FAN＝α，其他条件不变，
则∠FPN的度数是________．
(用含α的代数式表示)
解：(1)连接PB，PC.
∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴PA＝PB，PA＝PC，∴PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)∵PE垂直平分AB，∴PA＝PB，FA＝FB，
∴∠PAB＝∠PBA，∠FAB＝∠FBA，
∴∠PAB－∠FAB＝∠PBA－∠FBA，
即∠PAF＝∠PBF.同理，得∠PAN＝∠PCN.
由(1)，得PB＝PC，∴∠PBF＝∠PCN，
∴∠PAF＝∠PAN，即AP平分∠FAN；