8.4.1．提公因式法
知识点1 因式分解的定义
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A.x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x
B．(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10
C．x2－8x＋16＝(x－4)2
D．6ab＝2a·3b
2．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
3．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：__ __．
知识点2 公因式
4．(广西百色月考)多项式8a3b2＋12ab3c的公因式是( )
A．abc B．4ab2
C．ab2 D．4ab2c
5．下列各组代数式中，没有公因式的是( )
A．ax＋y和x＋y B．2x和4y
C．a－b和b－a D．－x2＋xy和y－x
知识点3 提公因式法分解因式
6．若x2＋ax＝x(x＋4)，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
7．(广西北海月考)计算(－5)2 025＋(－5)2 026的结果是( )
A．4×52 025 B．－5
C．－4×52 025 D．－4
8．分解因式：a2－2 025a＝__ __．
易错易混点 提公因式时丢项
9．(广西梧州月考)把下列各式分解因式：
(1)24a2b－18ab2；
(2)m(a－3)＋2m2(3－a).
10．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为( )
A．24 B．70
C．40 D．140
11．(广西百色期中)若x＋2是x2－2x＋m的一个因式，则常数m的值为__ __．
12．因式分解：
(1)15a2b4＋5a2b2；
(2)－2a4＋4a2－2；
(3)25(a＋3b)2(x＋y)＋9(3a－b)2(－x－y).
13．(广西南宁模拟)已知：x2＋bx＋c(b，c为整数)是3(x4＋6x2＋25)及3x4＋4x2＋28x＋5的公因式，求b，c的值．
【母题P82T2】 把下列各式分解因式：
(1)np－nq；(2)－x3y－x2y2＋xy.
【变式1】 因式分解：
(1)8m2n＋2mn；
(2)xy(x－y)－x(y－x)2.
【变式2】 因式分解：
(1)3x2－6x＋12xy；
(2)(x－y)3＋4x(x－y)2.
14．(应用意识&运算能力)先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：1×2＝(1×2×3－0×1×2)＝(1×2×3)；
第2个等式：1×2＋2×3＝(1×2×3－0×1×3)＋(2×3×4－1×2×3)＝(1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3)＝(2×3×4)；
第3个等式：1×2＋2×3＋3×4＝(1×2×3－0×1×2)＋(2×3×4－1×2×3)＋(3×4×5－2×3×4)＝(1×2×3－0×1×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4)＝(3×4×5).
(1)依此规律，猜想：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝__ __(直接写出结果)；
(2)根据上述规律计算：10×11＋11×12＋12×13＋…＋29×30.8.4.1．提公因式法
知识点1 因式分解的定义
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( C )
A.x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x
B．(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10
C．x2－8x＋16＝(x－4)2
D．6ab＝2a·3b
2．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
3．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：__x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)__．
知识点2 公因式
4．(广西百色月考)多项式8a3b2＋12ab3c的公因式是( B )
A．abc B．4ab2
C．ab2 D．4ab2c
5．下列各组代数式中，没有公因式的是( A )
A．ax＋y和x＋y B．2x和4y
C．a－b和b－a D．－x2＋xy和y－x
知识点3 提公因式法分解因式
6．若x2＋ax＝x(x＋4)，则a的值为( C )
A．2 B．3
C．4 D．8
7．(广西北海月考)计算(－5)2 025＋(－5)2 026的结果是( A )
A．4×52 025 B．－5
C．－4×52 025 D．－4
8．分解因式：a2－2 025a＝__a(a－2025)__．
易错易混点 提公因式时丢项
9．(广西梧州月考)把下列各式分解因式：
(1)24a2b－18ab2；
(2)m(a－3)＋2m2(3－a).
(1)24a2b－18ab2＝6ab(4a－3b)；
(2)m(a－3)＋2m2(3－a)
＝m(a－3)－2m2(a－3)
＝m(a－3)(1－2m).
10．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为( B )
A．24 B．70
C．40 D．140
由题意，得2(a＋b)＝14，ab＝10，所以a＋b＝7，所以a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝10×7＝70.
11．(广西百色期中)若x＋2是x2－2x＋m的一个因式，则常数m的值为__－8__．
设该多项式的另一个因式是x＋n，得(x＋2)(x＋n)＝x2＋(n＋2)x＋2n，所以n＋2＝－2，解得n＝－4，所以m＝2n＝2×(－4)＝－8.
12．因式分解：
(1)15a2b4＋5a2b2；
(2)－2a4＋4a2－2；
(3)25(a＋3b)2(x＋y)＋9(3a－b)2(－x－y).
(1)15a2b4＋5a2b2＝5a2b2(3b2＋1)；
(2)－2a4＋4a2－2＝－2(a4－2a2＋1)＝－2(a2－1)2＝－2(a＋1)2(a－1)2；
(3)25(a＋3b)2(x＋y)＋9(3a－b)2(－x－y)＝25(a＋3b)2(x＋y)－9(3a－b)2(x＋y)＝(x＋y)[25(a＋3b)2－9(3a－b)2]＝(x＋y)[5(a＋3b)＋3(3a－b)][5(a＋3b)－3(3a－b)]＝(x＋y)·(14a＋12b)(18b－4a)＝4(x＋y)(7a＋6b)(9b－2a).
13．(广西南宁模拟)已知：x2＋bx＋c(b，c为整数)是3(x4＋6x2＋25)及3x4＋4x2＋28x＋5的公因式，求b，c的值．
因为二次三项式x2＋bx＋c既是3(x4＋6x2＋25)的一个因式，也是3x4＋4x2＋28x＋5的一个因式，
所以也必定是3(x4＋6x2＋25)与3x4＋4x2＋28x＋5差的一个因式，而3(x4＋6x2＋25)－(3x4＋4x2＋28x＋5)＝14(x2－2x＋5)，
所以x2－2x＋5＝x2＋bx＋c，所以b＝－2，c＝5.
【母题P82T2】 把下列各式分解因式：
(1)np－nq；(2)－x3y－x2y2＋xy.
(1)原式＝n(p－q)；
(2)原式＝－xy(x2＋xy－1).
【变式1】 因式分解：
(1)8m2n＋2mn；
(2)xy(x－y)－x(y－x)2.
(1)原式＝2mn(4m＋1).
(2)原式＝x(x－y)(y－x＋y)＝x(x－y)(2y－x).
【变式2】 因式分解：
(1)3x2－6x＋12xy；
(2)(x－y)3＋4x(x－y)2.
(1)3x2－6x＋12xy＝3x(x－2＋4y)；
(2)(x－y)3＋4x(x－y)2＝(x－y)2(x－y＋4x)＝(x－y)2(5x－y).
14．(应用意识&运算能力)先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：1×2＝(1×2×3－0×1×2)＝(1×2×3)；
第2个等式：1×2＋2×3＝(1×2×3－0×1×3)＋(2×3×4－1×2×3)＝(1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3)＝(2×3×4)；
第3个等式：1×2＋2×3＋3×4＝(1×2×3－0×1×2)＋(2×3×4－1×2×3)＋(3×4×5－2×3×4)＝(1×2×3－0×1×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4)＝(3×4×5).
(1)依此规律，猜想：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝__n(n＋1)(n＋2)__(直接写出结果)；
(2)根据上述规律计算：10×11＋11×12＋12×13＋…＋29×30.
(1)n(n＋1)(n＋2)
(2)原式＝(1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10＋…＋29×30)－(1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10)＝×29×30×31－×9×10×11＝8 990－330＝8 660.
