8.4.2．公式法 第2课时 分组分解法因式分解
知识点 分组分解法因式分解
1．(广西北海模拟)多项式x2－(y2－4y＋4)分解因式结果正确的是( )
A.(x＋y＋2)(x－y－2)
B．(x＋y－2)(x－y＋2)
C．(x＋y－2)(x＋y＋2)
D．(x－y＋2)(x＋y＋2)
2．将多项式x2－y2＋3x－3y分解因式的结果为( )
A．(x＋y＋3)(x－y) B．(x－y－3)(x－y)
C．(x＋y－3)(x－y) D．(x－y＋3)(x－y)
原式＝(x2－y2)＋(3x－3y)＝(x＋y)(x－y)＋3(x－y)＝(x－y)(x＋y＋3).
3．已知整数a，b满足2ab＋4a＝b＋3，则a＋b的值是( )
A．0或－3 B．1
C．2或3 D．－2
4．(广西钦州模拟)将多项式(x2－x＋)－y2分解因式的结果是( )
A．(x－)2－y2
B．(x＋y－)(x＋y＋)
C．(x＋y－)(x－y－)
D．(x－y－)(x－y＋)
5．分解因式(x2－1)－3(x－1)＝__ __．
6．分解因式a2－2ab＋b2－4＝__ __．
易错易混点 因式分解中分组出错
7．用分组分解法将x2－xy＋2y－2x分解因式，下列分组不恰当的是( )
A．(x2－2x)＋(2y－xy)
B．(x2－xy)＋(2y－2x)
C．(x2＋2y)＋(－xy－2x)
D．(x2－2x)－(xy－2y)
8．(广西南宁期中)乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－1，x＋1，a＋b，x2－1，a2－b2分别对应下列六个字：宁、爱、我、南、丽、美，现将a2(x2－1)－b2(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．美丽 B．美丽南宁
C．我爱南宁 D．南宁美
9．(广西梧州模拟)多项式x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz分解因式后的结果是( )
A．(y－z)(x＋y)(x－z)
B．(y－z)(x－y)(x＋z)
C．(y＋z)(x－y)(x＋z)
D．(y＋z)(x＋y)(x－z)
10．分解因式：a2b＋ab2－a－b＝__ __．
11．(广西南宁期中)定义一种运算：〈a，b〉＝ab＋2a＋3b，例如〈－2，1〉＝－2－4＋3＝－3，则〈a，b〉＋6要进行分解因式的结果为__ __；如果x，y都是整数，且〈x，y〉＝1，那么x＋y的值为__ __．
12．(广西桂林模拟)解答下列问题．
(1)分解因式16x2－8x＋2y－y2.
(2)已知a，b，c满足a2－2ac＋c2＝ab－bc，且a≠c，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
【母题P86练习T1】 把下列各式分解因式：
(1)4a2－b2＋4a－2b；(2)x2－2xy＋y2－1；
(3)9x2＋6x＋2y－y2.
【变式1】 因式分解：
(1)mn2－2mn＋2n－4；
(2)x2－2xy＋y2－16；
(3)4x2－4x－y2＋4y－3.
【变式2】 分解因式：
(1)(5a＋3b)2－(3a＋5b)2；
(2)x2－2x－4y－4y2.
13．(应用意识&运算能力)【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：a2＋6a＋8.
解：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2).
②求a2＋6a＋8的最小值．
解：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1.
因为(a＋3)2≥0，
所以(a＋3)2－1≥－1，
即a2＋6a＋8的最小值为－1.
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋4a＋__ __．
(2)利用上述方法进行因式分解：a2－10a＋21.
(3)求4x2＋4x＋5的最小值．8.4.2．公式法 第2课时 分组分解法因式分解
知识点 分组分解法因式分解
1．(广西北海模拟)多项式x2－(y2－4y＋4)分解因式结果正确的是( B )
A.(x＋y＋2)(x－y－2)
B．(x＋y－2)(x－y＋2)
C．(x＋y－2)(x＋y＋2)
D．(x－y＋2)(x＋y＋2)
2．将多项式x2－y2＋3x－3y分解因式的结果为( A )
A．(x＋y＋3)(x－y) B．(x－y－3)(x－y)
C．(x＋y－3)(x－y) D．(x－y＋3)(x－y)
原式＝(x2－y2)＋(3x－3y)＝(x＋y)(x－y)＋3(x－y)＝(x－y)(x＋y＋3).
