9．3 分式方程 第1课时 分式方程及解法
知识点1 分式方程的定义
1．下列方程属于分式方程的是( B )
A.＋5＝0 B．＋2＝0
C．3x2＋x－3＝0 D．－x＝1
2．下列方程：(1)＝1；(2)＝2；(3)＝；(4)＋＝5，其中是分式方程的有( D )
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(3)(4) D．(2)(3)(4)
知识点2 分式方程的解与增根
3．(广西北海月考)方程＝的解为( D )
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝－2 D．x＝1
＝，方程两边同乘x(x＋3)，得x＋3＝4x，解得x＝1，检验：当x＝1时，x(x＋3)≠0，所以x＝1是原分式方程的解.
4．已知关于x的方程＝的解是x＝－2，则a的值为( B )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
将x＝－2代入＝，得＝，所以2a＝a＋1，解得a＝1，经检验，当a＝1时，2a＋2≠0，所以a＝1是原分式方程的解．
5．若分式方程＝2－有增根，则m的值为( D )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
去分母，得3x＝2(x－1)－mx.因为分式方程有增根，所以x－1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程，得3＝－m，所以m＝－3.
知识点3 分式方程的解法
6．(广西桂林期末)解分式方程－2＝时，去分母正确的是( B )
A．1－2(x－2)＝1＋x
B．1－2(x－2)＝－1＋x
C．1－2(x－2)＝－1－x
D．－1＋2(2－x)＝1＋x
－2＝，去分母，方程两边同时乘(x－2)，得1－2(x－2)＝－1＋x.
7．定义新运算：a b＝，则方程x?2＝2的解为__x＝__．
因为x?2＝2，所以＝2，解得x＝，经检验，x＝是原分式方程的解．
8．当x＝__3__时，分式的值为1.
去分母，得2＝x－1，解得x＝3.检验：当x＝3时，x－1≠0，所以x＝3是原分式方程的解．
易错易混点 混淆分式方程有增根与无解的区别
9．若关于x的方程＝＋1无解，求a的值．
＝＋1，
去分母，得2＝ax＋x－1，
移项，得ax＋x＝2＋1，
合并同类项，得(a＋1)x＝3.
因为关于x的方程＝＋1无解，
所以a＋1＝0或x－1＝0，即＝1，
所以a＝－1或a＝2.
10．(广西崇左模拟)关于x的方程x＋＝a＋的两个解为x1＝a，x2＝，x＋＝a＋的两个解为x1＝a，x2＝；x＋＝a＋的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x＋＝a＋的两个解为( D )
A．x1＝a，x2＝ B．x1＝a，x2＝
C．x1＝a，x2＝ D．x1＝a，x2＝
整理已知方程得(x－1)＋＝(a－1)＋，根据题中方程的解，得所求方程的解为x－1＝a－1，x－1＝，解得x1＝a，x2＝，经检验，x1＝a，x2＝都为分式方程的解．
11．(广西贵港模拟)若关于x的方程－＝0的解为负数，则m的取值范围是( B )
A．m＜2 B．m＜2且m≠0
C．m＞2 D．m＞2且m≠4
－＝0，方程两边同时乘x(x＋1)，得mx－2(x＋1)＝0，去括号，得mx－2x－2＝0，解得x＝.因为解为负数，所以＜0，所以m＜2.因为x≠0，x≠－1，所以m≠0，所以m的取值范围为m＜2且m≠0.
12．(广西柳州模拟)观察分析下列方程：①x＋＝3；②x＋＝5；③x＋＝7，请利用它们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是__x＋＝n＋(n＋1)__．
因为第1个方程为x＋＝1＋2，第2个方程为x＋＝2＋3，第3个方程为x＋＝3＋4，…，所以第n个方程为x＋＝n＋(n＋1).
13．定义：a*b＝.
解方程：2*(x＋3)＝1*(2x).
由题意，得＝，
去分母，得4x＝x＋3，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0，
故该分式方程的解为x＝1.
14．(广西梧州模拟)已知关于x的分式方程＋＝.
(1)若方程的增根为x＝1，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
去分母，得2(x＋2)＋mx＝x－1，
整理，得(m＋1)x＝－5.
(1)因为方程的增根为x＝1，所以将x＝1代入(m＋1)x＝－5，
解得m＝－6；
(2)因为方程无解，所以当m＋1≠0时，(x－1)(x＋2)＝0，所以x＝1或x＝－2.
当x＝1时，m＝－6；
当x＝－2时，将x＝－2代入(m＋1)x＝－5，
解得m＝；
当m＋1＝0时，m＝－1，
所以满足条件的m的值有或－6或－1.
【母题P117T1】 解方程：
(1)＝；
(2)1－＝.
(1)去分母，得5x－10＝3x，
移项、合并同类项，得2x＝10，
系数化为1，得x＝5，
检验：当x＝5时，x(x－2)＝15≠0，
所以原分式方程的根为x＝5；
(2)去分母，得x－4－1＝3－x，
移项、合并同类项，得2x＝8，
系数化为1，得x＝4，
检验：当x＝4时，x－4＝0，
所以x＝4是原分式方程的增根，应舍去，
所以原方程无解．
【变式1】 解方程：
(1)＋＝；
(2)＋＝.
(1)＋＝，
去分母，得3x＋2＝2(x－1)，
去括号，得3x＋2＝2x－2，
移项，得3x－2x＝－2－2，
合并同类项、系数化为1，得x＝－4，
检验：当x＝－4时3(－4－3)≠0，
故x＝－4是原分式方程的根；
(2)＋＝，
即＋＝，
去分母，得7(x－1)＋3(x＋1)＝6x，
去括号，得7x－7＋3x＋3＝6x，
移项、合并同类项，得4x＝4，
系数化为1，得x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的增根，
故原分式方程无解．
【变式2】 若关于x的分式方程＋＝1无解，求m的值．
＋＝1，
去分母，得mx－1－1＝x－3，
所以(m－1)x＝－1.
