8.4.2.公式法 第1课时 直接运用公式因式分解
知识点1 直接运用完全平方公式因式分解
1.下列各式中,能用完全平方公式因式分解的是( A )
A.-2x2+4x-2 B.4x2+4x-1
C.2x2+4x+1 D.x2+xy+y2
2.把多项式x2-6x+9因式分解,结果正确的是( A )
A.(x-3)2 B.(x-9)2
C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9)
3.因式分解:m2-mn+n2=__(m-n)2__.
知识点2 直接运用平方差公式因式分解
4.下列各式中,不能用平方差公式因式分解的是( A )
A.-a2-4b2 B.-1+25a2
C.-9a2 D.-a4+1
5.分解因式16-x2=( A )
A.(4-x)(4+x)
B.(x-4)(x+4)
C.(8+x)(8-x)
D.(4-x)2
6.(广西南宁期中)分解因式4m2-1=__(2m+1)(2m-1)__.
知识点3 综合运用公式因式分解
7.把2xy-x2-y2分解因式,结果正确的是( C )
A.(x-y)2 B.(-x-y)2
C.-(x-y)2 D.-(x+y)2
8.将多项式x-x3进行因式分解的结果为( C )
A.x(1-x2) B.x(1-x)2
C.x(1+x)(1-x) D.-x(x-1)2
9.分解因式x2(a-2)+(2-a)=__(a-2)(x-1)(x+1)__.
x2(a-2)+(2-a)=x2(a-2)-(a-2)=(a-2)(x2-1)=(a-2)(x-1)(x+1).
易错易混点 忽视分类讨论出错
10.(广西梧州期中)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,求m的值.
因为多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,
所以-mxy=±2×2x×3y,则-m=±2×2×3=±12,
解得m=±12.
11.因式分解(x-1)2-9的结果是( D )
A.(x-10)(x+8)
B.(x+8)(x+1)
C.(x-2)(x+4)
D.(x+2)(x-4)
12.(广西贵港期中)下列多项式中不能用公式法分解因式的是( D )
A.a2+a+ B.2ab+a2+b2
C.-a2+25 D.-4-b2
选项A,a2+a+=(a+)2,能用完全平方公式进行因式分解,不符合题意;选项B,2ab+a2+b2=(a+b)2,能用完全平方公式进行因式分解,不符合题意;选项C,-a2+25=(5+a)(5-a),能用平方差公式进行因式分解,不符合题意;选项D,-4-b2=-(4+b2),不能用公式法分解,符合题意.
13.若m+n=2,则m2-n2+4n的值是( C )
A.2 B.6
C.4 D.8
因为m+n=2,所以原式=(m+n)(m-n)+4n=2(m-n)+4n=2m-2n+4n=2(m+n)=2×2=4.
14.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8时,x-y-z=__4__.
因为x2-(y+z)2=8,所以(x-y-z)(x+y+z)=8,因为x+y+z=2,所以x-y-z=8÷2=4.
15.(广西来宾模拟)分解因式(4a+b)2-9b2,并求值,其中a+b=2,b-2a=3.
(4a+b)2-9b2=(4a+b+3b)(4a+b-3b)=(4a+4b)·(4a-2b)=8(a+b)(2a-b),
当a+b=2,b-2a=3时,
8(a+b)(2a-b)=8×2×(-3)=-48.
【母题P84T1】 把下列多项式分解因式:
(1)2x3-32x;(2)9a3b3-ab;(3)mx2-8mx+16m;(4)-x4+256;(5)-a+2a2-a3;(6)81a4-72a2b2+16b4.
(1)原式=2x(x2-16)=2x(x+4)(x-4);
(2)原式=ab(9a2b2-1)=ab(3ab+1)(3ab-1);
(3)原式=m(x2-8x+16)=m(x-4)2;
(4)原式=-(x2+16)(x2-16)=-(x2+16)(x+4)(x-4);
(5)原式=-a(1-2a+a2)=-a(1-a)2;
(6)原式=(3a+2b)2(3a-2b)2.
【变式1】 把下列多项式分解因式:
(1)a3-25a;
(2)-2a3b-2ab3+4a2b2.
(1)原式=a(a2-25)=a(a+5)(a-5);
(2)原式=-2ab(a2+b2-2ab)=-2ab(a-b)2.
【变式2】 把下列各式因式分解:
(1)16x4-8x2y2+y4;
(2)(x+2)(x+4)+1;
(3)(x2+4)2-16x2.
(1)16x4-8x2y2+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2;
(2)(x+2)(x+4)+1=x2+6x+8+1=x2+6x+9=(x+3)2;
(3)(x2+4)2-16x2=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4x+4)(x2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.
16.(应用意识&运算能力)阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步).
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的__C__;
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:__(x-2)4__;
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.
(2)(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9,
设x2-4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9=y2+8y+16=(y+4)2=(x2-4x+4)2=(x-2)4;
(3)设x2+2x=y,
原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4.8.4.2.公式法 第1课时 直接运用公式因式分解
知识点1 直接运用完全平方公式因式分解
1.下列各式中,能用完全平方公式因式分解的是( )
A.-2x2+4x-2 B.4x2+4x-1
C.2x2+4x+1 D.x2+xy+y2
2.把多项式x2-6x+9因式分解,结果正确的是( )
A.(x-3)2 B.(x-9)2
C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9)
3.因式分解:m2-mn+n2=__ __.
知识点2 直接运用平方差公式因式分解
4.下列各式中,不能用平方差公式因式分解的是( )
A.-a2-4b2 B.-1+25a2
C.-9a2 D.-a4+1
5.分解因式16-x2=( )
A.(4-x)(4+x)
B.(x-4)(x+4)
C.(8+x)(8-x)
D.(4-x)2
6.(广西南宁期中)分解因式4m2-1=__ __.
知识点3 综合运用公式因式分解
7.把2xy-x2-y2分解因式,结果正确的是( )
A.(x-y)2 B.(-x-y)2
C.-(x-y)2 D.-(x+y)2
8.将多项式x-x3进行因式分解的结果为( )
A.x(1-x2) B.x(1-x)2
C.x(1+x)(1-x) D.-x(x-1)2
9.分解因式x2(a-2)+(2-a)=__ __.
易错易混点 忽视分类讨论出错
10.(广西梧州期中)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,求m的值.
11.因式分解(x-1)2-9的结果是( )
A.(x-10)(x+8)
B.(x+8)(x+1)
C.(x-2)(x+4)
D.(x+2)(x-4)
12.(广西贵港期中)下列多项式中不能用公式法分解因式的是( )
A.a2+a+ B.2ab+a2+b2
C.-a2+25 D.-4-b2
13.若m+n=2,则m2-n2+4n的值是( )
A.2 B.6
C.4 D.8
14.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8时,x-y-z=__ __.
15.(广西来宾模拟)分解因式(4a+b)2-9b2,并求值,其中a+b=2,b-2a=3.
【母题P84T1】 把下列多项式分解因式:
(1)2x3-32x;(2)9a3b3-ab;(3)mx2-8mx+16m;(4)-x4+256;(5)-a+2a2-a3;(6)81a4-72a2b2+16b4.
【变式1】 把下列多项式分解因式:
(1)a3-25a;
(2)-2a3b-2ab3+4a2b2.
【变式2】 把下列各式因式分解:
(1)16x4-8x2y2+y4;
(2)(x+2)(x+4)+1;
(3)(x2+4)2-16x2.
16.(应用意识&运算能力)阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步).
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的__ __;
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:__ __;
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.