考点专题训练（五） 相交线、平行线与平移
(自测时间：100分钟 分值：100分)
考点过关自测：对顶角□ 垂直□ 垂线及其性质□ 三线八角□ 平行线的判定与性质□ 平移□
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．如图，∠1与∠2是对顶角的是( )
2．如图，下列叙述不正确的是( )
A.∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同位角
C．∠2和∠4是同旁内角
D．∠2和∠3是邻补角
3．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1＋∠2＝80°，那么∠3是( )
A．140° B．110°
C．70° D．35°
4．下列选项中，过点M作直线l的垂线，三角板放置正确的是( )
5．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为( )
A．29° B．32°
C．45° D．58°
6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝7，DH＝2，平移距离为3，则阴影部分的面积为( )
A．20 B．18
C．15 D．26
因为平移距离为3，所以BE＝3.因为AB＝7，DH＝2，所以EH＝7－2＝5.因为S△ABC＝S△DEF，所以S四边形ABEH＝S阴，所以阴影部分的面积为＝×(5＋7)×3＝18.
7．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是( )
A.∠1＝∠2
B．∠4＋∠2＝180°
C．∠2＝∠3
D．∠A＝∠1
8．如图，∠1＋∠2＝180°，∠4＝80°，则∠3＝( )
A．80° B．100°
C．110° D．120°
9．将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为( )
A．100° B．105°
C．115° D．120°
10．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( )
A．155° B．125°
C．115° D．65°
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，在河堤P处建一座桥，桥身最短的是__ __，其中的道理是__ __．
12．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是__ __．
13．如图，直线a，b，c交于一点，且b⊥c，平移直线a到直线d的位置，若∠1＝25°，则∠2的度数为__ __.
14．将一副三角板按如图位置放置，有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则有AC∥DE；③若∠2＝30°，则有∠4＝∠C；④若∠2＝30°，则有AB⊥DE，其中正确的有__ __(填序号).
15．为了巩固本学期所学的有序数对和平移知识，嘉嘉和淇淇在玩游戏．嘉嘉画了一个6行6列的表格，横为行，竖为列，并填满了数字．她说出一个位置，淇淇就要根据嘉嘉的规则说出相应的数字．例如，嘉嘉说，第2行第3列，淇淇就要说出23；嘉嘉说第3行第2列，淇淇就要说出28；嘉嘉说第4行第4列，淇淇就要说出36.如果嘉嘉说第1行第4列，淇淇应该说__ __．
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，……第n次平移将长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形AnBnCnDn(n＞2)，若ABn的长度为66，则n＝__ __．
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)在如图所示的4×4方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形(图形的顶点都在正方形格纸的格点上).
(1)在图1中，将△ABC先向右平移2格，再向上平移1格得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；
(2)在图2中，线段AB与CD相交于点O，且∠AOC＝α，请画一个△CDE，使得△CDE中的一个角等于α.
18．(本题满分12分)如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD.
(1)若∠EOF＝33°，求∠AOC的度数；
(2)若∠EOF比∠AOE大12°，求∠BOF的度数．
19．(本题满分14分)如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)若∠AGE＋∠AHF＝180°，且∠BFC－30°＝2∠C，求∠B的度数．
20．(本题满分14分)【发现问题】
数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起(其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°).当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将△ACD固定不动，改变△BCE的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合．
【提出问题】
在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由．
【分析问题】
“勤奋小组”展开了激烈的讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段BE”，他画出了图2，当BE∥AC时，你能求出∠ACE的度数吗？
【解决问题】
(1)如图2，∠ACE的度数是__ __度；
(2)当BC∥DA时，画图并求出∠ACE的度数；
(3)这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况？若存在，请画图求出∠ACE的度数，并说明理由．考点专题训练（五） 相交线、平行线与平移
(自测时间：100分钟 分值：100分)
考点过关自测：对顶角□ 垂直□ 垂线及其性质□ 三线八角□ 平行线的判定与性质□ 平移□
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．如图，∠1与∠2是对顶角的是( C )
2．如图，下列叙述不正确的是( C )
A.∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同位角
C．∠2和∠4是同旁内角
D．∠2和∠3是邻补角
3．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1＋∠2＝80°，那么∠3是( A )
A．140° B．110°
C．70° D．35°
4．下列选项中，过点M作直线l的垂线，三角板放置正确的是( B )
5．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为( B )
A．29° B．32°
C．45° D．58°
6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝7，DH＝2，平移距离为3，则阴影部分的面积为( B )
A．20 B．18
C．15 D．26
因为平移距离为3，所以BE＝3.因为AB＝7，DH＝2，所以EH＝7－2＝5.因为S△ABC＝S△DEF，所以S四边形ABEH＝S阴，所以阴影部分的面积为＝×(5＋7)×3＝18.
