章末小结(第8章)
考点1 整式的乘法
1.(广西来宾模拟)要使-x3(x2+ax+1)+2x4中不含有x的四次项,则a等于( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
原式=-x5-ax4-x3+2x4=-x5+(2-a)x4-x3.因为-x3(x2+ax+1)+2x4中不含有x的四次项,所以2-a=0,解得a=2.
2.若(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35,则a2+b2=( B )
A.3 B.6
C.±3 D.±6
因为(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35,所以[(a2+b2)+1][(a2+b2)-1]=35,所以(a2+b2)2-1=35,所以(a2+b2)2=36,因为a2+b2≥0,所以a2+b2=6.
3.(广西崇左期中)已知M=y2+2y+a,N=-y,P=y3+2y2-5y+2,且M·N+P的值与y无关,则a=__-5__.
M·N+P=-y(y2+2y+a)+y3+2y2-5y+2=-y3-2y2-ay+y3+2y2-5y+2=(-a-5)y+2.因为M·N+P的值与y无关,所以-a-5=0,所以a=-5.
4.解方程:2x(x-1)-x(2x+3)=15.
因为2x(x-1)-x(2x+3)=15,
所以2x2-2x-2x2-3x=15,整理,得-5x=15,解得x=-3.
5.(广西贵港模拟)计算:(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-)×(1-).
原式=(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×…×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)
=××××××…××××
=×
=.
考点2 用科学记数法表示绝对值较小的数
6.(广西防城港模拟)某绿色植物细胞的直径约为0.000 9米,将数据0.000 9米用科学记数法表示为( B )
A.0.9×10-4米 B.9×10-4米
C.9×10-3米 D.9×10-5米
7.(广西玉林期中)已知1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g.
(1)用科学记数法表示1 cm3的氢气质量;
(2)8 cm3的氢气质量为多少克?(结果用科学记数法表示)
(1)0.000 09 g=9×10-5 g;
(2)8×9×10-5=7.2×10-4(g),
答:8 cm3的氢气质量为7.2×10-4克.
考点3 零指数幂
8.若(x+3)0有意义,则x的取值范围是( D )
A.x>-3 B.x≥-3
C.x<-3 D.x≠-3
9.(广西南宁期中)如果(m-5)m=1,那么m应取( D )
A.m≤5
B.m=0
C.m=0或m=4
D.m=0或m=4或m=6
①当指数m=0时,m-5=-5≠0,(m-5)m=(-5)0=1,符合题意;②当底数m-5=1时,m=6,(m-3)m=16=1,符合题意;③当底数m-5=-1时,m=4,(m-3)m=(-1)4=1,符合题意;所以m=0或m=6或m=4.
考点4 同底数幂的除法
10.下列运算正确的是( C )
A.a2+a3=a5 B.a2·a3=a6
C.a6÷a2=a4 D.(a3)2=a9
选项A,a2+a3没有同类项,不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意;选项B,a2·a3=a5,原计算错误,故此选项不符合题意;选项C,a6÷a2=a4,计算正确,故此选项符合题意;选项D,(a3)2=a6,原计算错误,故此选项不符合题意.
11.已知2m=64,2n=16,m,n为正整数,则2m-n=__4__.
12.(广西北海模拟)已知5m=4,5n=6,25p=9.
(1)求5m+n的值;
(2)求5m-2p的值;
(3)写出m,n,p之间的数量关系.
(1)因为5m=4,5n=6,所以5m+n=5m·5n=4×6=24;
(2)因为25p=9,所以(52)p=9,所以52p=9.
又因为5m=4,所以5m-2p=5m÷52p=;
(3)因为4×9=62,所以5m×52p=(5n)2,即5m+2p=52n,所以m+2p=2n.
考点5 负整数指数幂
13.下列计算结果最接近0的是( D )
A.(-2)3 B.(-2)2
C.(-2)0 D.(-2)-1
因为(-2)3=-8,(-2)2=4,(-2)0=1,(-2)-1=-,所以|-8|=8,|4|=4,|1|=1,|-|=.因为<1<4<8,所以与0最接近,即(-2)-1的结果最接近0.
14.若多项式(x2+ax-2)与(x2+x+3b)的乘积中不含x2的项.
(1)求10a·1 000b的值;
(2)若(x+2)3=x3+mx2+nx+8,求(a+3b)m-n的值.
