8.4.2．公式法 第1课时 直接运用公式因式分解
知识点1 直接运用完全平方公式因式分解
1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( A )
A.－2x2＋4x－2 B．4x2＋4x－1
C．2x2＋4x＋1 D．x2＋xy＋y2
2．把多项式x2－6x＋9因式分解，结果正确的是( A )
A．(x－3)2 B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9)
3．因式分解：m2－mn＋n2＝__(m－n)2__．
知识点2 直接运用平方差公式因式分解
4．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是( A )
A．－a2－4b2 B．－1＋25a2
C．－9a2 D．－a4＋1
5．分解因式16－x2＝( A )
A．(4－x)(4＋x)
B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x)
D．(4－x)2
6．(广西南宁期中)分解因式4m2－1＝__(2m＋1)(2m－1)__．
知识点3 综合运用公式因式分解
7．把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( C )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
8．将多项式x－x3进行因式分解的结果为( C )
A．x(1－x2) B．x(1－x)2
C．x(1＋x)(1－x) D．－x(x－1)2
9．分解因式x2(a－2)＋(2－a)＝__(a－2)(x－1)(x＋1)__．
x2(a－2)＋(2－a)＝x2(a－2)－(a－2)＝(a－2)(x2－1)＝(a－2)(x－1)(x＋1).
易错易混点 忽视分类讨论出错
10．(广西梧州期中)若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，求m的值．
因为多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，
所以－mxy＝±2×2x×3y，则－m＝±2×2×3＝±12，
解得m＝±12.
11．因式分解(x－1)2－9的结果是( D )
A．(x－10)(x＋8)
B．(x＋8)(x＋1)
C．(x－2)(x＋4)
D．(x＋2)(x－4)
12．(广西贵港期中)下列多项式中不能用公式法分解因式的是( D )
A．a2＋a＋ B．2ab＋a2＋b2
C．－a2＋25 D．－4－b2
选项A，a2＋a＋＝(a＋)2，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；选项B，2ab＋a2＋b2＝(a＋b)2，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；选项C，－a2＋25＝(5＋a)(5－a)，能用平方差公式进行因式分解，不符合题意；选项D，－4－b2＝－(4＋b2)，不能用公式法分解，符合题意．
13．若m＋n＝2，则m2－n2＋4n的值是( C )
A．2 B．6
C．4 D．8
因为m＋n＝2，所以原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n＝2(m＋n)＝2×2＝4.
14．若x＋y＋z＝2，x2－(y＋z)2＝8时，x－y－z＝__4__．
因为x2－(y＋z)2＝8，所以(x－y－z)(x＋y＋z)＝8，因为x＋y＋z＝2，所以x－y－z＝8÷2＝4.
15．(广西来宾模拟)分解因式(4a＋b)2－9b2，并求值，其中a＋b＝2，b－2a＝3.
(4a＋b)2－9b2＝(4a＋b＋3b)(4a＋b－3b)＝(4a＋4b)·(4a－2b)＝8(a＋b)(2a－b)，
当a＋b＝2，b－2a＝3时，
8(a＋b)(2a－b)＝8×2×(－3)＝－48.
【母题P84T1】 把下列多项式分解因式：
(1)2x3－32x；(2)9a3b3－ab；(3)mx2－8mx＋16m；(4)－x4＋256；(5)－a＋2a2－a3；(6)81a4－72a2b2＋16b4.
(1)原式＝2x(x2－16)＝2x(x＋4)(x－4)；
(2)原式＝ab(9a2b2－1)＝ab(3ab＋1)(3ab－1)；
(3)原式＝m(x2－8x＋16)＝m(x－4)2；
(4)原式＝－(x2＋16)(x2－16)＝－(x2＋16)(x＋4)(x－4)；
(5)原式＝－a(1－2a＋a2)＝－a(1－a)2；
(6)原式＝(3a＋2b)2(3a－2b)2.
