章末小结(第8章)
考点1 整式的乘法
1．(广西来宾模拟)要使－x3(x2＋ax＋1)＋2x4中不含有x的四次项，则a等于( B )
A.1 B．2
C．3 D．4
原式＝－x5－ax4－x3＋2x4＝－x5＋(2－a)x4－x3.因为－x3(x2＋ax＋1)＋2x4中不含有x的四次项，所以2－a＝0，解得a＝2.
2．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，则a2＋b2＝( B )
A．3 B．6
C．±3 D．±6
因为(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，所以[(a2＋b2)＋1][(a2＋b2)－1]＝35，所以(a2＋b2)2－1＝35，所以(a2＋b2)2＝36，因为a2＋b2≥0，所以a2＋b2＝6.
3．(广西崇左期中)已知M＝y2＋2y＋a，N＝－y，P＝y3＋2y2－5y＋2，且M·N＋P的值与y无关，则a＝__－5__．
M·N＋P＝－y(y2＋2y＋a)＋y3＋2y2－5y＋2＝－y3－2y2－ay＋y3＋2y2－5y＋2＝(－a－5)y＋2.因为M·N＋P的值与y无关，所以－a－5＝0，所以a＝－5.
4．解方程：2x(x－1)－x(2x＋3)＝15.
因为2x(x－1)－x(2x＋3)＝15，
所以2x2－2x－2x2－3x＝15，整理，得－5x＝15，解得x＝－3.
5．(广西贵港模拟)计算：(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－).
原式＝(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×…×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)
＝××××××…××××
＝×
＝.
考点2 用科学记数法表示绝对值较小的数
6．(广西防城港模拟)某绿色植物细胞的直径约为0.000 9米，将数据0.000 9米用科学记数法表示为( B )
A．0.9×10-4米 B．9×10-4米
C．9×10-3米 D．9×10-5米
7．(广西玉林期中)已知1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g.
(1)用科学记数法表示1 cm3的氢气质量；
(2)8 cm3的氢气质量为多少克？(结果用科学记数法表示)
(1)0.000 09 g＝9×10-5 g；
(2)8×9×10-5＝7.2×10-4(g)，
答：8 cm3的氢气质量为7.2×10-4克．
考点3 零指数幂
8．若(x＋3)0有意义，则x的取值范围是( D )
A．x＞－3 B．x≥－3
C．x＜－3 D．x≠－3
9．(广西南宁期中)如果(m－5)m＝1，那么m应取( D )
A．m≤5
B．m＝0
C．m＝0或m＝4
D．m＝0或m＝4或m＝6
①当指数m＝0时，m－5＝－5≠0，(m－5)m＝(－5)0＝1，符合题意；②当底数m－5＝1时，m＝6，(m－3)m＝16＝1，符合题意；③当底数m－5＝－1时，m＝4，(m－3)m＝(－1)4＝1，符合题意；所以m＝0或m＝6或m＝4.
考点4 同底数幂的除法
10．下列运算正确的是( C )
A．a2＋a3＝a5 B．a2·a3＝a6
C．a6÷a2＝a4 D．(a3)2＝a9
选项A，a2＋a3没有同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；选项B，a2·a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；选项C，a6÷a2＝a4，计算正确，故此选项符合题意；选项D，(a3)2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
11．已知2m＝64，2n＝16，m，n为正整数，则2m－n＝__4__．
12．(广西北海模拟)已知5m＝4，5n＝6，25p＝9.
(1)求5m＋n的值；
(2)求5m-2p的值；
(3)写出m，n，p之间的数量关系．
(1)因为5m＝4，5n＝6，所以5m＋n＝5m·5n＝4×6＝24；
(2)因为25p＝9，所以(52)p＝9，所以52p＝9.
又因为5m＝4，所以5m-2p＝5m÷52p＝；
(3)因为4×9＝62，所以5m×52p＝(5n)2，即5m+2p＝52n，所以m＋2p＝2n.
考点5 负整数指数幂
13．下列计算结果最接近0的是( D )
A．(－2)3 B．(－2)2
C．(－2)0 D．(－2)-1
因为(－2)3＝－8，(－2)2＝4，(－2)0＝1，(－2)-1＝－，所以|－8|＝8，|4|＝4，|1|＝1，|－|＝.因为＜1＜4＜8，所以与0最接近，即(－2)-1的结果最接近0.
