8．3 完全平方公式与平方差公式 第2课时 平方差公式
知识点1 平方差公式的运用
1．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是( C )
A.(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)
C．(m－3n)(m＋3n) D．(－x－y)(x＋y)
2．运用乘法公式计算(a＋3)(a－3)的结果是( C )
A．a2－6a＋9 B．a2－3a＋9
C．a2－9 D．a2－6a－9
3．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( B )
A．(x－2y)(2y＋x) B．(－2y－x)(x＋2y)
C．(x－2y)(－x－2y) D．(2y－x)(－x－2y)
4．下列计算正确的是( D )
A．(x＋9)(x－9)＝x2－9
B．(2x＋3)(2x－3)＝2x2－9
C．(2x＋3)(x－3)＝2x2－9
D．(5ab＋1)(5ab－1)＝25a2b2－1
5．(5a＋4b)( )＝25a2－16b2，括号内应填( B )
A．5a＋4b B．5a－4b
C．－5a＋4b D．－5a－4b
知识点2 利用平方差公式进行简便计算
6．(广西北海模拟)设n为某一自然数，代入代数式n3－n中计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( D )
A．521 B．1 413
C．3 721 D．1 716
由题意，可知原式＝n(n－1)(n＋1)，所以n3－n为三个连续的正整数的积，所以n3－n可写成三个连续自然数的积，其中一个因数必为偶数，所以n3－n是一个偶数．
7．计算：＝__2_035__．
8．计算2128－3×5×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)的结果是__1__．
原式＝2128－(24－1)×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)＝2128－(28－1)×(28＋1)×…×(264＋1)＝2128－(216－1)×…×(264＋1)＝2128－(2128－1)＝2128－2128＋1＝1.
易错易混点 忽视公式的逆运用
9．若m＋982－1＝1022，则m的值为( D )
A．100 B．799
C．800 D．801
已知m＋982－1＝1022，则m－1＝1022－982＝(102＋98)×(102－98)＝800，解得m＝801.
10．若N＝(3a＋4b)2－(3a－4b)2，则N表示的代数式是( C )
A.24ab B．－24ab
C．48ab D．－48ab
N＝(3a＋4b)2－(3a－4b)2＝[(3a＋4b)＋(3a－4b)][(3a＋4b)－(3a－4b)]＝6a×8b＝48ab.
11．(广西桂林期中)如图，点D，C，H，G分别在长方形ABJI的边上，点E，F在CD上，若正方形ABCD的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形EFGH的面积等于( B )
A．3 B．4
C．5 D．6
设大、小正方形边长为a，b，则有a2＝20，阴影部分面积为×(a＋b)(a－b)＝8，即a2－b2＝16，可得b2＝4，正方形EFGH的面积等于b2＝4，即所求面积是4.
12．化简：(2x＋y)(2x－y)＋(x－y)2.
(2x＋y)(2x－y)＋(x－y)2
＝4x2－y2＋x2－2xy＋y2
＝5x2－2xy.
13．(广西玉林期中)计算：
.
＝＝＝＝1 012.
14．(广西北海月考)解答下列各题：
(1)若m2－n2＝5，(m＋n)2＝9，求m－n的值；
(2)已知y(y＋1)－(y2＋2m)＝1，求y2－4my＋4m2－2y＋4m的值．
(1)因为(m＋n)2＝9，所以m＋n＝±3.
因为m2－n2＝5，所以(m－n)(m＋n)＝5，
当m＋n＝3时，m－n＝；
当m＋n＝－3时，m－n＝－，即m－n的值为±；
(2)因为y(y＋1)－(y2＋2m)＝1，所以y2＋y－y2－2m＝1，
所以y－2m＝1.
因为y2－4my＋4m2－2y＋4m
＝(y－2m)2－2(y－2m)
＝12－2×1
＝－1.
15．(广西南宁模拟)将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．
(1)若x＋y＝10，y2－x2＝20，求y－x的值；
(2)连接AG，EG，若x＋y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
(1)因为y2－x2＝20，即(y＋x)(y－x)＝20，而x＋y＝10，所以y－x＝2.
(2)由题意，得S阴影部分＝S正方形ABCD＋S正方形CEFG－S△ABG－S△EFG＝x2＋y2－x(x＋y)－y2＝x2－xy＋y2＝[(x＋y)2－2xy]－xy.
当x＋y＝8，xy＝14时，
原式＝×(64－28)－×14＝18－7＝11，
答：阴影部分的面积是11.
【母题P77T1】 利用乘法公式计算：
(1)(2a＋5b)(2a－5b)；(2)(x－3)(x＋3)；
(3)(y－2x)(－2x－y)；(4)(xy＋1)(xy－1).
(1)原式＝4a2－25b2；
(2)原式＝x2－9；
(3)原式＝4x2－y2；
(4)原式＝x2y2－1.
【变式1】 化简：(2x－y)(3x＋y)＋(y＋x)(y－x).