3．已知整数a，b满足2ab＋4a＝b＋3，则a＋b的值是( A )
A．0或－3 B．1
C．2或3 D．－2
由2ab＋4a＝b＋3，得2ab＋4a－b－2＝1，所以(2a－1)·(b＋2)＝1.因为2a－1，b＋2都为整数，所以或解得或所以a＋b＝0或－3.
4．(广西钦州模拟)将多项式(x2－x＋)－y2分解因式的结果是( C )
A．(x－)2－y2
B．(x＋y－)(x＋y＋)
C．(x＋y－)(x－y－)
D．(x－y－)(x－y＋)
(x2－x＋)－y2＝(x－)2－y2＝(x＋y－)(x－y－).
5．分解因式(x2－1)－3(x－1)＝__(x－1)(x－2)__．
(x2－1)－3(x－1)＝(x＋1)(x－1)－3(x－1)＝(x－1)(x－2).
6．分解因式a2－2ab＋b2－4＝__(a－b＋2)(a－b－2)__．
a2－2ab＋b2－4＝(a－b)2－4＝(a－b＋2)(a－b－2).
易错易混点 因式分解中分组出错
7．用分组分解法将x2－xy＋2y－2x分解因式，下列分组不恰当的是( C )
A．(x2－2x)＋(2y－xy)
B．(x2－xy)＋(2y－2x)
C．(x2＋2y)＋(－xy－2x)
D．(x2－2x)－(xy－2y)
选项A，x2－xy＋2y－2x＝(x2－2x)＋(2y－xy)＝x(x－2)－y(x－2)＝(x－2)(x－y)，A分组正确，故A不符合题意．选项B，x2－xy＋2y－2x＝(x2－xy)＋(2y－2x)＝(x2－xy)－(2x－2y)＝x(x－y)－2(x－y)＝(x－y)(x－2)，B分组正确，故B不符合题意．选项C，x2－xy＋2y－2x＝(x2＋2y)＋(－xy－2x)无法进行分组分解，C分组错误，故C符合题意．选项D，x2－xy＋2y－2x＝(x2－2x)－(xy－2y)＝x(x－2)－y(x－2)＝(x－2)(x－y)，D分组正确，故D不符合题意.
8．(广西南宁期中)乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－1，x＋1，a＋b，x2－1，a2－b2分别对应下列六个字：宁、爱、我、南、丽、美，现将a2(x2－1)－b2(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( C )
A．美丽 B．美丽南宁
C．我爱南宁 D．南宁美
因为a2(x2－1)－b2(x2－1)＝(x2－1)(a2－b2)＝(x＋1)(x－1)(a＋b)(a－b)，又因为x＋1，x－1，a＋b，a－b，分别对应的四个字为我、爱、南、宁，所以结果呈现的密码信息是我爱南宁．
9．(广西梧州模拟)多项式x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz分解因式后的结果是( A )
A．(y－z)(x＋y)(x－z)
B．(y－z)(x－y)(x＋z)
C．(y＋z)(x－y)(x＋z)
D．(y＋z)(x＋y)(x－z)
x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz＝(y－z)x2＋(z2＋y2－2yz)x＋z2y－y2z＝(y－z)x2＋(y－z)2x－yz(y－z)＝(y－z)[x2＋(y－z)x－yz]＝(y－z)(x＋y)(x－z).
10．分解因式：a2b＋ab2－a－b＝__(ab－1)(a＋b)__．
a2b＋ab2－a－b＝ab(a＋b)－(a＋b)＝(ab－1)(a＋b).
11．(广西南宁期中)定义一种运算：〈a，b〉＝ab＋2a＋3b，例如〈－2，1〉＝－2－4＋3＝－3，则〈a，b〉＋6要进行分解因式的结果为__(b＋2)(a＋3)__；如果x，y都是整数，且〈x，y〉＝1，那么x＋y的值为__3或－13__．
〈a，b〉＋6＝ab＋2a＋3b＋6＝a(b＋2)＋3(b＋2)；〈x，y〉＝xy＋2x＋3y＝1.因为xy＋2x＋3y＋6＝7，所以(y＋2)(x＋3)＝7.因为x，y都是整数，所以y＋2＝1，x＋3＝7或y＋2＝－1，x＋3＝－7，所以y＝－1，x＝4或y＝－3，x＝－10，所以x＋y＝3或x＋y＝－13.