14．若多项式(x2＋ax－2)与(x2＋x＋3b)的乘积中不含x2的项．
(1)求10a·1 000b的值；
(2)若(x＋2)3＝x3＋mx2＋nx＋8，求(a＋3b)m－n的值．
因为(x2＋ax－2)(x2＋x＋3b)
＝x4＋x3＋3bx2＋ax3＋ax2＋3abx－2x2－2x－6b
＝x4＋(1＋a)x3＋(a＋3b－2)x2＋(3ab－2)x－6b.
因为多项式的乘积中不含x2的项，所以a＋3b－2＝0，所以a＋3b＝2，
(1)因为10a·1 000b＝10a·103b＝10a+3b＝102＝100；
因为(x＋2)3＝x3＋mx2＋nx＋8，
所以x3＋6x2＋12x＋8＝x3＋mx2＋nx＋8，
所以m＝6，n＝12，所以(a＋3b)m－n＝2-6＝.
考点? 因式分解
15．(广西北海期中)已知a－b＝3，b－c＝－4，则代数式a2－ac－b(a－c)的值为( A )
A．－3 B．－4
C．－12 D．4
a2－ac－b(a－c)＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－c)(a－b).因为a－b＝3，b－c＝－4，所以a－c＝－1.当a－b＝3，a－c＝－1时，原式＝(－1)×3＝－3.
16．分解因式：x4＋2x3＋3x2＋2x＋1＝__(x2＋x＋1)2__．
设原式＝(x2＋ax＋b)(x2＋cx＋d)＝x4＋(a＋c)x3＋(b＋d＋ac)x2＋(ad＋bc)x＋bd，所以有解得所以原式＝(x2＋x＋1)(x2＋x＋1)＝(x2＋x＋1)2.
17．(广西防城港月考)因式分解：
(1)(2－π)0(m＋n)2－9(m－n)2；
(2)(2－π)0(x2＋4y2)2－16x2y2.
(1)原式＝[(m＋n)＋3(m－n)][(m＋n)－3(m－n)]＝4(2m－n)(2n－m)；
(2)原式＝[(x2＋4y2)＋4xy][(x2＋4y2)－4xy]＝(x＋2y)2(x－2y)2.
18．先阅读，再分解因式：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法把多项式x4＋64因式分解．
x4＋64＝x4＋16x2＋64－16x2＝(x2＋8)2－16x2＝(x2＋8)2－(4x)2＝(x2＋8＋4x)(x2＋8－4x).
19．【计算】
小红计算(x－2y)2＋(2x－y)(2x＋y)－x(□x－3y)－2y2时，得到的结果是x2＋y2－xy，则“□”表示的数为__4__．
【发现】
小红对计算结果x2＋y2－xy很感兴趣，她发现有些数A可以表示成A＝x2＋y2－xy(x，y为自然数)的形式，她把这类数称为“神秘数”．例如：3＝22＋12－2×1，19＝52＋32－5×3，327＝192＋172－19×17，…，所以3，19，327是“神秘数”．请写出两个10以内的“神秘数”(不包含3)：__7__，__9(答案不唯一)__．
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”．试说明所有“双奇神秘数”被4除余3.
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是__19__和__7__．
【计算】因为(x－2y)2＋(2x－y)(2x＋y)－x(□x－3y)－2y2
＝x2－4xy＋4y2＋4x2－y2－2y2－x(□x－3y)
＝5x2＋y2－4xy－x(□x－3y)
＝5x2＋y2－xy－□x2
＝x2＋y2－xy，
所以5x2－□x2＝x2，所以□＝4.]
【发现】32＋12－3×1＝7；32＋02－3×0＝9.]
【探究】设两个连续奇数为(2n－1)，(2n＋1)，其中n为正整数，
(2n＋1)2＋(2n－1)2－(2n＋1)(2n－1)＝4n2＋3，
所以所有“双奇神秘数”被4除余3.
【应用】由【探究】，设第一个“双奇神秘数”为4n2＋3，
第二个“双奇神秘数”为4t2＋3(n，t为正整数)，所以4n2＋3－(4t2＋3)＝12，所以(n＋t)(n－t)＝3，所以n＋t＝3，n－t＝1，
所以n＝2，t＝1，所以4×22＋3＝19，4×12＋3＝7，
故这两个“双奇神秘数”是19和7.
