8．3 完全平方公式与平方差公式 第1课时 完全平方公式
知识点1 直接运用完全平方公式计算
1．运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是( )
A.x2＋9 B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
2．下列各式中计算正确的是( )
A．(a－b)2＝a2－b2
B．(a＋2b)2＝a2＋2ab＋4b2
C．(a2＋1)2＝a4＋2a＋1
D．(－m－n)2＝m2＋2mn＋n2
3．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2，根据这个定义，代数式(x＋y)☆y可以化简为( )
A．xy＋y2 B．xy－y2
C．x2＋2xy D．x2
4．计算：
(1)(3x＋4y)2＝(__ __)2＋__ __＋(__ __)2＝__ __；
(2)(－3＋2a)2＝(__ __)2＋__ __＋(__ __)2＝__ __；
(3)(2a－b)2＝(__ __)2＋__ __＋(__ __)2＝__ __；
(4)(－3a－2b)2＝[－(3a＋2b)]2＝(__ __)2＝__ __.
5．一个边长为a的正方形边长增加2后，面积增加了__ __.
知识点2 完全平方公式的灵活运用
6．已知a＋b＝5，ab＝－2，则a2－ab＋b2的值是( )
A．30 B．31
C．32 D．33
7．设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A＝( )
A．30ab B．60ab
C．15ab D．12ab
8．运用完全平方公式计算：
(1)2972；(2)10.32.
(2)10.32＝(10＋0.3)2＝102＋2×10×0.3＋0.32＝106.09.
易错易混点 忽视分类讨论出错
9．(广西百色月考)若4y2－my＋16可以配成一个完全平方公式，求m的值．
10．若m，n是长方形的长和宽，且(m＋n)2＝9，(m－n)2＝1，则这个长方形的面积是( )
A．1 B．2
C．3 D．6
11．(广西贵港期中)如图，在边长为9的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b(a＜9，b＜9)的长方形，若长方形的周长为24，面积为35.75，则图中阴影部分的面积S1＋S2＋S3为( )
A．18.5 B．21.5
C．27.5 D．35.5
12．已知实数a，b满足a2＋b2＝40，ab＝12，则a－b的值为__ __．
13．老师在黑板上写了一道题目，针对这道题目小涛和笑笑展开下面的讨论．
题目：已知x＝－1，求代数式(x＋y－3)·(x＋y＋3)－(2x＋y)(y－4x)－x·4y的值.
(1)你认为谁说得对？并说明理由；
(2)如果x＝－2，y＝5，求这个代数式的值.
14．(广西防城港模拟)某单位办公用房的平面结构示意图如图所示(长度单位：米)，图形中的四边形均是长方形或正方形．
(1)用含x，y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积．
(2)如果x＋y＝5，xy＝7，会议厅比会客室大多少平方米？
【母题P76T1】 利用乘法公式计算：
(1)(3x＋1)2；(2)(a－3b)2；
(3)(2x＋)2；(4)(－2x＋3y)2.
【变式1】 计算：(2x－y)2＋(－3x－y)2.
【变式2】 计算：
(2a＋b)(a－2b)＋(2a－b)2.
15．(应用意识&运算能力)【阅读理解】
“若x满足(80－x)(x－60)＝30，求(80－x)2＋(x－60)2的值”．
解：设(80－x)＝a，(x－60)＝b，
则(80－x)(x－60)＝ab＝30，a＋b＝(80－x)＋(x－60)＝20，
所以(80－x)2＋(x－60)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝202－2×30＝340.
【解决问题】
(1)若x满足(30－x)(x－20)＝－10，求(30－x)2＋(x－20)2的值．
(2)若x满足(2 027－x)2＋(2 025－x)2＝4 054，求(2 027－x)(2 025－x)的值．
16．(应用意识&运算能力)阅读下列材料：
若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值．
设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5，
所以(4－x)2＋(x－9)2＝(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17.
