章末小结(第7章)
考点1 不等式(组)的定义
1．若x●4是不等式，则符号“●”可以是( )
A.＋ B．＝
C．÷ D．≥
2．(广西南宁月考)下列数学表达式：①－3＜0；②a＋b＜0；③x＝3；④x≥5；⑤x＋2＞y＋3.其中不等式的个数是( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则x＋1__ __6.(填“＞”或“＜”)
4．写出一个无解的一元一次不等式组为__ __.
考点2 一元一次不等式(组)的解集与解一元一次
不等式(组)
5．(广西北海模拟)现定义一种新的运算：a*b＝a2－2b，例如：3*4＝32－2×4＝1，则不等式(－2)*x≥0的解集为__ __．
6．(广西南宁月考)若2x＝8y＋16＝4z，且x＞0，y≥－1，z＜8，设b＝y＋z－x，且b为整数，求b所有可能值的和．
7．(广西百色模拟)若不等式(组)只有n个正整数解(n为自然数)，则称这个不等式(组)为n阶不等式(组).我们规定：当n＝0时，这个不等式(组)为0阶不等式(组).
例如：不等式x＋1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1)x≤2是__ __阶不等式；是__ __阶不等式组；
(2)若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围；
(3)关于x的不等式组的正整数解有a1，a2，a3，a4，…其中a1＜a2＜a3＜a4＜…，如果是(m－3)阶不等式组，且关于x的方程2x－m＝0的解是的正整数解a3，请求出m的值以及p的取值范围．
考点3 用数轴表示一元一次不等式(组)的解集
8．不等式－3(x－2)≤0的解集在数轴上表示为( )
9．(广西桂林期中)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
10．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
考点4 一元一次不等式(组)的应用
11．(广西南宁月考)如图是某市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是22 ℃，最低气温是17 ℃，设当天某一时刻的气温为t(℃)，则t的变化范围是( )
A．t＞22 B．t＜17
C．18＜t＜21 D．17≤t≤22
12．某电器超市销售A，B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1 620元
第二天 4台 10台 2 760元
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1 060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
13．(1)【阅读理解】“|a|”的几何意义是数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|＜2”可理解为__ __；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|＞2”成立，列举的a的值为__ __和__ __．
我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＜m”“|x|＞m”(m为非负数)的不等式叫作绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.
(2)【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜－1或x＞1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是－3≤x≤3.
则：①不等式|x|≥4的解集是__ __．
②不等式|x|＜2的解集是__ __．
(3)【拓展应用】解不等式|x＋1|＋|x－3|＞4，并画图说明．
14．(广西防城港月考)【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
【举例】方程x－1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x－1＝3是不等式组的“关联方程”．
【问题】
(1)方程3(x＋1)－x＝9是否是不等式组的“关联方程”？请通过计算进行说明；
(2)若关于x的方程2x－k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程－3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，请直接写出m的取值范围．章末小结(第7章)
考点1 不等式(组)的定义
1．若x●4是不等式，则符号“●”可以是( D )
A.＋ B．＝
C．÷ D．≥
2．(广西南宁月考)下列数学表达式：①－3＜0；②a＋b＜0；③x＝3；④x≥5；⑤x＋2＞y＋3.其中不等式的个数是( C )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则x＋1__＜__6.(填“＞”或“＜”)
4．写出一个无解的一元一次不等式组为__(答案不唯一)__.
考点2 一元一次不等式(组)的解集与解一元一次
不等式(组)
5．(广西北海模拟)现定义一种新的运算：a*b＝a2－2b，例如：3*4＝32－2×4＝1，则不等式(－2)*x≥0的解集为__x≤2__．
6．(广西南宁月考)若2x＝8y＋16＝4z，且x＞0，y≥－1，z＜8，设b＝y＋z－x，且b为整数，求b所有可能值的和．
因为2x＝8y＋16＝4z，所以x＝4y＋8，z＝2y＋4，
所以b＝y＋z－x＝y＋2y＋4－4y－8＝－y－4，
所以y＝－b－4.
因为x＞0，y≥－1，z＜8，所以解得－1≤y＜2，
所以－1≤－b－4＜2，解得－6＜b≤－3.
因为b为整数，所以b的值为－5或－4或－3，
所以b所有可能值的和为－5－4－3＝－12.
7．(广西百色模拟)若不等式(组)只有n个正整数解(n为自然数)，则称这个不等式(组)为n阶不等式(组).我们规定：当n＝0时，这个不等式(组)为0阶不等式(组).
