8.2.3．多项式与多项式相乘
知识点1 多项式与多项式相乘的法则
1．(x＋1)(2x－3)的计算结果是( B )
A.2x2＋x－3 B．2x2－x－3
C．2x2－x＋3 D．x2－2x－3
2．计算(x－5y)(x＋4y)的结果是( C )
A．x2－20y2 B．x2－9xy－20y2
C．x2－xy－20y2 D．x2＋xy－20y2
3．计算x2－(x＋1)(x－5)的结果是( B )
A．－4x－5 B．4x＋5
C．x2－4x＋5 D．x2＋4x－5
4．计算：
(1)(2x＋1)(3x－1)；
(2)(3x＋5a)(a－3x)；
(3)(2x－5y)(3x－y)；
(4)(x＋y)(x2－2x－3).
(1)原式＝6x2－2x＋3x－1＝6x2＋x－1；
(2)原式＝3ax－9x2＋5a2－15ax＝3ax－15ax－9x2＋5a2＝－12ax－9x2＋5a2；
(3)原式＝6x2－2xy－15xy＋5y2＝6x2－17xy＋5y2；
(4)原式＝x3－2x2－3x＋x2y－2xy－3y.
知识点2 多项式与多项式相乘法则的应用
5．若长方形的长为(4a2－2a＋1)，宽为(2a＋1)，则这个长方形的面积为( D )
A．8a2－4a2＋2a－1 B．8a3＋4a2－2a－1
C．8a3－1 D．8a3＋1
6．若关于x的多项式(2x－m)与(x＋5)的乘积中，常数项为15，则m的值为( B )
A．3 B．－3
C．10 D．－10
7．(广西北海模拟)若要使多项式(x＋a)(x＋b)不含x的一次项，则a与b的关系是__b＝－a__．
因为多项式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab不含x的一次项，所以a＋b＝0，即b＝－a.
8．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(3a＋b)，宽为(a＋3b)的大长方形，则需要C类卡片张数为__10__．
由题意，得(3a＋b)(a＋3b)＝3a2＋9ab＋ab＋3b2＝3a2＋10ab＋3b2.因为10ab÷ab＝10，所以需要C类卡片张数为10.
易错易混点 多项式乘以多项式出现漏乘
9．(广西贵港月考)化简：(x－y)(x＋2y)－y(x－2y).
(x－y)(x＋2y)－y(x－2y)
＝(x2＋2xy－xy－2y2)－(xy－2y2)
＝x2＋2xy－xy－2y2－xy＋2y2
＝x2.
10．已知x＋5与x－k的乘积中不含x项，则k的值是( B )
A．0 B．5
C．－5 D．±5
由(x＋5)(x－k)＝x2＋(5－k)x－5k，得x的系数为5－k.若不含x项，得5－k＝0，解得k＝5.
11．(广西北海模拟)已知(x－1)(x－2)＝x2＋mx＋n，则m＋n的值为( A )
A．－1 B．－5
C．5 D．1
因为(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2，所以m＝－3，n＝2，所以m＋n＝－1.
12．若(x＋p)(x＋q)＝x2＋mx＋36，且p，q为不大于10的正整数，则m＝__12或13__．
(x＋p)(x＋q)＝x2＋mx＋36，x2＋px＋qx＋pq＝x2＋mx＋36，即x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋mx＋36，所以p＋q＝m，pq＝36.因为p，q为不大于10的正整数，所以p，q的值为4和9或6和6，所以p＋q＝4＋9＝13或p＋q＝6＋6＝12，所以m＝13或m＝12.
13．(广西南宁期中)先化简，再求值：(4－3a)·(1＋2a)－3a(1－2a)，其中a＝－.
原式＝4＋8a－3a－6a2－3a＋6a2＝4＋2a，
当a＝－时，原式＝4＋2×(－)＝.
14．(广西北海期中)如图，在长为4a－1，宽为3b＋2的长方形铁片上，挖去长为3a－2，宽为2b的小长方形铁片．
(1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积；
(2)求出当a＝4，b＝3时的阴影面积．
(1)根据题意，可得S阴＝(4a－1)(3b＋2)－2b(3a－2)＝12ab＋8a－3b－2－6ab＋4b＝6ab＋8a＋b－2；
(2)当a＝4，b＝3时，
原式＝6×4×3＋8×4＋3－2＝72＋32＋1＝105.
