7．1 不等式及其基本性质 第2课时 不等式的基本性质
知识点1 不等式的基本性质1
1．(江苏苏州中考)若a＞b－1，则下列结论一定正确的是( D )
A.a＋1＜b B．a－1＜b
C．a＞b D．a＋1＞b
2．若m＜n，比较下列各式的大小：
(1)m－3__＜__n－3；(2)2＋m__＜__2＋n；
(3)2m__＜__m＋n；(4)0__＜__n－m.
3．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式.
(1)x－7＜0；
(2)x＜－x＋15.
(1)根据不等式基本性质1，在原不等式的两边都加上7，得x＜7；
(2)根据不等式的基本性质1，在原不等式的两边都加上x，得x＜15.
知识点2 不等式的基本性质2与基本性质3
4．(上海中考)如果x＞y，那么下列正确的是( C )
A．x＋5≤y＋5 B．x－5＜y－5
C．5x＞5y D．－5x＞－5y
5．若m＜n，比较下列各式的大小：
(1)－5m__＞__－5n；(2)－__＞__－；
(3)3－m__＞__3－n；
(4)－__＜__－.
6．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)2x＞－5；(2)－x＜－1.
(1)根据不等式的基本性质2，在原不等式的两边都除以2(或者乘)，得x＞－；
(2)根据不等式的基本性质3，在原不等式的两边都乘－5(或者除以－)，得x＞5.
知识点3 不等式的基本性质4与基本性质5
7．(广西贺州期中)已知a－1＞0，则下列结论正确的是( B )
A．－1＜－a＜a＜1 B．－a＜－1＜1＜a
C．－a＜－1＜a＜1 D．－1＜－a＜1＜a
8．已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则( A )
A．a＋c＞b＋d B．a＋b＞c＋d
C．a＋c＞b－d D．a＋b＞c－d
9．若a>b，则b__<__a(填“＞”“＜”或“＝”).
易错易混点 错用不等式的基本性质3
10．(广西贵港期中)阅读下列解题过程，解答下列问题：
已知x＞y，试比较－7x＋2与－7y＋2的大小．
解：因为x＞y，①
所以－7x＞－7y，②
所以－7x＋2＞－7y＋2③.
(1)上述解题过程中，从第__②__步开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请写出正确的解题过程．
(1)上述解题过程中，从第②步开始出现错误．
错误的原因是不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变；
(2)正确的解题过程如下：
因为x＞y，所以－7x＜－7y，所以－7x＋2＜－7y＋2.
11．(吉林长春中考)不等关系在生活中广泛存在．如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是( A )
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D．若a＞b，c＞0，则>
12．若－a≥b，则a≤－2b，其根据是( C )
A．不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
13．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式一定成立的是( C )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．xy2＞zy2
因为x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0.A.根据已知不能确定y的符号，所以根据x＞z不一定能推出xy＞yz，故本选项不符合题意；B.因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故本选项不符合题意；C.因为y＞z，x＞0，所以两边都乘x，得xy＞xz，故本选项符合题意；D.根据x＞z不能得出xy2＞zy2(当y＝0时不对)，故本选项不符合题意.
14．若关于x的不等式(1－a)x＞2可化为x＜，则a的取值范围是__a＞1__．
15．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如下图所示，则他们的体重从小到大是(用“＜”号连接)__Q＜R＜P＜S__．
图1 图2 图3
由图1、图2，得S＞P＞R，所以S－P＞0，由图3，得P＋R＞Q＋S，所以S－P＜R－Q，所以R－Q＞0，所以R＞Q.综上，Q＜R＜P＜S.
16．若a＜0，则－__＞__－.
17．指出下列各式成立的条件：
(1)由mx＜n，得x＞；
(2)由a＜b，得m2a＜m2b.
(1)当m＜0时，由mx＜n，得x＞；
(2)当m≠0时，由a＜b，得m2a＜m2b.
【母题P33T6】 根据不等式的基本性质，将下列不等式化成“x>a”或“x
(1)x－1<3；(2)6x<5x－2；
(3)<5；(4)－4x>3.
(1)因为x－1＜3，所以x－1＋1＜3＋1，即x＜4；
(2)因为6x＜5x－2，所以6x－5x＜5x－5x－2，即x＜－2；
(3)因为＜5，所以×3＜5×3，即x＜15；
(4)因为－4x＞3，所以<，即x＜－.
【变式】 根据不等式的基本性质，将下列不等式化成“x≥a”或“x＜a”的形式：
(1)x－1＜5；(2)4x－1≥3；
(3)－x＋1≥4；(4)－4x＜－10.
(1)x－1＜5，
两边加上1，得x－1＋1＜5＋1，
解得x＜6；
(2)4x－1≥3，
两边加上1，得4x－1＋1≥3＋1，即4x≥4，
两边除以4，得x≥1；
(3)－x＋1≥4，
两边减去1，得－x＋1－1≥4－1，即－x≥3，
两边除以－，得x≤－6；
(4)－4x＜－10，两边除以－4，得x＞.
