(共16张PPT)
第1章 三角形的证明
4 角平分线
第2课时 三角形三条内角平分线
导入新课
填一填：
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离_______；
(2)在一个角的内部到角的两边距离________的点在这个角的___________；
(3)三角形三边的垂直平分线相交于_______点，并且这一点到三个顶点的距离_______．
相等
相等
平分线上
一
相等
思考：三角形的三个内角平分线的特点？
三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
探究新知
探究
求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
A
B
C
P
E
F
M
D
N
求证： ∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E，
∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理：PE = PF.
∴PD = PE = PF.
∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个
角的内部，到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上），
即∠A 的平分线经过点 P.
A
B
C
P
E
F
M
D
N
探究
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表：
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于___________________ 交于_________________
钝角三角形 交于___________________
直角三角形 交于___________________
交点性质 到三角形_____________的距离相等 到三角形的_____的距离相等
三角形内一点
三角形外一点
斜边上的中点
三个顶点
三角形内一点
三边
应用举例
例1
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【分析】利用三角形角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底边长分别是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面积之比等于底边之比得出答案．
如图，△ABC的边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
B
C
A
O
C
例2
A
C
B
E
D
如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD.
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C = 90°，DE⊥AB，垂足为 E，
∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵AC = BC
∵∠C = 90°，
∴∠B = ∠BAC（等边对等角）
∴∠BDE=90°– 45°= 45°
∴BE = DE（等角对等边）.
∴∠B = ×90°=45°.
在等腰直角三角形 BDE 中，由勾股定理，得
cm，
∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm.
A
C
B
E
D
（2）证明：由（1）的求解过程可知，
Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）
∴AC = AE（全等三角形的
对应边相等）.
∵BE = DE = CD，
∴AB = AE + BE = AC + CD.
A
C
B
E
D
随堂练习
1．到三角形三边距离相等的点是( )
A．三条高的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．不能确定
C
2．如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是( )
①作射线OC；②在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内部，两弧交于点C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
A
D
O
E
B
C
C
3. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D.
求证：（1）OC = OD；
（2）OP 是 CD 的垂直平分线.
O
C
D
B
P
E
A
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
O
C
D
B
P
E
A
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
OP = OP，PC = PD，
∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）.
∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
（2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线，
∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.
O
C
D
B
P
E
A
课堂小结
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
应用：位置的选择问题.(共20张PPT)
第2课时 三角形的三条内角平分线
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离_________．
到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
相等
【例1】如图，在△ABC中，AG，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线．求证：AG，BM，CN交于一点．
【学生解答】
证明：设AG，BM交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F.
∵AG平分∠BAC，BM平分∠ABC，
∴PD＝PF，PD＝PE，∴PE＝PF，
∴点P在∠ACB的平分线CN上，
∴AG，BM，CN交于一点．
【例2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一座小亭供人们休息，要求小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．(不写作法，保留作图痕迹)
【名师点拨】若要求到三边的距离相等，根据角平分线的性质，则该点应是三角形的三条角平分线的交点，根据基本作图的方法即可完成．
【学生解答】
解：作三角形三条角平分线的交点即可．如图，点O即是小亭的中心位置．
三角形角平分线的性质
1．在三角形中，到三边距离相等的点是( )
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
C
2．(安顺期末)如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________.
2∶3∶4
3． 如图，在△ABC中，AB＋AC＝30，
BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，求图中阴影部分的面积．
三角形角平分线的应用
4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到到三角形三边的距离相等的点的图形是( )
B
5． (教材P32习题T4变式)为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在( )
A.△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条中线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
B
6．(毕节期末)如图，在锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点．I为三角形的角平分线的交点．若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x，y之间的数量关系是( )
A．x＋y＝90°
B．x－2y＝90°
C．x＋180°＝2y
D．4y－x＝360°
D
7．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，连接AO并延长交BC于点D，过点O作OH⊥BC于点H.若∠BAC＝60°，OH＝4cm，则OA的长为________．
8 cm
8． 已知：如图，M为等边三角形ABC外一点，∠AMC＝120°，AM＝CM，点N，P分别在AB，BC上．连接MP，NP，MN，PM平分∠CPN.
求证：NP＝AN＋CP.
证明：如图，过点M作MQ⊥NP于点Q.
…
请将此证明过程补充完整．
∵PM平分∠CPN，MQ⊥NP，
∴MQ＝CM＝AM.
在Rt△MAN和Rt△MQN中，
∴Rt△MAN≌Rt△MQN(HL)，
∴AN＝QN.同理可得，CP＝QP，
∴NP＝QN＋QP＝AN＋CP.
9． (教材P31随堂练习变式)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠ACB的平分线，AD，CE相交于点F.
(1)请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
∴∠MEF＝∠BAC＋∠ECA＝30°＋45°＝75°，∠ADC＝90°－∠DAC＝90°－15°＝75°.
在△FEM和△FDN中，
∴△FEM≌△FDN(AAS)，∴FE＝FD；
∴∠FEG＝∠FDZ.
在△FEG和△FDZ中，
∴△FEG≌△FDZ(AAS)，∴FE＝FD.