15．(广西来宾期中)小诚计算(3x－3a)(5x＋a)时，由于把第一个多项式中的“－3a”看成了“＋3a”，得到的结果为15x2＋12x＋.
(1)求a的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
(1)由题意，得(3x＋3a)(5x＋a)＝15x2＋12x＋，
所以15x2＋15ax＋3ax＋3a2＝15x2＋12x＋，
所以15x2＋18ax＋3a2＝15x2＋12x＋，
所以解得a＝；
(2)(3x－3a)(5x＋a)
＝15x2－15ax＋3ax－3a2
＝15x2－12ax－3a2，
当a＝时，原式＝15x2－8x－.
【母题P71练习T1】 计算：
(1)(2n＋6)(n－3)；
(2)(－3x－1)(－x2＋1).
(1)原式＝2n2＋6n－6n－18＝2n2－18；
(2)原式＝3x3－3x＋x2－1.
【变式1】 计算：(－3x＋9)·(6x－8).
(－3x＋9)·(6x－8)
＝－18x2＋24x＋54x－72
＝－18x2＋78x－72.
【变式2】 计算：(x＋2)(2x－3)－2(x2－x＋3).
原式＝2x2－3x＋4x－6－2x2＋2x－6＝3x－12.
16．(运算能力)若(x2＋x－p)(－x＋3q)的积中不含x与x2项．
(1)求p，q的值；
(2)求代数式(－p3q2)2＋(2pq)-1＋p2 026q2 025的值．
(1)(x2＋x－p)(－x＋3q)
＝－x3－x2＋px＋3qx2＋3qx－pq
＝－x3＋(3q－1)x2＋(p＋3q)x－pq.
因为(x2＋x－p)(－x＋3q)的积中不含x与x2项，所以解得
(2)(－p3q2)2＋(2pq)-1＋p2 026q2 025
＝[－(－3)3×()2]2＋[2×(－3)×()]-1＋(－3)2 026()2 025
＝[－(－27)×]2＋(－2)-1＋(－3)×(－3)2 025()2 025
＝32＋(－)＋(－3)×(－3×)2 025
＝9－＋(－3)×(－1)2 025
＝9－＋(－3)×(－1)
＝9－＋3
＝.
17．(应用意识&运算能力)(广西北海模拟)【阅读与思考】
下面是小明同学的数学学习笔记，请你仔细阅读并完成相应的任务：
对于依次排列的多项式x＋a，x＋b，x＋c，x＋d(a，b，c，d是常数)，当它们满足(x＋a)(x＋d)－(x＋b)(x＋c)＝M，且M是常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子．
例：对于多项式x＋2，x＋1，x＋6，x＋5来说，
因为(x＋2)(x＋5)－(x＋1)(x＋6)
＝(x2＋7x＋10)－(x2＋7x＋6)
＝4，
所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子．
【任务一】
(1)已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M的值；
【任务二】
(2)若2，4，m，9是一组平衡数，求m的值；
【问题解决】
(3)当a，b，c，d之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由．
(1)M＝(x＋5)(x＋8)－(x＋6)(x＋7)
＝(x2＋5x＋8x＋40)－(x2＋6x＋7x＋42)
＝x2＋5x＋8x＋40－x2－6x－7x－42
＝－2；
(2)因为2，4，m，9是一组平衡数，
所以(x＋2)(x＋9)－(x＋4)(x＋m)的结果为常数．
因为(x＋2)(x＋9)－(x＋4)(x＋m)
＝(x2＋2x＋9x＋18)－(x2＋4x＋mx＋4m)
＝x2＋2x＋9x＋18－x2－4x－mx－4m
＝(7－m)x＋(18－4m)，
所以7－m＝0，所以m＝7；
(3)a＋d＝c＋b.
证明：因为a，b，c，d是平衡数，
所以(x＋a)(x＋d)－(x＋b)(x＋c)结果为常数，
(x＋a)(x＋d)－(x＋b)(x＋c)
＝(x2＋ax＋dx＋ad)－(x2＋bx＋cx＋bc)
＝x2＋(a＋d)x＋ad－x2－(b＋c)x－bc
＝(a＋d)x－(b＋c)x＋(ad－bc)
＝[(a＋d)－(b＋c)]x＋(ad－bc).