例如：不等式x＋1＜6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1)x≤2是__2__阶不等式；是__1__阶不等式组；
(2)若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围；
(3)关于x的不等式组的正整数解有a1，a2，a3，a4，…其中a1＜a2＜a3＜a4＜…，如果是(m－3)阶不等式组，且关于x的方程2x－m＝0的解是的正整数解a3，请求出m的值以及p的取值范围．
(1)因为x≤2时，正整数解为1，2，
所以x≤2是2阶不等式．
由得1＜x＜3，所以有1个正整数解，
所以是1阶不等式组；
(2)解不等式组，得1≤x＜2a.
由题意，知x有4个正整数解，为1，2，3，4，
所以4＜2a≤5，解得2＜a≤2.5；
(3)由题意，得m是正整数，且p≤x＜m有(m－3)个正整数解，
所以2＜p≤3，＝5，所以m＝10.
考点3 用数轴表示一元一次不等式(组)的解集
8．不等式－3(x－2)≤0的解集在数轴上表示为( A )
去括号，得－3x＋6≤0，移项，得－3x≤－6，系数化为1，得x≥2.在数轴上表示如图所示．
9．(广西桂林期中)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( A )
解不等式①，得x≤3，解不等式②，得x＞－1，所以该不等式组的解集是－1＜x≤3，其解集在数轴上表示如图所示．
10．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
解不等式①，得x≥－2，
解不等式②，得x＜3，
所以不等式组的解集为－2≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
考点4 一元一次不等式(组)的应用
11．(广西南宁月考)如图是某市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是22 ℃，最低气温是17 ℃，设当天某一时刻的气温为t(℃)，则t的变化范围是( D )
A．t＞22 B．t＜17
C．18＜t＜21 D．17≤t≤22
12．某电器超市销售A，B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1 620元
第二天 4台 10台 2 760元
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1 060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
(1)设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元．
依题意，得解得
答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元．
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30－a)台．
依题意，得200a＋150(30－a)≤5 400，解得a≤18.
答：A种型号的电风扇最多能采购18台．
(3)依题意，得(240－200)a＋(180－150)(30－a)≥1 060，解得a≥16.
因为a≤18，所以16≤a≤18.
因为a为整数，所以a＝16，17，18.
所以共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台．
13．(1)【阅读理解】“|a|”的几何意义是数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|＜2”可理解为__数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2__；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|＞2”成立，列举的a的值为__3__和__－3__．
我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＜m”“|x|＞m”(m为非负数)的不等式叫作绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.
(2)【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜－1或x＞1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是－3≤x≤3.
则：①不等式|x|≥4的解集是__x≥4或x≤－4__．
②不等式|x|＜2的解集是__－4＜x＜4__．
(3)【拓展应用】解不等式|x＋1|＋|x－3|＞4，并画图说明．
(3)根据绝对值的几何意义，可知不等式|x＋1|＋|x－3|＞4的解集就是数轴上表示数x的点，到表示－1与3的点的距离之和大于4的所有x的值．
如图，可知不等式|x＋1|＋|x－3|＞4的解集是x＜－1或x＞3.
14．(广西防城港月考)【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
【举例】方程x－1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x－1＝3是不等式组的“关联方程”．
【问题】
(1)方程3(x＋1)－x＝9是否是不等式组的“关联方程”？请通过计算进行说明；
(2)若关于x的方程2x－k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程－3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，请直接写出m的取值范围．
(1)由3(x＋1)－x＝9，解得x＝3，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤5，
所以原不等式组的解集为1＜x≤5，
所以方程3(x＋1)－x＝9是不等式组的“关联方程”．
(2)
解不等式①，得x＞－1，
解不等式②，得x≤7，
所以原不等式组的解集为－1＜x≤7，
2x－k＝6，解得x＝.
因为关于x的方程2x－k＝6是不等式组的“关联方程”，
所以－1＜≤7，解得－8＜k≤8；
(3)由关于x的方程－3m＝0，解得x＝6m－7，
解不等式①，得x＞0，
解不等式②，得x≤3m＋1，
所以原不等式组的解集为0＜x≤3m＋1.
因为不等式组有4个整数解，
所以整数的值为1，2，3，4，
所以4≤3m＋1＜5，解得1≤m＜.
因为关于x的方程－3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”，
所以解得＜m≤，
所以m的取值范围是＜m<.
