7．2一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式及其解法
知识点1 一元一次不等式的概念
1．下列不等式中是一元一次不等式的是( )
A.x＋y<2 B．x2>3
C．－<1 D．>－3
2．若3x2a+3－9＞6是关于x的一元一次不等式，则a＝____．
知识点2 一元一次不等式的解法
3．(广西南宁期中)若关于x的方程x＋7＝a的解为正数，则实数a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a＜0
C．a＜－7 D．a＞7
4．(广西来宾模拟)下面是小明解不等式－1＜的过程：
解：去分母，得x＋5－1＜3x＋2…①
移项，得x－3x＜2－5＋1…②
合并同类项，得－2x＜－2…③
两边同时除以－2，得x＜1…④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
5．(广西玉林期中)不等式2x－7≤0的正整数解有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
6．(广西贵港模拟)不等式x＜－(－1)的最大整数解是____．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西百色期中)若定义a*b＝ab＋a＋b，从左到右依次计算x＝1*2*3…(n－1)*n，求x＞2 024的最小正整数n的值．
8．不等式－≤1的最小整数解是( )
A．0 B．－1
C．－3 D．－2
9．(广西北海期中)对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m，n)＝mn＋an－3(其中a为非零常数)；例如：f(1，2)＝1×2＋a×2－3；已知f(2，3)＝9，给出下列结论：
①a＝2；
②若f(1，n)＞0，则n＞1；
③若f(m，m)＝2m，则m＝；
④f(n，n)－2n有最小值，最小值为3.
以上结论正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．(广西南宁模拟)定义新运算：对于任意实数a，b都有a*b＝(a＋3b)－ab，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2*5＝(2＋15)－2×5＝7，那么不等式5*x＜13的解集为____．
11．现定义新运算“@”，对于任意的实数a，b，都有a@b＝，若关于x的不等式k@x≤3的解集为x≥－1，求k的值．
13．(广西贺州模拟)定义运算min{a，b}：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{－3，－1}＝－3，根据该定义运算完成下列问题：
(1)min{－3，2}＝____，当x≤2时，min{x，2}＝____；
(2)若min{3x－1，－x＋3}＝3x－1，求x的取值范围．
【母题P37T2】 当x取什么值时，代数式4x－1的值分别满足下列条件：
(1)大于7；
(2)小于－2x＋5.
【变式1】 x取什么值时，代数式5(x－1)－2(x－2)的值大于x＋2的相反数．
【变式2】 x取什么值时，代数式3－的值不小于2＋的值．
14．(运算能力)我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如，＝2×5－3×4＝－2.
(1)求不等式＞0的解集；
(2)若关于x的不等式＜0的解都是(1)中不等式的解，求n的取值范围．
15．(运算能力)设实数x满足：－≥－，求2|x－1|＋|x＋4|的最小值.7．2一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式及其解法
知识点1 一元一次不等式的概念
1．下列不等式中是一元一次不等式的是( D )
A.x＋y<2 B．x2>3
C．－<1 D．>－3
2．若3x2a+3－9＞6是关于x的一元一次不等式，则a＝__－1__．
知识点2 一元一次不等式的解法
3．(广西南宁期中)若关于x的方程x＋7＝a的解为正数，则实数a的取值范围是( D )
A．a＞0 B．a＜0
C．a＜－7 D．a＞7
4．(广西来宾模拟)下面是小明解不等式－1＜的过程：
解：去分母，得x＋5－1＜3x＋2…①
移项，得x－3x＜2－5＋1…②
合并同类项，得－2x＜－2…③
两边同时除以－2，得x＜1…④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是( C )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
5．(广西玉林期中)不等式2x－7≤0的正整数解有( B )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
6．(广西贵港模拟)不等式x＜－(－1)的最大整数解是__0__．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西百色期中)若定义a*b＝ab＋a＋b，从左到右依次计算x＝1*2*3…(n－1)*n，求x＞2 024的最小正整数n的值．
当n＝2时，x＝1*2＝1×2＋1＋2＝2＋1＋2＝5＜2 024；
当n＝3时，x＝1*2*3＝5*3＝5×3＋5＋3＝15＋5＋3＝23＜2 024；
当n＝4时，x＝1*2*3*4＝23*4＝23×4＋23＋4＝92＋23＋4＝119＜2 024；
当n＝5时，x＝1*2*3*4*5＝119*5＝119×5＋119＋5＝719＜2 024；
当n＝6时，x＝1*2*3*4*5*6＝719*6＝719×6＋719＋6＝5 039＞2 024，
所以x＞2 024的最小正整数n是6.
8．不等式－≤1的最小整数解是( C )
A．0 B．－1
C．－3 D．－2
因为－≤1，所以2x－3(x－1)≤6，所以2x－3x＋3≤6，所以2x－3x≤6－3，所以－x≤3，所以x≥－3，所以不等式－≤1的最小整数解是－3.
