(共19张PPT)
第1章 三角形的证明
4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其判定定理
导入新课
角平分线的概念
从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线
O
A
B
C
1
2
E
角平分线上的点有什么性质吗？
探究新知
探究
【角平分线的性质定理】
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
O
A
B
C
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2，OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)，
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．
用符号语言表示为：
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
归纳总结
O
A
B
C
1
2
P
D
E
∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
探究新知
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E ，且
PD = PE.
求证：OP 平分∠AOB.
O
A
B
C
1
2
P
D
E
探究
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∵ PD = PE， OP = OP，
∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）.
∴∠1 =∠2（全等三角形对应角相等）.
∴OP 平分∠AOB.
O
A
B
C
1
2
P
D
E
用符号语言表示为：
∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴点P在∠AOB的平分线上．
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
归纳总结
O
A
B
C
1
2
P
D
E
例1
【分析】已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，即可得到点D到AB的距离．
应用举例
已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，求点D到AB边的距离．
A
B
C
D
解：如图，作DE⊥AB.
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC.
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD.
∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15 cm，
∴DE＝6 cm，
∴点D到AB边的距离为6 cm.
C
A
B
D
E
∴CD＝15× ＝6(cm)，
例2
A
B
C
D
E
F
在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
【分析】先用角平分线的判定定理证得AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD＝30°，再利用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，即DE是AD的 求得DE.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.
∴在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1
2
1
2
A
B
C
D
E
F
随堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝m，AB＝n，则△ABD的面积是( )
B
A
B
C
D
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是_______．
2
A
C
D
B
3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O.
(1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC；
(2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2.
证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2，
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴OD＝OE.
∴OB＝OC；
1
2
A
B
C
E
D
O
解：(2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS)，
∴OD＝OE.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OA为∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2.
1
2
A
B
C
E
D
O
∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°.
4. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，
BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F.
求证：EB = FC.
证明：∵AD 是角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.
又∵BD = CD，
∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
A
B
D
C
F
E
课堂小结
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
角的平分线的性质
已知条件
结论
B
E
P
C
D
A
O
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
B
E
P
C
D
A
O
已知条件
结论(共20张PPT)
4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其判定定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离_________．
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的_________上．
相等
平分线
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD.
【名师点拨】只需证明△DEB≌△DCF即可．
【学生解答】
证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DC，∠C＝∠DEB＝90°.
在△DEB和△DCF中，
∴△DEB≌△DCF(SAS)，
∴BD＝FD.
【例2】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
【名师点拨】要证AD平分∠BAC，只需证明DE＝DF，此时只需证明△BDF≌△CDE即可．
【学生解答】
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，
∴DF＝DE.
又∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
角平分线的性质定理
1．(贵阳期中)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，CM＝6，则点C到射线OA的距离为( )
A.3 B．6 C．9 D．12
B
【变式】如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是( )
A．4.2 B．5.15
C．3.69 D．8
C
2．(2024·毕节期末)如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积为____．
4
角平分线的判定定理
3．如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝DE，∠ACD＝30°，则∠DCE等于( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
A
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P.小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”他这样说的依据是( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
A
5．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若点P到BC的距离是4，则AD的长为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
A
6．(毕节期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，下列结论：①DE＝DF；②D是AC的中点；③E是AB的中点；④AB＝BC＋CD.其中，正确的有( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
7．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB.若CE＝1，则EF的长为____．
2
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E.若BC＝3，求AD的长．
9．【感知】
如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
【探究】
(1)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.
求证：DB＝DC；
(2)如图③，AD平分∠BAC，BD＝DC，AC≠AB.
求证：∠ABD＋∠ACD＝180°.
证明：(1)如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠F＝90°.
∵∠EBD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠EBD＝∠FCD.
在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC(AAS)，∴DB＝DC；
(2)如图③，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，
∴∠DBE＝∠DCF.∵∠DCF＋∠ACD＝180°，
∴∠DBE＋∠ACD＝180°，
即∠ABD＋∠ACD＝180°.