因为(x2+ax-2)(x2+x+3b)
=x4+x3+3bx2+ax3+ax2+3abx-2x2-2x-6b
=x4+(1+a)x3+(a+3b-2)x2+(3ab-2)x-6b.
因为多项式的乘积中不含x2的项,所以a+3b-2=0,所以a+3b=2,
(1)因为10a·1 000b=10a·103b=10a+3b=102=100;
因为(x+2)3=x3+mx2+nx+8,
所以x3+6x2+12x+8=x3+mx2+nx+8,
所以m=6,n=12,所以(a+3b)m-n=2-6=.
考点? 因式分解
15.(广西北海期中)已知a-b=3,b-c=-4,则代数式a2-ac-b(a-c)的值为( A )
A.-3 B.-4
C.-12 D.4
a2-ac-b(a-c)=a(a-c)-b(a-c)=(a-c)(a-b).因为a-b=3,b-c=-4,所以a-c=-1.当a-b=3,a-c=-1时,原式=(-1)×3=-3.
16.分解因式:x4+2x3+3x2+2x+1=__(x2+x+1)2__.
设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有解得所以原式=(x2+x+1)(x2+x+1)=(x2+x+1)2.
17.(广西防城港月考)因式分解:
(1)(2-π)0(m+n)2-9(m-n)2;
(2)(2-π)0(x2+4y2)2-16x2y2.
(1)原式=[(m+n)+3(m-n)][(m+n)-3(m-n)]=4(2m-n)(2n-m);
(2)原式=[(x2+4y2)+4xy][(x2+4y2)-4xy]=(x+2y)2(x-2y)2.
18.先阅读,再分解因式:x4+4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x+2)(x2+2x+2),按照这种方法把多项式x4+64因式分解.
x4+64=x4+16x2+64-16x2=(x2+8)2-16x2=(x2+8)2-(4x)2=(x2+8+4x)(x2+8-4x).
19.【计算】
小红计算(x-2y)2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y2时,得到的结果是x2+y2-xy,则“□”表示的数为__4__.
【发现】
小红对计算结果x2+y2-xy很感兴趣,她发现有些数A可以表示成A=x2+y2-xy(x,y为自然数)的形式,她把这类数称为“神秘数”.例如:3=22+12-2×1,19=52+32-5×3,327=192+172-19×17,…,所以3,19,327是“神秘数”.请写出两个10以内的“神秘数”(不包含3):__7__,__9(答案不唯一)__.
【探究】
小红进一步研究,发现像19,327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来,她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”.试说明所有“双奇神秘数”被4除余3.
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12,则这两个“双奇神秘数”是__19__和__7__.
【计算】因为(x-2y)2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y2
=x2-4xy+4y2+4x2-y2-2y2-x(□x-3y)
=5x2+y2-4xy-x(□x-3y)
=5x2+y2-xy-□x2
=x2+y2-xy,
所以5x2-□x2=x2,所以□=4.]
【发现】32+12-3×1=7;32+02-3×0=9.]
【探究】设两个连续奇数为(2n-1),(2n+1),其中n为正整数,
(2n+1)2+(2n-1)2-(2n+1)(2n-1)=4n2+3,
所以所有“双奇神秘数”被4除余3.
【应用】由【探究】,设第一个“双奇神秘数”为4n2+3,
第二个“双奇神秘数”为4t2+3(n,t为正整数),所以4n2+3-(4t2+3)=12,所以(n+t)(n-t)=3,所以n+t=3,n-t=1,
所以n=2,t=1,所以4×22+3=19,4×12+3=7,
故这两个“双奇神秘数”是19和7.
20.【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】求192-172的结果是8的几倍?
【证明】证明两个连续奇数2n+1与2n-1(n为整数)的平方差是8的整数倍,并且平方差等于这两个数和的2倍;
【延伸】两个连续偶数2m+2与2m(m为整数)的平方差还是8的整数倍吗?请说明理由;如果不是,将上述平方差的结果加上正整数k,使得最后的结果是8的整数倍,直接写出k的最小值.
【验证】因为192-172=(19+17)×(19-17)=36×2=72=8×9,所以(192-172)是8的9倍;
【证明】因为(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,n为整数,
所以两个连续奇数2n+1,2n-1的平方差是8的整数倍;
因为(2n+1)+(2n-1)=2n+1+2n-1=4n,
8n÷4n=2,
所以两个连续奇数2n+1,2n-1的平方差等于这两个数的和的2倍;
【延伸】两个连续偶数的平方差不是8的整数倍.理由如下:
因为两个连续的偶数分别为2m+2,2m(m为整数),
(2m+2)2-(2m)2
=(2m+2+2m)(2m+2-2m)
=4(2m+1),
所以两个连续偶数的平方差不是8的整数倍.