9．(广西北海期中)对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m，n)＝mn＋an－3(其中a为非零常数)；例如：f(1，2)＝1×2＋a×2－3；已知f(2，3)＝9，给出下列结论：
①a＝2；
②若f(1，n)＞0，则n＞1；
③若f(m，m)＝2m，则m＝；
④f(n，n)－2n有最小值，最小值为3.
以上结论正确的个数是( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
因为f(2，3)＝9，所以2×3＋3a－3＝9，解得a＝2，故①正确；因为f(1，n)＞0，所以n＋2n－3＞0，解得n＞1，故②正确；因为f(m，m)＝2m，所以m2＋2m－3＝2m，解得m＝±，故③不正确；由题意，得f(n，n)－2n＝n2＋2n－3－2n＝n2－3，因为n2≥0，所以n2－3≥－3，所以f(n，n)－2n有最小值，最小值为－3，故④不正确；所以，上列结论正确的个数是2个．
10．(广西南宁模拟)定义新运算：对于任意实数a，b都有a*b＝(a＋3b)－ab，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2*5＝(2＋15)－2×5＝7，那么不等式5*x＜13的解集为__x＞－4__．
因为5*x＜13，所以5＋3x－5x＜13，所以3x－5x＜13－5，所以－2x＜8，所以x＞－4.
11．现定义新运算“@”，对于任意的实数a，b，都有a@b＝，若关于x的不等式k@x≤3的解集为x≥－1，求k的值．
由k@x≤3，得≤3，
解得x≥3k－6，
由不等式k@x≤3的解集为x≥－1，
所以3k－6＝－1，解得k＝.
12．(广西崇左模拟)解不等式：＜－1，并求出最小整数解．
因为＜－1，所以3(x＋3)＜5(2x－5)－15，
所以3x＋9＜10x－25－15，所以3x－10x＜－25－15－9，
所以－7x＜－49，所以x＞7，所以最小整数解为8.
13．(广西贺州模拟)定义运算min{a，b}：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{－3，－1}＝－3，根据该定义运算完成下列问题：
(1)min{－3，2}＝__－3__，当x≤2时，min{x，2}＝__x__；
(2)若min{3x－1，－x＋3}＝3x－1，求x的取值范围．
(1)min{－3，2}＝－3，
当x≤2时，min{x，2}＝x；
(2)根据题意，得3x－1≤－x＋3，
解得x≤1，即x的取值范围为x≤1.
【母题P37T2】 当x取什么值时，代数式4x－1的值分别满足下列条件：
(1)大于7；
(2)小于－2x＋5.
(1)根据题意，得4x－1＞7，
移项、合并，得4x＞8，解得x＞2；
(2)根据题意，得4x－1＜－2x＋5，
移项、合并，得6x＜6，解得x＜1.
【变式1】 x取什么值时，代数式5(x－1)－2(x－2)的值大于x＋2的相反数．
根据题意，得5(x－1)－2(x－2)＞－(x＋2)，
去括号，得5x－5－2x＋4＞－x－2，
移项、合并，得4x＞－1，
系数化为1，得x＞－，即x＞－时，代数式5(x－1)－2(x－2)的值大于x＋2的相反数．
【变式2】 x取什么值时，代数式3－的值不小于2＋的值．
根据题意，得3－≥2＋，
去分母，得24－2(x－1)≥16＋3(x＋1)，
去括号，得24－2x＋2≥16＋3x＋3，
移项、合并，得5x≤7，
解得x≤，所以x≤时，代数式3－的值不小于2＋的值．
14．(运算能力)我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如，＝2×5－3×4＝－2.
(1)求不等式＞0的解集；
(2)若关于x的不等式＜0的解都是(1)中不等式的解，求n的取值范围．
(1)根据题意，得＝2x－1×(3－x)＞0，
解不等式，得x＞1；
(2)因为＜0，即n－2x＜0，所以x＞.
因为关于x的不等式＜0的解都是(1)中的不等式的解，
所以≥1，所以n≥2.
15．(运算能力)设实数x满足：－≥－，求2|x－1|＋|x＋4|的最小值.
原不等式两边同乘以30，得15(3x－1)－10(4x－2)≥6(6x－3)－39，
化简，得－31x≥－62，
解得x≤2.
设y＝2|x－1|＋|x＋4|.
(1)当x≤－4时，y＝－2(x－1)－(x＋4)＝－3x－2，
所以y的最小值为(－3)×(－4)－2＝10，此时x＝－4；
(2)当－4≤x≤1时，y＝－2(x－1)＋(x＋4)＝6－x，
所以y的最小值为5，此时x＝1；
(3)当1≤x≤2时，y＝2(x－1)＋(x＋4)＝3x＋2，
当x＝1时，y的最小值为5，
所以y的最小值为5，此时x＝1.
综上所述，2|x－1|＋|x＋4|的最小值为5，在x＝1时取得．