【变式1】 把下列多项式分解因式：
(1)a3－25a；
(2)－2a3b－2ab3＋4a2b2.
(1)原式＝a(a2－25)＝a(a＋5)(a－5)；
(2)原式＝－2ab(a2＋b2－2ab)＝－2ab(a－b)2.
【变式2】 把下列各式因式分解：
(1)16x4－8x2y2＋y4；
(2)(x＋2)(x＋4)＋1；
(3)(x2＋4)2－16x2.
(1)16x4－8x2y2＋y4＝(4x2－y2)2＝(2x＋y)2(2x－y)2；
(2)(x＋2)(x＋4)＋1＝x2＋6x＋8＋1＝x2＋6x＋9＝(x＋3)2；
(3)(x2＋4)2－16x2＝(x2＋4)2－(4x)2＝(x2＋4x＋4)(x2－4x＋4)＝(x＋2)2(x－2)2.
16．(应用意识&运算能力)阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
原式＝(y＋1)(y＋7)＋9(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步).
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__C__；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__(x－2)4__；
(3)请你用换元法对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解．
(2)(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9，
设x2－4x＝y，
原式＝(y＋1)(y＋7)＋9＝y2＋8y＋16＝(y＋4)2＝(x2－4x＋4)2＝(x－2)4；
(3)设x2＋2x＝y，
原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2＋2x＋1)2＝(x＋1)4.8.4.2．公式法 第1课时 直接运用公式因式分解
知识点1 直接运用完全平方公式因式分解
1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )
A.－2x2＋4x－2 B．4x2＋4x－1
C．2x2＋4x＋1 D．x2＋xy＋y2
2．把多项式x2－6x＋9因式分解，结果正确的是( )
A．(x－3)2 B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9)
3．因式分解：m2－mn＋n2＝__ __．
知识点2 直接运用平方差公式因式分解
4．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A．－a2－4b2 B．－1＋25a2
C．－9a2 D．－a4＋1
5．分解因式16－x2＝( )
A．(4－x)(4＋x)
B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x)
D．(4－x)2
6．(广西南宁期中)分解因式4m2－1＝__ __．
知识点3 综合运用公式因式分解
7．把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
8．将多项式x－x3进行因式分解的结果为( )
A．x(1－x2) B．x(1－x)2
C．x(1＋x)(1－x) D．－x(x－1)2
9．分解因式x2(a－2)＋(2－a)＝__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
10．(广西梧州期中)若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，求m的值．
11．因式分解(x－1)2－9的结果是( )
A．(x－10)(x＋8)
B．(x＋8)(x＋1)
C．(x－2)(x＋4)
D．(x＋2)(x－4)
12．(广西贵港期中)下列多项式中不能用公式法分解因式的是( )
A．a2＋a＋ B．2ab＋a2＋b2
C．－a2＋25 D．－4－b2
13．若m＋n＝2，则m2－n2＋4n的值是( )
A．2 B．6
C．4 D．8
14．若x＋y＋z＝2，x2－(y＋z)2＝8时，x－y－z＝__ __．
15．(广西来宾模拟)分解因式(4a＋b)2－9b2，并求值，其中a＋b＝2，b－2a＝3.
【母题P84T1】 把下列多项式分解因式：
(1)2x3－32x；(2)9a3b3－ab；(3)mx2－8mx＋16m；(4)－x4＋256；(5)－a＋2a2－a3；(6)81a4－72a2b2＋16b4.
【变式1】 把下列多项式分解因式：
(1)a3－25a；
(2)－2a3b－2ab3＋4a2b2.
【变式2】 把下列各式因式分解：
(1)16x4－8x2y2＋y4；
(2)(x＋2)(x＋4)＋1；
(3)(x2＋4)2－16x2.
16．(应用意识&运算能力)阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
原式＝(y＋1)(y＋7)＋9(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步).
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__ __；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__ __；
(3)请你用换元法对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解．