20．【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】求192－172的结果是8的几倍？
【证明】证明两个连续奇数2n＋1与2n－1(n为整数)的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数2m＋2与2m(m为整数)的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值．
【验证】因为192－172＝(19＋17)×(19－17)＝36×2＝72＝8×9，所以(192－172)是8的9倍；
【证明】因为(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n，n为整数，
所以两个连续奇数2n＋1，2n－1的平方差是8的整数倍；
因为(2n＋1)＋(2n－1)＝2n＋1＋2n－1＝4n，
8n÷4n＝2，
所以两个连续奇数2n＋1，2n－1的平方差等于这两个数的和的2倍；
【延伸】两个连续偶数的平方差不是8的整数倍．理由如下：
因为两个连续的偶数分别为2m＋2，2m(m为整数)，
(2m＋2)2－(2m)2
＝(2m＋2＋2m)(2m＋2－2m)
＝4(2m＋1)，
所以两个连续偶数的平方差不是8的整数倍．
因为上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，
即4(2m＋1)＋k＝8m＋4＋k是8的整数倍，所以k的最小值是4，
所以若使得最后的结果是8的整数倍，加上的正整数k的最小值是4.章末小结(第8章)
考点1 整式的乘法
1．(广西来宾模拟)要使－x3(x2＋ax＋1)＋2x4中不含有x的四次项，则a等于( )
A.1 B．2
C．3 D．4
2．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，则a2＋b2＝( )
A．3 B．6
C．±3 D．±6
3．(广西崇左期中)已知M＝y2＋2y＋a，N＝－y，P＝y3＋2y2－5y＋2，且M·N＋P的值与y无关，则a＝__ __．
4．解方程：2x(x－1)－x(2x＋3)＝15.
5．(广西贵港模拟)计算：(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－).
考点2 用科学记数法表示绝对值较小的数
6．(广西防城港模拟)某绿色植物细胞的直径约为0.000 9米，将数据0.000 9米用科学记数法表示为( )
A．0.9×10-4米 B．9×10-4米
C．9×10-3米 D．9×10-5米
7．(广西玉林期中)已知1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g.
(1)用科学记数法表示1 cm3的氢气质量；
(2)8 cm3的氢气质量为多少克？(结果用科学记数法表示)
考点3 零指数幂
8．若(x＋3)0有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞－3 B．x≥－3
C．x＜－3 D．x≠－3
9．(广西南宁期中)如果(m－5)m＝1，那么m应取( )
A．m≤5
B．m＝0
C．m＝0或m＝4
D．m＝0或m＝4或m＝6
考点4 同底数幂的除法
10．下列运算正确的是( )
A．a2＋a3＝a5 B．a2·a3＝a6
C．a6÷a2＝a4 D．(a3)2＝a9
11．已知2m＝64，2n＝16，m，n为正整数，则2m－n＝__ __．
12．(广西北海模拟)已知5m＝4，5n＝6，25p＝9.
(1)求5m＋n的值；
(2)求5m-2p的值；
(3)写出m，n，p之间的数量关系．
考点5 负整数指数幂
13．下列计算结果最接近0的是( )
A．(－2)3 B．(－2)2
C．(－2)0 D．(－2)-1
14．若多项式(x2＋ax－2)与(x2＋x＋3b)的乘积中不含x2的项．
(1)求10a·1 000b的值；
(2)若(x＋2)3＝x3＋mx2＋nx＋8，求(a＋3b)m－n的值．
考点? 因式分解
15．(广西北海期中)已知a－b＝3，b－c＝－4，则代数式a2－ac－b(a－c)的值为( )
A．－3 B．－4
C．－12 D．4
16．分解因式：x4＋2x3＋3x2＋2x＋1＝__ __．
17．(广西防城港月考)因式分解：
(1)(2－π)0(m＋n)2－9(m－n)2；
(2)(2－π)0(x2＋4y2)2－16x2y2.
18．先阅读，再分解因式：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法把多项式x4＋64因式分解．
19．【计算】
小红计算(x－2y)2＋(2x－y)(2x＋y)－x(□x－3y)－2y2时，得到的结果是x2＋y2－xy，则“□”表示的数为__ __．
【发现】
小红对计算结果x2＋y2－xy很感兴趣，她发现有些数A可以表示成A＝x2＋y2－xy(x，y为自然数)的形式，她把这类数称为“神秘数”．例如：3＝22＋12－2×1，19＝52＋32－5×3，327＝192＋172－19×17，…，所以3，19，327是“神秘数”．请写出两个10以内的“神秘数”(不包含3)：__ __，__ __．
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”．试说明所有“双奇神秘数”被4除余3.
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是__ __和__ __．
20．【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】求192－172的结果是8的几倍？
【证明】证明两个连续奇数2n＋1与2n－1(n为整数)的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数2m＋2与2m(m为整数)的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值．