(2x－y)(3x＋y)＋(y＋x)(y－x)
＝6x2－3xy＋2xy－y2＋y2－x2
＝5x2－xy.
【变式2】 计算：(x＋y)·(y－x)·(－y2－x2).
原式＝(y2－x2)(－y2－x2)
＝－(y2－x2)(y2＋x2)
＝－y4＋x4.
16．(运算能力)计算：(1－)×(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)(1－).
(1－)×(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－)
＝(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×…×(1－)×(1＋)
＝××××××…××
＝×
＝.
17．(运算能力)观察下列各式．
(x－1)(x＋1)＝x2－1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1，
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律，可得(x－1)(xn-1＋…＋x＋1)＝__xn－1__(其中n为正整数)；
(2)计算：(3－1)×(350＋349＋348＋…＋32＋3＋1)；
(3)计算：①22 022＋22 021＋22 020＋…＋2＋1；
②(－2)2 025＋(－2)2 024＋(－2)2 023＋…＋(－2)＋1.
(2)根据(1)可知(3－1)×(350＋349＋348＋…＋32＋3＋1)＝351－1；
(3)①由(x－1)(xn-1＋…＋x＋1)＝xn－1，可得
(2－1)(22 022＋22 021＋22 020＋…＋2＋1)＝22 023－1，
所以22 022＋22 021＋22 020＋…＋2＋1＝22 023－1；
②由(x－1)(xn-1＋…＋x＋1)＝xn－1，可得
[(－2)－1][(－2)2 025＋(－2)2 024＋(－2)2 023＋…＋(－2)＋1]
＝(－2)2 026－1，
所以(－2)2 025＋(－2)2 024＋(－2)2 023＋…＋(－2)＋1
＝[(－2)2 026－1]÷(－2－1)
＝.8．3 完全平方公式与平方差公式 第2课时 平方差公式
知识点1 平方差公式的运用
1．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是( )
A.(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)
C．(m－3n)(m＋3n) D．(－x－y)(x＋y)
2．运用乘法公式计算(a＋3)(a－3)的结果是( )
A．a2－6a＋9 B．a2－3a＋9
C．a2－9 D．a2－6a－9
3．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( )
A．(x－2y)(2y＋x) B．(－2y－x)(x＋2y)
C．(x－2y)(－x－2y) D．(2y－x)(－x－2y)
4．下列计算正确的是( )
A．(x＋9)(x－9)＝x2－9
B．(2x＋3)(2x－3)＝2x2－9
C．(2x＋3)(x－3)＝2x2－9
D．(5ab＋1)(5ab－1)＝25a2b2－1
5．(5a＋4b)( )＝25a2－16b2，括号内应填( )
A．5a＋4b B．5a－4b
C．－5a＋4b D．－5a－4b
知识点2 利用平方差公式进行简便计算
6．(广西北海模拟)设n为某一自然数，代入代数式n3－n中计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A．521 B．1 413
C．3 721 D．1 716
7．计算：＝__ _ __．
8．计算2128－3×5×(24＋1)×(28＋1)×…×(264＋1)的结果是__ __．
易错易混点 忽视公式的逆运用
9．若m＋982－1＝1022，则m的值为( )
A．100 B．799
C．800 D．801
10．若N＝(3a＋4b)2－(3a－4b)2，则N表示的代数式是( )
A.24ab B．－24ab
C．48ab D．－48ab
11．(广西桂林期中)如图，点D，C，H，G分别在长方形ABJI的边上，点E，F在CD上，若正方形ABCD的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形EFGH的面积等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
12．化简：(2x＋y)(2x－y)＋(x－y)2.
13．(广西玉林期中)计算：
.
14．(广西北海月考)解答下列各题：
(1)若m2－n2＝5，(m＋n)2＝9，求m－n的值；
(2)已知y(y＋1)－(y2＋2m)＝1，求y2－4my＋4m2－2y＋4m的值．
15．(广西南宁模拟)将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．
(1)若x＋y＝10，y2－x2＝20，求y－x的值；
(2)连接AG，EG，若x＋y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
【母题P77T1】 利用乘法公式计算：
(1)(2a＋5b)(2a－5b)；(2)(x－3)(x＋3)；
(3)(y－2x)(－2x－y)；(4)(xy＋1)(xy－1).
【变式1】 化简：(2x－y)(3x＋y)＋(y＋x)(y－x).
【变式2】 计算：(x＋y)·(y－x)·(－y2－x2).
16．(运算能力)计算：(1－)×(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)(1－).
17．(运算能力)观察下列各式．
(x－1)(x＋1)＝x2－1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1，
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律，可得(x－1)(xn-1＋…＋x＋1)＝__ __(其中n为正整数)；
(2)计算：(3－1)×(350＋349＋348＋…＋32＋3＋1)；
(3)计算：①22 022＋22 021＋22 020＋…＋2＋1；
②(－2)2 025＋(－2)2 024＋(－2)2 023＋…＋(－2)＋1.