12．(广西桂林模拟)解答下列问题．
(1)分解因式16x2－8x＋2y－y2.
(2)已知a，b，c满足a2－2ac＋c2＝ab－bc，且a≠c，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
(1)16x2－8x＋2y－y2＝(16x2－y2)－(8x－2y)＝(4x＋y)(4x－y)－2(4x－y)＝(4x－y)(4x＋y－2)；
(2)a＝b＋c.
理由：因为a2－2ac＋c2＝ab－bc，所以a2－2ac＋c2－ab＋bc＝0，
所以(a－c)2－b(a－c)＝0，所以(a－c)(a－c－b)＝0，
所以a－c＝0或a－c－b＝0.因为a≠c，所以a＝b＋c.
【母题P86练习T1】 把下列各式分解因式：
(1)4a2－b2＋4a－2b；(2)x2－2xy＋y2－1；
(3)9x2＋6x＋2y－y2.
(1)原式＝(2a＋b)(2a－b)＋2(2a－b)
＝(2a－b)(2a＋b＋2)；
(2)原式＝(x－y)2－1＝(x－y＋1)(x－y－1)；
(3)原式＝(9x2－y2)＋(6x＋2y)
＝(3x＋y)(3x－y)＋2(3x＋y)
＝(3x＋y)(3x－y＋2).
【变式1】 因式分解：
(1)mn2－2mn＋2n－4；
(2)x2－2xy＋y2－16；
(3)4x2－4x－y2＋4y－3.
(1)mn2－2mn＋2n－4
＝(mn2－2mn)＋(2n－4)
＝mn(n－2)＋2(n－2)
＝(n－2)(mn＋2)；
(2)x2－2xy＋y2－16
＝(x2－2xy＋y2)－16
＝(x－y)2－42
＝(x－y－4)(x－y＋4)；
(3)4x2－4x－y2＋4y－3
＝4x2－4x＋1－y2＋4y－4
＝(4x2－4x＋1)－(y2－4y＋4)
＝(2x－1)2－(y－2)2
＝(2x－1－y＋2)(2x－1＋y－2)
＝(2x－y＋1)(2x＋y－3).
【变式2】 分解因式：
(1)(5a＋3b)2－(3a＋5b)2；
(2)x2－2x－4y－4y2.
(1)(5a＋3b)2－(3a＋5b)2
＝[(5a＋3b)＋(3a＋5b)][(5a＋3b)－(3a＋5b)]
＝(5a＋3b＋3a＋5b)(5a＋3b－3a－5b)
＝(8a＋8b)(2a－2b)
＝16(a＋b)(a－b)；
(2)x2－2x－4y－4y2
＝x2－2x＋1－1－4y－4y2
＝(x2－2x＋1)－(1＋4y＋4y2)
＝(x－1)2－(1＋2y)2
＝[(x－1)＋(1＋2y)][(x－1)－(1＋2y)]
＝(x－1＋1＋2y)(x－1－1－2y)
＝(x＋2y)(x－2y－2).
13．(应用意识&运算能力)【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：a2＋6a＋8.
解：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2).
②求a2＋6a＋8的最小值．
解：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1.
因为(a＋3)2≥0，
所以(a＋3)2－1≥－1，
即a2＋6a＋8的最小值为－1.
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋4a＋__4__．
(2)利用上述方法进行因式分解：a2－10a＋21.
(3)求4x2＋4x＋5的最小值．
(2)a2－10a＋21＝a2－10a＋25－4
＝(a－5)2－4
＝(a－5＋2)(a－5－2)
＝(a－3)(a－7).
(3)4x2＋4x＋5＝4x2＋4x＋1＋4＝(2x＋1)2＋4.
因为(2x＋1)2≥0，
所以(2x＋1)2＋4≥4，
即4x2＋4x＋5的最小值为4.