7．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是( A )
A.∠1＝∠2
B．∠4＋∠2＝180°
C．∠2＝∠3
D．∠A＝∠1
因为∠1＝∠2，所以EF∥AB，故A符合题意；因为∠4＋∠2＝180°，所以AC∥DF，故B不符合题意；因为∠2＝∠3，所以AC∥DF，故C不符合题意；因为∠A＝∠1，所以AC∥DF，故D不符合题意．
8．如图，∠1＋∠2＝180°，∠4＝80°，则∠3＝( B )
A．80° B．100°
C．110° D．120°
如图，
因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠5＝180°，所以∠2＝∠5，所以a∥b，所以∠6＝∠4＝80°.因为∠3＋∠6＝180°，所以∠3＝180°－∠6＝100°.
9．将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为( B )
A．100° B．105°
C．115° D．120°
如图所示，由题意，得BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°，所以∠BCD＝∠EDF＝30°.因为∠BCD＋∠ACB＋∠ACE＝180°，所以30°＋45°＋∠ACE＝180°，所以∠ACE＝105°，所以∠1＝105°.
10．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( C )
A．155° B．125°
C．115° D．65°
如图，
因为支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，所以∠3＝90°.因为重力G 的方向竖直向下，所以∠α＋∠1＝90°，所以∠2＝∠1＝90°－25°＝65°.因为摩擦力F2的方向与斜面平行，所以∠β＋∠2＝180°，所以∠β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，在河堤P处建一座桥，桥身最短的是__PN__，其中的道理是__垂线段最短__．
12．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是__内错角相等，两直线平行__．
13．如图，直线a，b，c交于一点，且b⊥c，平移直线a到直线d的位置，若∠1＝25°，则∠2的度数为__65°__.
如图，
因为b⊥c，所以∠3＋∠4＝90°.因为∠1＝25°，所以∠1＝∠4＝25°，所以∠3＝90°－25°＝65°.因为平移直线a到直线d的位置，所以a∥d，所以∠2＝∠3＝65°.
14．将一副三角板按如图位置放置，有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则有AC∥DE；③若∠2＝30°，则有∠4＝∠C；④若∠2＝30°，则有AB⊥DE，其中正确的有__①②③④__(填序号).
因为∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠3，故①正确；因为∠2＝30°，所以∠1＝60°.又因为∠E＝60°，所以∠1＝∠E，所以AC∥DE，故②正确；因为∠2＝30°，根据②得到AC∥DE，所以∠4＝∠C，故③正确；因为∠2＝30°，由③知∠4＝∠C＝45°.因为∠B＝45°，所以∠B＋∠4＝90°，所以AB⊥DE，故④正确．
15．为了巩固本学期所学的有序数对和平移知识，嘉嘉和淇淇在玩游戏．嘉嘉画了一个6行6列的表格，横为行，竖为列，并填满了数字．她说出一个位置，淇淇就要根据嘉嘉的规则说出相应的数字．例如，嘉嘉说，第2行第3列，淇淇就要说出23；嘉嘉说第3行第2列，淇淇就要说出28；嘉嘉说第4行第4列，淇淇就要说出36.如果嘉嘉说第1行第4列，淇淇应该说__18__．
第2行第3列，淇淇说出23，实际上是对应数阵中的4行5列；第3行第2列，淇淇说出28，实际上是对应数阵中的5行4列；第4行第4列，淇淇说出36，实际上是对应数阵中的6行6列，因此第1行第4列，应该对应数阵中的3行6列，即对应的数是18，所以淇淇应该说18.
