8.2.2．单项式与多项式相乘
知识点1 单项式乘多项式的法则
1．计算2x2y(x－3xy2)＝( C )
A.2x3y－3x3y3 B．2xy2－6x3y3
C．2x3y－6x3y3 D．2x2y＋6x3y3
2．计算(－3x)·(2x2－5x－1)的结果是( B )
A．－6x2－15x2－3x
B．－6x3＋15x2＋3x
C．－6x3＋15x2
D．－6x3＋15x2－1
3．下列计算结果正确的是( D )
A．(6ab2－4a2b)·3ab＝18ab2－12a2b
B．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1
C．(－3x2y)(－2xy＋3yz－1)＝6x3y2－9x2y2z2＋3x2y
D.(a3－b)·2ab＝a4b－ab2
知识点2 单项式乘多项式的法则的应用
4．如图所示，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立( A )
A．m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
B．(a＋b)m＝(b＋c)m
C．a(a＋b＋c)＝a2＋ab＋ac
D．ma＋mb＋mc＝a2＋b2＋c2
5．(广西北海月考)为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空地上修建板房，作为乡村办事务所．已知长方形空坪长为3a，宽为(4ab－2a)，则其面积为( A )
A．12a2b－6a2 B．6a2－12a2b
C．6a2b－12a2 D．12a2－6a2b
易错易混点 忽视“无关”条件出错
6．(广西河池期中)已知A＝x2＋3x－a，B＝－x，C＝x3＋3x2＋5，若A·B＋C的值与x的取值无关，当x＝－4时，求A的值．
因为A＝x2＋3x－a，B＝－x，C＝x3＋3x2＋5，
所以A·B＋C
＝(x2＋3x－a)(－x)＋(x3＋3x2＋5)
＝－x3－3x2＋ax＋x3＋3x2＋5
＝ax＋5.
因为A·B＋C的值与x的取值无关，所以a＝0，
所以A＝x2＋3x－a＝x2＋3x，
当x＝－4时，A＝(－4)2＋3×(－4)＝4.
7．若关于x，y的多项式(x2－mx＋3)x－x2(4mx2＋3x＋5)的结果中不含x2项，则m的值为( D )
A．1 B．0
C．－1 D．－5
(x2－mx＋3)x－x2(4mx2＋3x＋5)＝x3－mx2＋3x－(4mx4＋3x3＋5x2)＝x3－mx2＋3x－4mx4－3x3－5x2＝－4mx4－2x3－(m＋5)x2＋3x.因为结果中不含x2项，所以－(m＋5)＝0，解得m＝－5.
8．数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编题，小圣同学编题如下：2x(2y＋□x－1)＝4xy＋6x2－2x.你认为□内应填写__3__．
因为2x(2y＋□x－1)＝4xy＋6x2－2x，左边＝4xy＋2×□x2－2x，右边＝4xy＋6x2－2x，所以2×□＝6，故□内应填写3.
9．解方程：2x(3x－5)＋3x(1－2x)＝14.
因为2x(3x－5)＋3x(1－2x)＝14，
所以6x2－10x＋3x－6x2＝14，所以－7x＝14，所以x＝－2.
10．已知x2－2＝y，求x(x－3y)＋y(3x－1)－2的值.
因为x2－2＝y，所以x2－y＝2，
所以x(x－3y)＋y(3x－1)－2＝x2－3xy＋3xy－y－2＝x2－y－2＝2－2＝0.
11．(广西钦州期中)某同学计算一个多项式乘－3x2时，因抄错符号，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1.
(1)求这个多项式；
(2)正确的计算结果应该是多少？
(1)这个多项式是x2－2x＋1－(－3x2)＝x2－2x＋1＋3x2＝4x2－2x＋1.
(2)正确的计算结果为(4x2－2x＋1)·(－3x2)＝－12x4＋6x3－3x2.
12．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米．求防洪堤坝的横断面积.
S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝a2＋ab(平方米).
答：防洪堤坝的横断面积为(a2＋ab)平方米．
【母题P69T1】 计算：
(1)5x·(3x＋4)；
(2)(5a2－a＋1)(－3a)；
(3)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；
(4)(－a)·(－2ab)＋3a·(ab－b－1).
(1)原式＝15x2＋20x；
(2)原式＝－15a3＋4a2－3a；
(3)原式＝x3＋3x＋x3－3x2－3x3＋3x2＋3x＝－x3＋6x；
(4)原式＝2a2b＋3a2b－ab－3a＝5a2b－ab－3a.
【变式】 计算：(1)xy2(3x2y－xy2＋y)；
(2)(x2＋xy－y2)·(－x2y)；
(3)3x(2x－3y)－(2x－5y)·4x；
(4)5a(a－b＋c)－2b(a＋b－c)－4c(－a－b－c).