因为结果为常数，所以(a＋d)－(b＋c)＝0，
所以a＋d＝b＋c.8.2.3．多项式与多项式相乘
知识点1 多项式与多项式相乘的法则
1．(x＋1)(2x－3)的计算结果是( )
A.2x2＋x－3 B．2x2－x－3
C．2x2－x＋3 D．x2－2x－3
2．计算(x－5y)(x＋4y)的结果是( )
A．x2－20y2 B．x2－9xy－20y2
C．x2－xy－20y2 D．x2＋xy－20y2
3．计算x2－(x＋1)(x－5)的结果是( )
A．－4x－5 B．4x＋5
C．x2－4x＋5 D．x2＋4x－5
4．计算：
(1)(2x＋1)(3x－1)；
(2)(3x＋5a)(a－3x)；
(3)(2x－5y)(3x－y)；
(4)(x＋y)(x2－2x－3).
知识点2 多项式与多项式相乘法则的应用
5．若长方形的长为(4a2－2a＋1)，宽为(2a＋1)，则这个长方形的面积为( )
A．8a2－4a2＋2a－1 B．8a3＋4a2－2a－1
C．8a3－1 D．8a3＋1
6．若关于x的多项式(2x－m)与(x＋5)的乘积中，常数项为15，则m的值为( )
A．3 B．－3
C．10 D．－10
7．(广西北海模拟)若要使多项式(x＋a)(x＋b)不含x的一次项，则a与b的关系是__ __．
8．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(3a＋b)，宽为(a＋3b)的大长方形，则需要C类卡片张数为__ __．
易错易混点 多项式乘以多项式出现漏乘
9．(广西贵港月考)化简：(x－y)(x＋2y)－y(x－2y).
10．已知x＋5与x－k的乘积中不含x项，则k的值是( )
A．0 B．5
C．－5 D．±5
11．(广西北海模拟)已知(x－1)(x－2)＝x2＋mx＋n，则m＋n的值为( )
A．－1 B．－5
C．5 D．1
12．若(x＋p)(x＋q)＝x2＋mx＋36，且p，q为不大于10的正整数，则m＝__ __．
13．(广西南宁期中)先化简，再求值：(4－3a)·(1＋2a)－3a(1－2a)，其中a＝－.
14．(广西北海期中)如图，在长为4a－1，宽为3b＋2的长方形铁片上，挖去长为3a－2，宽为2b的小长方形铁片．
(1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积；
(2)求出当a＝4，b＝3时的阴影面积．
15．(广西来宾期中)小诚计算(3x－3a)(5x＋a)时，由于把第一个多项式中的“－3a”看成了“＋3a”，得到的结果为15x2＋12x＋.
(1)求a的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
【母题P71练习T1】 计算：
(1)(2n＋6)(n－3)；
(2)(－3x－1)(－x2＋1).
【变式1】 计算：(－3x＋9)·(6x－8).
【变式2】 计算：(x＋2)(2x－3)－2(x2－x＋3).
16．(运算能力)若(x2＋x－p)(－x＋3q)的积中不含x与x2项．
(1)求p，q的值；
(2)求代数式(－p3q2)2＋(2pq)-1＋p2 026q2 025的值．
17．(应用意识&运算能力)(广西北海模拟)【阅读与思考】
下面是小明同学的数学学习笔记，请你仔细阅读并完成相应的任务：
对于依次排列的多项式x＋a，x＋b，x＋c，x＋d(a，b，c，d是常数)，当它们满足(x＋a)(x＋d)－(x＋b)(x＋c)＝M，且M是常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子．
例：对于多项式x＋2，x＋1，x＋6，x＋5来说，
因为(x＋2)(x＋5)－(x＋1)(x＋6)
＝(x2＋7x＋10)－(x2＋7x＋6)
＝4，
所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子．
【任务一】
(1)已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M的值；
【任务二】
(2)若2，4，m，9是一组平衡数，求m的值；
【问题解决】
(3)当a，b，c，d之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由．
