考点专题训练（一） 实数
(自测时间：100分钟 分值：100分)
考点过关自测：平方根□ 算数平方根□ 立方根□ 无理数□ 实数的大小比较□ 实数与数轴□ 实数的性质□ 估算无理数的大小□ 实数的运算□ 用计算器求无理数的近似值□
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列各式中正确的是( B )
A.|－3|＝－3 B．＝2
C．＝±2 D．±＝3
2．已知(x＋2)2＝0，则x3的值等于( D )
A．8 B．2
C．－3 D．－8
3．已知5a＋2的立方根是3，4b＋1的算术平方根是3，则a＋b的平方根是( A )
A．± B．±3
C．± D．±5
4．已知(a－2)2＋|2－b|＋＝0，则下列正确的是( D )
A． B．
C． D．
5．在计算器上，按程序2nd x2 625)enter计算，显示的结果是( A )
A．25 B．±25
C．－25 D．15
6．公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示(如图)，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指( D )
A．正数 B．负数
C．有理数 D．无理数
7．下列各组数中，互为相反数的是( D )
A．－3与 B．|－3|与－
C．|－3|与3 D．－3与
8．下列说法：①负数没有立方根；②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；③一个数的算术平方根一定是正数；④(π－4)2的算术平方根是4－π，其中不正确的有( B )
A．①②④ B．①②③
C．①③④ D．②③④
9．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，则－＋＋1的平方根为( C )
A．1 B．－1
C．0 D．±1
10．实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是( B )
A．b＞－2 B．|b|＞a
C．a＋b＞0 D．a－b＜0
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示－，则点B表示的数为__－＋2__.
12．估计大小关系：__<__(填“＞”“＜”或“＝”).
13．若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为__1__．
14．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，[－2.5]＝－3.现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1.类似地，对625只需进行__四__次操作后变为1.
第一次，[]＝[]＝[25]＝25，第二次，[]＝[]＝[5]＝5，第三次，[]＝[]＝2，第四次，[]＝[]＝1，所以对625只需进行四次操作后变为1.
15．若和互为相反数，且n－3的平方根是它本身，则m＋n的立方根为__－2__.
根据题意，得7＋4m＋4－3m＝0，解得m＝－11.因为n－3的平方根是它本身，所以n－3＝0，解得n＝3，所以m＋n＝－11＋3＝－8，所以m＋n的立方根为＝－2.
16．定义：设x为实数，[x]表示不大于x的最大整数，称为x的整数部分，{x}＝x－[x]称为x的小数部分，则方程[x]－2{x}＝1的解是__x＝1或x＝2.5__．
因为[x]表示不大于x的最大整数，{x}＝x－[x]称为x的小数部分，所以0≤{x}＜1，原方程化为[x]＝1＋2{x}，则可得1＋2{x}是正整数，即可得2{x}为整数，所以{x}＝0或，①当{x}＝0时，[x]＝1，此时x＝1；②当{x}＝时，[x]＝2，此时x＝2.5；综上可得，方程[x]－2{x}＝1的解为x＝1或x＝2.5.
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)计算：
(1)－|－2|＋；
(2)－(－1)4＋()2＋－|π－4|.
(1)原式＝3－(2－)－2＝－1.
(2)原式＝－1＋3＋2－(4－π)＝π.
18．(本题满分12分)已知某个长方体的体积是1 800 cm3，它的长、宽、高的比是5∶4∶3，请问该长方体的长、宽、高是有理数还是无理数？为什么？
长、宽、高都是无理数．理由如下：
设长、宽、高分别为5x，4x，3x.由体积相等，得60x3＝1 800，解得x＝，
故长、宽、高分别为5，4，3，它们都是无理数．
19．(本题满分14分)(1)已知一个正数的平方根分别是3a＋2和a－10，b－3的立方根为－2，求4a－b的算术平方根；
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：－|1－b|＋.
(1)因为一个正数的平方根分别是3a＋2和a－10，所以3a＋2＋a－10＝0，所以a＝2.
因为b－3的立方根为－2，所以b－3＝(－2)3，
所以b＝－5，所以4a－b＝4×2－(－5)＝13，
所以4a－b的算术平方根为.
(2)由数轴可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，
所以a－1＜0，1－b＜0，所以－|1－b|＋＝1－a－(b－1)＋a＋b＝1－a－b＋1＋a＋b＝2.
20．(本题满分14分)先观察等式，再解答问题：
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)；
(3)应用上述结论，请计算的值．
(1)的结果为1；
验证：＝1＋－＝1；
(2)第n个等式的左边为，等式右边为1与的和，故等式如下：＝1＋－＝1；
(3)＝2＝2×(1)＝2×(1)＝.考点专题训练（一） 实数
(自测时间：100分钟 分值：100分)
考点过关自测：平方根□ 算数平方根□ 立方根□ 无理数□ 实数的大小比较□ 实数与数轴□ 实数的性质□ 估算无理数的大小□ 实数的运算□ 用计算器求无理数的近似值□
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列各式中正确的是( )
A.|－3|＝－3 B．＝2
C．＝±2 D．±＝3
2．已知(x＋2)2＝0，则x3的值等于( )
A．8 B．2
C．－3 D．－8
3．已知5a＋2的立方根是3，4b＋1的算术平方根是3，则a＋b的平方根是( )
A．± B．±3
C．± D．±5
4．已知(a－2)2＋|2－b|＋＝0，则下列正确的是( )
A． B．
C． D．
5．在计算器上，按程序2nd x2 625)enter计算，显示的结果是( )
A．25 B．±25
C．－25 D．15
6．公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示(如图)，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指( )
A．正数 B．负数
C．有理数 D．无理数
7．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．－3与 B．|－3|与－
C．|－3|与3 D．－3与
8．下列说法：①负数没有立方根；②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；③一个数的算术平方根一定是正数；④(π－4)2的算术平方根是4－π，其中不正确的有( )
A．①②④ B．①②③
C．①③④ D．②③④
9．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，则－＋＋1的平方根为( )
A．1 B．－1
C．0 D．±1
10．实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A．b＞－2 B．|b|＞a
C．a＋b＞0 D．a－b＜0
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示－，则点B表示的数为___.
12．估计大小关系：____(填“＞”“＜”或“＝”).
13．若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为____．
14．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，[－2.5]＝－3.现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1.类似地，对625只需进行____次操作后变为1.
15．若和互为相反数，且n－3的平方根是它本身，则m＋n的立方根为____.
16．定义：设x为实数，[x]表示不大于x的最大整数，称为x的整数部分，{x}＝x－[x]称为x的小数部分，则方程[x]－2{x}＝1的解是____．
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)计算：
(1)－|－2|＋；
(2)－(－1)4＋()2＋－|π－4|.
18．(本题满分12分)已知某个长方体的体积是1 800 cm3，它的长、宽、高的比是5∶4∶3，请问该长方体的长、宽、高是有理数还是无理数？为什么？
19．(本题满分14分)(1)已知一个正数的平方根分别是3a＋2和a－10，b－3的立方根为－2，求4a－b的算术平方根；
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：－|1－b|＋.
20．(本题满分14分)先观察等式，再解答问题：
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)；
(3)应用上述结论，请计算的值．