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(5－x)(x－2)＝2，求(5－x)2＋(x－2)2的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形．
①MF＝__ __，DF＝__ __；(用含x的式子表示)
②求阴影部分的面积．8．3 完全平方公式与平方差公式 第1课时 完全平方公式
知识点1 直接运用完全平方公式计算
1．运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是( C )
A.x2＋9 B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
2．下列各式中计算正确的是( D )
A．(a－b)2＝a2－b2
B．(a＋2b)2＝a2＋2ab＋4b2
C．(a2＋1)2＝a4＋2a＋1
D．(－m－n)2＝m2＋2mn＋n2
3．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2，根据这个定义，代数式(x＋y)☆y可以化简为( C )
A．xy＋y2 B．xy－y2
C．x2＋2xy D．x2
4．计算：
(1)(3x＋4y)2＝(__3x__)2＋__24xy__＋(__4y__)2＝__9x2＋24xy＋16y2__；
(2)(－3＋2a)2＝(__－3__)2＋__－12a__＋(__2a__)2＝__9－12a＋4a2__；
(3)(2a－b)2＝(__2a__)2＋__－4ab__＋(__b__)2＝__4a2－4ab＋b2__；
(4)(－3a－2b)2＝[－(3a＋2b)]2＝(__3a＋2b__)2＝__9a2＋12ab＋4b2__.
5．一个边长为a的正方形边长增加2后，面积增加了__4a＋4__.
知识点2 完全平方公式的灵活运用
6．已知a＋b＝5，ab＝－2，则a2－ab＋b2的值是( B )
A．30 B．31
C．32 D．33
因为a＋b＝5，ab＝－2，所以a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝25＋6＝31.
7．设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A＝( B )
A．30ab B．60ab
C．15ab D．12ab
8．运用完全平方公式计算：
(1)2972；(2)10.32.
(1)2972＝(300－3)2＝3002－2×3×300＋32＝90 000－1 800＋9＝88 209；
(2)10.32＝(10＋0.3)2＝102＋2×10×0.3＋0.32＝106.09.
易错易混点 忽视分类讨论出错
9．(广西百色月考)若4y2－my＋16可以配成一个完全平方公式，求m的值．
因为4y2－my＋16是一个完全平方式，
所以－mx＝±4·x·4，解得m＝±16.
10．若m，n是长方形的长和宽，且(m＋n)2＝9，(m－n)2＝1，则这个长方形的面积是( B )
A．1 B．2
C．3 D．6
因为(m＋n)2＝9，(m－n)2＝1，所以m2＋2mn＋n2＝9，①m2－2mn＋n2＝1，②所以①－②，得4mn＝8，解得mn＝2.因为m，n是长方形的长和宽，所以这个长方形的面积是2.
11．(广西贵港期中)如图，在边长为9的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b(a＜9，b＜9)的长方形，若长方形的周长为24，面积为35.75，则图中阴影部分的面积S1＋S2＋S3为( C )
A．18.5 B．21.5
C．27.5 D．35.5
由题意，得a＋b＝＝12，ab＝37.75，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝122－2×35.75＝72.5.因为S1＝(9－b)2，S2＝(a＋b－9)2＝(12－9)2＝9，S3＝(9－a)2，所以S1＋S2＋S3＝(9－b)2＋9＋(9－a)2＝81－18b＋b2＋9＋81－18a＋a2＝171＋a2＋b2－18(a＋b)＋9＝171＋72.5－18×12＝27.5.
12．已知实数a，b满足a2＋b2＝40，ab＝12，则a－b的值为__±4__．
因为a2＋b2＝40，ab＝12，所以(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝40－2×12＝40－24＝16，所以a－b＝±＝±4.
13．老师在黑板上写了一道题目，针对这道题目小涛和笑笑展开下面的讨论．
题目：已知x＝－1，求代数式(x＋y－3)·(x＋y＋3)－(2x＋y)(y－4x)－x·4y的值.
(1)你认为谁说得对？并说明理由；
(2)如果x＝－2，y＝5，求这个代数式的值.
(1)笑笑说得对．理由如下．
原式＝(x＋y)2－9－(2xy－8x2＋y2－4xy)－4xy
＝x2＋2xy＋y2－9－2xy＋8x2－y2＋4xy－4xy
＝9x2－9，
所以经过化简，原式＝9x2－9，只与x有关．
(2)将x＝－2代入上式，得9×(－2)2－9＝27.