(1)原式＝xy2·3x2y－xy2·xy2＋xy2·y＝3x3y3－x2y4＋xy3；
(2)原式＝x2·(－3x2y)－xy·x2y＋y2·x2y＝－2x4y－x3y2＋x2y3；
(3)原式＝6x2－9xy－8x2＋20xy＝－2x2＋11xy；
(4)原式＝5a2－5ab＋5ac－2ab－2b2＋2bc＋4ac＋4bc＋4c2＝5a2－2b2＋4c2－7ab＋9ac＋6bc.
13．(应用意识&运算能力)已知A＝－a2b，B＝4ab3－8a2b2，试用a，b表示整式 2A2B(A－B)＋A2B(2B－A).
2A2B(A－B)＋A2B(2B－A)＝2A3B－2A2B2＋2A2B2－A3B＝A3B.
把A＝－a2b，B＝4ab3－8a2b2代入，得
原式＝(－a2b)3(4ab3－8a2b2)＝－a6b3(4ab3－8a2b2)＝－a7b6＋a8b5.
14．(应用意识&运算能力)(广西北海期中)某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为(3a＋1)米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
(1)用含a，b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2.
(2)当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积.
(3)在(2)的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M(元).
(1)S1＝b(3a＋1)＝3ab＋b(平方米)，
S2＝5a×2b－b(3a＋1)＝7ab－b(平方米).
(2)当a＝9米，b＝15米时，
S1＝3×9×15＋15＝420(平方米)，
S2＝7×9×15－15＝930(平方米).
答：篮球场地的面积为420平方米，安装健身器材区域的面积为930平方米．
(3)M＝420×100＋930×50＝88 500(元).
答：建设该居民健身场所所需的地面总费用为88 500元．8.2.2．单项式与多项式相乘
知识点1 单项式乘多项式的法则
1．计算2x2y(x－3xy2)＝( )
A.2x3y－3x3y3 B．2xy2－6x3y3
C．2x3y－6x3y3 D．2x2y＋6x3y3
2．计算(－3x)·(2x2－5x－1)的结果是( )
A．－6x2－15x2－3x
B．－6x3＋15x2＋3x
C．－6x3＋15x2
D．－6x3＋15x2－1
3．下列计算结果正确的是( )
A．(6ab2－4a2b)·3ab＝18ab2－12a2b
B．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1
C．(－3x2y)(－2xy＋3yz－1)＝6x3y2－9x2y2z2＋3x2y
D.(a3－b)·2ab＝a4b－ab2
知识点2 单项式乘多项式的法则的应用
4．如图所示，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立( )
A．m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
B．(a＋b)m＝(b＋c)m
C．a(a＋b＋c)＝a2＋ab＋ac
D．ma＋mb＋mc＝a2＋b2＋c2
5．(广西北海月考)为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空地上修建板房，作为乡村办事务所．已知长方形空坪长为3a，宽为(4ab－2a)，则其面积为( )
A．12a2b－6a2 B．6a2－12a2b
C．6a2b－12a2 D．12a2－6a2b
易错易混点 忽视“无关”条件出错
6．(广西河池期中)已知A＝x2＋3x－a，B＝－x，C＝x3＋3x2＋5，若A·B＋C的值与x的取值无关，当x＝－4时，求A的值．
7．若关于x，y的多项式(x2－mx＋3)x－x2(4mx2＋3x＋5)的结果中不含x2项，则m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－5
8．数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编题，小圣同学编题如下：2x(2y＋□x－1)＝4xy＋6x2－2x.你认为□内应填写__ __．
9．解方程：2x(3x－5)＋3x(1－2x)＝14.
10．已知x2－2＝y，求x(x－3y)＋y(3x－1)－2的值.
11．(广西钦州期中)某同学计算一个多项式乘－3x2时，因抄错符号，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1.
(1)求这个多项式；
(2)正确的计算结果应该是多少？
12．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米．求防洪堤坝的横断面积.
【母题P69T1】 计算：
(1)5x·(3x＋4)；
(2)(5a2－a＋1)(－3a)；
(3)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；
(4)(－a)·(－2ab)＋3a·(ab－b－1).
【变式】 计算：(1)xy2(3x2y－xy2＋y)；
(2)(x2＋xy－y2)·(－x2y)；
(3)3x(2x－3y)－(2x－5y)·4x；
(4)5a(a－b＋c)－2b(a＋b－c)－4c(－a－b－c).
13．(应用意识&运算能力)已知A＝－a2b，B＝4ab3－8a2b2，试用a，b表示整式 2A2B(A－B)＋A2B(2B－A).
14．(应用意识&运算能力)(广西北海期中)某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为(3a＋1)米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
(1)用含a，b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2.
(2)当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积.
(3)在(2)的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M(元).
