第十八章平行四边形单元测试（含答案）

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第十八章平行四边形单元测试人教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝80°，则∠A等于（　　）
A．40° B．80° C．100° D．140°
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB＝DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
3．如图，在 ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件可以是（　　）
A．∠BAD＝∠BDA B．AB＝DE
C．DF＝EF D．DE平分∠ADB
4．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
5．直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则斜边上的中线长是（　　）
A．10 B．5 C．3.5 D．2.5
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
7．如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
8．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，MN过 ABCD对角线的交点O，交AD于点M，交BC于点N，若 ABCD的周长为20，OM＝2，则四边形ABNM的周长为　 　．
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是 　 　．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2，∠AOB＝60°，点E为BD上一点，OE＝1．连接AE，则AE的长为　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF⊥AE于F，且DF＝DC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长．
14．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CAD＝∠B，延长AD到点E，使DE＝AD，过点E作EF∥CB，交AC的延长线于点F．
（1）求证：点C是AF的中点；
（2）若EF＝CF＝2，求BD的长．
15．如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上的两点（点E在点F的上方），AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当DE⊥AC时，且DE＝3，DF＝5，求B，D两点之间的距离．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长．
17．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
18．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
19．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
20．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D C D A D A
二、填空题
9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，
∴CD+AD＝10，∠OAM＝∠OCN，
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴OM＝ON＝2，AM＝CN，
则四边形ABNM的周长＝BN+AB+AM+MN＝（BN+AM）+AB+MN＝BC+AB+MN＝10+4＝14．
故答案为：14．
10．【解答】解：∵∠AFC＝90°，
∴△AFC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，AC＝12，
∴，
∵F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF，
∴，
∴DE＝DF+EF＝8，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴BC＝2DE＝16，
故答案为：16．
11．【解答】解：当点E在OB上或在OD上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OBAC，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
①当点E在OB上时，OE＝1，
∴BE＝1，
∴E是OB的中点，
∴AE⊥OB，
∴OA＝2，
∴AE；
②当点E在OD上时为E′，
∴EE′＝2，
∴AE′．
则AE的长为：或．
故答案为：或．
12．【解答】解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝15，BC＝8，
∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°，
∴，
∵PF∥BC，
∴∠PFD+∠ADC＝180°，
∴∠PFD＝90°，
∵PE⊥AD，
∴∠PED＝∠EDF＝∠PFD＝90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF＝DP，
要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，
∵，
∴，
故EF的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∵DF＝DC，
∴AB＝DF，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA，
∴BE＝AF＝4，AD＝BC，
∵∠B＝90°，
∴AE5，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
14．【解答】（1）证明：∵EF∥CB，DE＝AD，
∴AC＝CF，即点C是AF的中点；
（2）解：∵DE＝AD，AC＝CF，
∴DE是△AEF的中位线，
∴CDEF＝1，
∵EF∥CB，
∴∠F＝∠ACB，∠E＝∠ADC，
∵EF＝CF，
∴EF＝AC，
在△FAE和△BCA中，
，
∴△FAE≌△BCA（AAS），
∴BC＝AF＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3．
15．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，
由题意可得：OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE⊥AC，DE＝3，DF＝5，
∴，
由题意可得：，BD＝2OD，
∴，
∴B，D两点之间的距离为．
16．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由题意可得：
∴，，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵DP∥AC，CP∥BD，∠COD＝90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴OP＝CD＝5．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
18．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF1．
∴OF1．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF，
∵EF＝CE＝1，
∴KE，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE，
故点A，E之间的距离为5．
20．【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO＝45°，
∴∠DAO＝∠ADO＝45°，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，
∴AC BD＝72，
∴4BO2＝72，
∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，
∴AC＝12，
∵BF＝4，
∴OF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积AC EF＝24，
在Rt△AOE中，AE2，
设点F到线段AE的距离为h，
∴AE h＝24，
即2h＝24，
∴h．
即点F到线段AE的距离为．
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