因为上述平方差的结果加上正整数k,使得最后的结果是8的整数倍,
即4(2m+1)+k=8m+4+k是8的整数倍,所以k的最小值是4,
所以若使得最后的结果是8的整数倍,加上的正整数k的最小值是4.章末小结(第8章)
考点1 整式的乘法
1.(广西来宾模拟)要使-x3(x2+ax+1)+2x4中不含有x的四次项,则a等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.若(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35,则a2+b2=( )
A.3 B.6
C.±3 D.±6
3.(广西崇左期中)已知M=y2+2y+a,N=-y,P=y3+2y2-5y+2,且M·N+P的值与y无关,则a=__ __.
4.解方程:2x(x-1)-x(2x+3)=15.
5.(广西贵港模拟)计算:(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-)×(1-).
考点2 用科学记数法表示绝对值较小的数
6.(广西防城港模拟)某绿色植物细胞的直径约为0.000 9米,将数据0.000 9米用科学记数法表示为( )
A.0.9×10-4米 B.9×10-4米
C.9×10-3米 D.9×10-5米
7.(广西玉林期中)已知1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g.
(1)用科学记数法表示1 cm3的氢气质量;
(2)8 cm3的氢气质量为多少克?(结果用科学记数法表示)
考点3 零指数幂
8.若(x+3)0有意义,则x的取值范围是( )
A.x>-3 B.x≥-3
C.x<-3 D.x≠-3
9.(广西南宁期中)如果(m-5)m=1,那么m应取( )
A.m≤5
B.m=0
C.m=0或m=4
D.m=0或m=4或m=6
考点4 同底数幂的除法
10.下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2·a3=a6
C.a6÷a2=a4 D.(a3)2=a9
11.已知2m=64,2n=16,m,n为正整数,则2m-n=__ __.
12.(广西北海模拟)已知5m=4,5n=6,25p=9.
(1)求5m+n的值;
(2)求5m-2p的值;
(3)写出m,n,p之间的数量关系.
考点5 负整数指数幂
13.下列计算结果最接近0的是( )
A.(-2)3 B.(-2)2
C.(-2)0 D.(-2)-1
14.若多项式(x2+ax-2)与(x2+x+3b)的乘积中不含x2的项.
(1)求10a·1 000b的值;
(2)若(x+2)3=x3+mx2+nx+8,求(a+3b)m-n的值.
考点? 因式分解
15.(广西北海期中)已知a-b=3,b-c=-4,则代数式a2-ac-b(a-c)的值为( )
A.-3 B.-4
C.-12 D.4
16.分解因式:x4+2x3+3x2+2x+1=__ __.
17.(广西防城港月考)因式分解:
(1)(2-π)0(m+n)2-9(m-n)2;
(2)(2-π)0(x2+4y2)2-16x2y2.
18.先阅读,再分解因式:x4+4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x+2)(x2+2x+2),按照这种方法把多项式x4+64因式分解.
19.【计算】
小红计算(x-2y)2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y2时,得到的结果是x2+y2-xy,则“□”表示的数为__ __.
【发现】
小红对计算结果x2+y2-xy很感兴趣,她发现有些数A可以表示成A=x2+y2-xy(x,y为自然数)的形式,她把这类数称为“神秘数”.例如:3=22+12-2×1,19=52+32-5×3,327=192+172-19×17,…,所以3,19,327是“神秘数”.请写出两个10以内的“神秘数”(不包含3):__ __,__ __.
【探究】
小红进一步研究,发现像19,327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来,她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”.试说明所有“双奇神秘数”被4除余3.
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12,则这两个“双奇神秘数”是__ __和__ __.
20.【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】求192-172的结果是8的几倍?
【证明】证明两个连续奇数2n+1与2n-1(n为整数)的平方差是8的整数倍,并且平方差等于这两个数和的2倍;
【延伸】两个连续偶数2m+2与2m(m为整数)的平方差还是8的整数倍吗?请说明理由;如果不是,将上述平方差的结果加上正整数k,使得最后的结果是8的整数倍,直接写出k的最小值.