14．(广西防城港模拟)某单位办公用房的平面结构示意图如图所示(长度单位：米)，图形中的四边形均是长方形或正方形．
(1)用含x，y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积．
(2)如果x＋y＝5，xy＝7，会议厅比会客室大多少平方米？
(1)由图形，得会客室的长为(2x＋y)－(x＋y)＝x米，宽为(x－y)米，
所以会客室的面积为x(x－y)＝x2－xy(平方米).
会议厅的长为(2x＋y)米，宽为2x＋y－x＝x＋y(米)，
所以会议厅的面积为(2x＋y)(x＋y)＝2x2＋3xy＋y2(平方米).
(2)由题意，得2x2＋3xy＋y2－(x2－xy)＝2x2＋3xy＋y2－x2＋xy＝x2＋4xy＋y2.
因为x＋y＝5，所以(x＋y)2＝25，
所以x2＋2xy＋y2＝25.
因为xy＝7，
x2＋4xy＋y2＝x2＋2xy＋y2＋2xy＝25＋14＝39(平方米).
答：会议厅比会客室大39平方米．
【母题P76T1】 利用乘法公式计算：
(1)(3x＋1)2；(2)(a－3b)2；
(3)(2x＋)2；(4)(－2x＋3y)2.
(1)原式＝9x2＋6x＋1；
(2)原式＝a2－6ab＋9b2；
(3)原式＝4x2＋2xy＋；
(4)原式＝4x2－12xy＋9y2.
【变式1】 计算：(2x－y)2＋(－3x－y)2.
原式＝4x2－6xy＋y2＋9x2＋4xy＋y2＝13x2－2xy＋y2.
【变式2】 计算：
(2a＋b)(a－2b)＋(2a－b)2.
(2a＋b)(a－2b)＋(2a－b)2
＝2a2－4ab＋ab－2b2＋4a2－4ab＋b2
＝6a2－7ab－b2.
15．(应用意识&运算能力)【阅读理解】
“若x满足(80－x)(x－60)＝30，求(80－x)2＋(x－60)2的值”．
解：设(80－x)＝a，(x－60)＝b，
则(80－x)(x－60)＝ab＝30，a＋b＝(80－x)＋(x－60)＝20，
所以(80－x)2＋(x－60)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝202－2×30＝340.
【解决问题】
(1)若x满足(30－x)(x－20)＝－10，求(30－x)2＋(x－20)2的值．
(2)若x满足(2 027－x)2＋(2 025－x)2＝4 054，求(2 027－x)(2 025－x)的值．
(1)设30－x＝a，x－20＝b，则ab＝－10，a＋b＝10，
所以(30－x)2＋(x－20)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝102－2×(－10)＝120.
(2)设2 027－x＝m，2 025－x＝n，则m2＋n2＝4 054，m－n＝2，
所以(2 027－x)(2 025－x)＝mn＝＝＝2 025.
16．(应用意识&运算能力)阅读下列材料：
若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值．
设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5，
所以(4－x)2＋(x－9)2＝(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17.
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(5－x)(x－2)＝2，求(5－x)2＋(x－2)2的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形．
①MF＝__DE＝x－1__，DF＝__x－3__；(用含x的式子表示)
②求阴影部分的面积．
(1)设5－x＝a，x－2＝b，则(5－x)(x－2)＝ab＝2，a＋b＝(5－x)＋(x－2)＝3，
即(5－x)2＋(x－2)2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×2＝5；
(2)①MF＝DE＝x－1，DF＝x－3；
②(x－1)(x－3)＝48，
阴影部分的面积＝FM2－DF2＝(x－1)2－(x－3)2.
设x－1＝a，x－3＝b，则(x－1)(x－3)＝ab＝48，a－b＝(x－1)－(x－3)＝2，
所以(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝22＋4×48＝196，
所以a＋b＝±14.
又因为a＋b＞0，
所以a＋b＝14，
所以(x－1)2－(x－3)2＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝14×2＝28，
即阴影部分的面积是28.