18．(应用意识&运算能力)(广西北海月考)阅读材料：
已知a，b为非负实数，因为a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，所以a＋b≥2，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知x＞0，求函数y＝x＋的最小值．
解：令a＝x，b＝，则由a＋b≥2，得y＝x＋≥2＝4.
当且仅当x＝，即x＝2时，函数取到最小值，最小值为4.
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知x＞0，则当x＝____时，函数y＝x＋取到最小值，最小值为__2__；
(2)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知x＞0，则自变量x取何值时，函数y＝取到最大值？最大值为多少？
(1)因为x＞0，所以y＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以当x＝时，函数y＝x＋取到最小值，最小值为2.
(2)设这个矩形的长为x米，篱笆周长为y米．
根据题意，用篱笆围一个面积为100 m2的矩形花园，则矩形的宽为米，
所以y＝2(x＋)≥4＝40，
当且仅当x＝时，等号成立，即当x＝10时，函数有最小值，最小值为40，
所以这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
(3)因为x＞0，所以y＝＝＝.
又因为x＋≥2＝6，
当且仅当x＝时，即当x＝3时，(x＋)取最小值，最小值为6，
所以此时y有最大值，最大值为y＝＝，
所以自变量x＝3时，函数y＝取最大值，最大值为.7．1 不等式及其基本性质 第2课时 不等式的基本性质
知识点1 不等式的基本性质1
1．(江苏苏州中考)若a＞b－1，则下列结论一定正确的是( )
A.a＋1＜b B．a－1＜b
C．a＞b D．a＋1＞b
2．若m＜n，比较下列各式的大小：
(1)m－3____n－3；(2)2＋m____2＋n；
(3)2m____m＋n；(4)0____n－m.
3．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式.
(1)x－7＜0；
(2)x＜－x＋15.
知识点2 不等式的基本性质2与基本性质3
4．(上海中考)如果x＞y，那么下列正确的是( )
A．x＋5≤y＋5 B．x－5＜y－5
C．5x＞5y D．－5x＞－5y
5．若m＜n，比较下列各式的大小：
(1)－5m____－5n；(2)－____－；
(3)3－m____3－n；
(4)－____－.
6．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)2x＞－5；(2)－x＜－1.
知识点3 不等式的基本性质4与基本性质5
7．(广西贺州期中)已知a－1＞0，则下列结论正确的是( )
A．－1＜－a＜a＜1 B．－a＜－1＜1＜a
C．－a＜－1＜a＜1 D．－1＜－a＜1＜a
8．已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则( )
A．a＋c＞b＋d B．a＋b＞c＋d
C．a＋c＞b－d D．a＋b＞c－d
9．若a>b，则b____a(填“＞”“＜”或“＝”).
易错易混点 错用不等式的基本性质3
10．(广西贵港期中)阅读下列解题过程，解答下列问题：
已知x＞y，试比较－7x＋2与－7y＋2的大小．
解：因为x＞y，①
所以－7x＞－7y，②
所以－7x＋2＞－7y＋2③.
(1)上述解题过程中，从第__②__步开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请写出正确的解题过程．
11．(吉林长春中考)不等关系在生活中广泛存在．如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是( )
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D．若a＞b，c＞0，则>
12．若－a≥b，则a≤－2b，其根据是( )
A．不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
13．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式一定成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．xy2＞zy2
14．若关于x的不等式(1－a)x＞2可化为x＜，则a的取值范围是____．
15．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如下图所示，则他们的体重从小到大是(用“＜”号连接)____．
图1 图2 图3
16．若a＜0，则－____－.
17．指出下列各式成立的条件：
(1)由mx＜n，得x＞；
(2)由a＜b，得m2a＜m2b.
【母题P33T6】 根据不等式的基本性质，将下列不等式化成“x>a”或“x(1)x－1<3；(2)6x<5x－2；
(3)<5；(4)－4x>3.
【变式】 根据不等式的基本性质，将下列不等式化成“x≥a”或“x＜a”的形式：
(1)x－1＜5；(2)4x－1≥3；
(3)－x＋1≥4；(4)－4x＜－10.
18．(应用意识&运算能力)(广西北海月考)阅读材料：
已知a，b为非负实数，因为a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，所以a＋b≥2，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知x＞0，求函数y＝x＋的最小值．
解：令a＝x，b＝，则由a＋b≥2，得y＝x＋≥2＝4.
当且仅当x＝，即x＝2时，函数取到最小值，最小值为4.
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知x＞0，则当x＝____时，函数y＝x＋取到最小值，最小值为__2__；
(2)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知x＞0，则自变量x取何值时，函数y＝取到最大值？最大值为多少？