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，……第n次平移将长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形AnBnCnDn(n＞2)，若ABn的长度为66，则n＝__12__．
因为AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，……所以AA1＝5，A1A2＝5，A2B1＝A1B1－A1A2＝6－5＝1，所以AB1＝AA1＋A1A2＋A2B1＝5＋5＋1＝11，所以AB2的长为5＋5＋5＋1＝16；因为AB1＝2×5＋1＝11，AB2＝3×5＋1＝16，所以ABn＝(n＋1)×5＋1＝66，解得n＝12.
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)在如图所示的4×4方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形(图形的顶点都在正方形格纸的格点上).
(1)在图1中，将△ABC先向右平移2格，再向上平移1格得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；
(2)在图2中，线段AB与CD相交于点O，且∠AOC＝α，请画一个△CDE，使得△CDE中的一个角等于α.
(1)如图，△A′B′C′为所作．
(2)如图，△CDE为所作．
因为DE∥AB，
所以∠CDE＝∠AOC＝α，
所以△CDE即为所求．
18．(本题满分12分)如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD.
(1)若∠EOF＝33°，求∠AOC的度数；
(2)若∠EOF比∠AOE大12°，求∠BOF的度数．
(1)因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°，
所以∠DOF＝∠DOE－∠EOF＝57°.
因为OF平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOF＝114°，所以∠AOC＝180°－∠AOD＝66°.
(2)因为∠EOF比∠AOE大12°，所以∠EOF＝∠AOE＋12°，所以∠AOF＝∠AOE＋∠EOF＝∠AOE＋∠AOE＋12°＝2∠AOE＋12°.
因为OF平分∠AOD，所以∠DOF＝∠AOF＝2∠AOE＋12°.因为∠EOF＋∠DOF＝90°，
所以∠AOE＋12°＋2∠AOE＋12°＝90°，
解得∠AOE＝22°，所以∠AOF＝2∠AOE＋12°＝56°，
所以∠BOF＝180°－∠AOF＝124°.
19．(本题满分14分)如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)若∠AGE＋∠AHF＝180°，且∠BFC－30°＝2∠C，求∠B的度数．
(1)因为∠AGE＝∠DGC，
而∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC，
所以∠AEG＝∠DCG，所以AB∥CD；
(2)因为∠AGE＝∠DGC，而∠AGE＋∠AHF＝180°，所以∠DGC＋∠AHF＝180°，所以BF∥EC，所以∠BFC＋∠C＝180°，而∠BFC－30°＝2∠C，所以∠BFC＝2∠C＋30°，所以2∠C＋30°＋∠C＝180°，所以∠C＝50°，所以∠BFC＝130°.因为AB∥CD，所以∠B＋∠BFC＝180°，所以∠B＝50°.
20．(本题满分14分)【发现问题】
数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起(其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°).当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将△ACD固定不动，改变△BCE的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合．
【提出问题】
在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由．
【分析问题】
“勤奋小组”展开了激烈的讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段BE”，他画出了图2，当BE∥AC时，你能求出∠ACE的度数吗？
【解决问题】
(1)如图2，∠ACE的度数是__45__度；
(2)当BC∥DA时，画图并求出∠ACE的度数；
(3)这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况？若存在，请画图求出∠ACE的度数，并说明理由．
(1)因为BE∥AC，所以∠ACE＝∠E＝45°.
(2)当BC∥DA时，如图1，则∠BCD＝∠D＝30°，
所以∠ECD＝∠ECB－∠DCB＝60°，
所以∠ACE＝∠ACD－∠ECD＝30°；
图1 图2
(3)存在；
①当BE∥AD时，如图2，过点C作CF∥AD.
因为BE∥AD，CF∥AD，所以BE∥AD∥CF，
所以∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
所以∠DCE＝30°＋45°＝75°，
所以∠ACE＝90°＋75°＝165°.
②当AD∥CE时，如图3，
因为AD∥CE，所以∠DCE＝∠D＝30°，
所以∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝120°；
图3 图4
③当BE∥CD时，如图4，
因为BE∥CD，所以∠DCE＝∠E＝45°，
所以∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°；
综上分析，∠ACE的度数可能是165°，120°，135°.