因为关于x的分式方程无解，所以当m－1＝0时，m＝1；
当m－1≠0时，x－3＝0，所以x＝3，
当x＝3时，得m＝.
综上，m的值为1或.
15．(应用意识&运算能力)阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，
解得y＝±2，
经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解，所以当y＝2时，＝2，解得x＝－1，
当y＝－2时，＝－2，解得x＝，经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－1或x＝.上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为__－＝0__；
(2)利用上述方法解方程：－＝0；
(3)模仿上述换元法解方程组：
(1)－＝0
(2)设y＝，则原方程化为y－＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y＝±1，
经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解．
当y＝1时，＝1，该方程无解；
当y＝－1时，＝－1，解得x＝－；
经检验，x＝－是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－；
(3)设＝a，＝b，则原方程组可化为
解得所以
所以
16．(应用意识&运算能力)阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b.又因为＝＝x＋－(a＋b)，所以关于x的方程x＋＝a＋b的解为x1＝a，x2＝b.
(1)理解应用：方程＝5＋的解为x1＝__5__，x2＝____；
(2)知识迁移：若关于x的方程x＋＝7的解为x1＝a，x2＝b，求a2＋b2的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程＝k－x的解为x1＝t＋1，x2＝t2＋2，求k2－4k＋4t3的值．
(1)因为x＋＝a＋b的解为x1＝a，x2＝b，
所以＝x＋＝5＋的解为x＝5或x＝；
(2)因为方程x＋＝7的解为x1＝a，x2＝b，
所以由题意，得a＋b＝7，ab＝3，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－6＝43；
(3)方程＝k－x可化为x－1＋＝k－1，
设y＝x－1，则方程变形为y＋＝k－1.
设y1，y2为方程y＋＝k－1的解，则y1·y2＝6，y1＋y2＝k－1，
y1＝x1－1，y2＝x2－1.
因为x1＝t＋1，x2＝t2＋2，
所以y1＝t＋1－1＝t，y2＝t2＋2－1＝t2＋1，
所以t(t2＋1)＝6，t＋t2＋1＝k－1，
所以k＝t＋t2＋2，t3＋t＝6，
所以k2－4k＋4t3＝k(k－4)＋4t3＝(t＋t2＋2)(t＋t2－2)＋4t3＝t4＋6t3＋t2－4＝t(t3＋t)＋6t3－4＝6t＋6t3－4＝6(t3＋t)－4＝6×6－4＝32.9．3 分式方程 第1课时 分式方程及解法
知识点1 分式方程的定义
1．下列方程属于分式方程的是( )
A.＋5＝0 B．＋2＝0
C．3x2＋x－3＝0 D．－x＝1
2．下列方程：(1)＝1；(2)＝2；(3)＝；(4)＋＝5，其中是分式方程的有( )
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(3)(4) D．(2)(3)(4)
知识点2 分式方程的解与增根
3．(广西北海月考)方程＝的解为( )
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝－2 D．x＝1
4．已知关于x的方程＝的解是x＝－2，则a的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
5．若分式方程＝2－有增根，则m的值为( )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
知识点3 分式方程的解法
6．(广西桂林期末)解分式方程－2＝时，去分母正确的是( )
A．1－2(x－2)＝1＋x
B．1－2(x－2)＝－1＋x
C．1－2(x－2)＝－1－x
D．－1＋2(2－x)＝1＋x
7．定义新运算：a b＝，则方程x?2＝2的解为__ __．
8．当x＝__ __时，分式的值为1.
易错易混点 混淆分式方程有增根与无解的区别
9．若关于x的方程＝＋1无解，求a的值．
10．(广西崇左模拟)关于x的方程x＋＝a＋的两个解为x1＝a，x2＝，x＋＝a＋的两个解为x1＝a，x2＝；x＋＝a＋的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x＋＝a＋的两个解为( )
A．x1＝a，x2＝ B．x1＝a，x2＝
C．x1＝a，x2＝ D．x1＝a，x2＝
11．(广西贵港模拟)若关于x的方程－＝0的解为负数，则m的取值范围是( )
A．m＜2 B．m＜2且m≠0
C．m＞2 D．m＞2且m≠4
12．(广西柳州模拟)观察分析下列方程：①x＋＝3；②x＋＝5；③x＋＝7，请利用它们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是__ __．
13．定义：a*b＝.
解方程：2*(x＋3)＝1*(2x).
14．(广西梧州模拟)已知关于x的分式方程＋＝.
(1)若方程的增根为x＝1，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
【母题P117T1】 解方程：
(1)＝；
(2)1－＝.
【变式1】 解方程：
(1)＋＝；
(2)＋＝.
【变式2】 若关于x的分式方程＋＝1无解，求m的值．
15．(应用意识&运算能力)阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，
解得y＝±2，
经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解，所以当y＝2时，＝2，解得x＝－1，
当y＝－2时，＝－2，解得x＝，经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－1或x＝.上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为__ __；
(2)利用上述方法解方程：－＝0；
(3)模仿上述换元法解方程组：
16．(应用意识&运算能力)阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b.又因为＝＝x＋－(a＋b)，所以关于x的方程x＋＝a＋b的解为x1＝a，x2＝b.
(1)理解应用：方程＝5＋的解为x1＝__ __，x2＝__ __；
(2)知识迁移：若关于x的方程x＋＝7的解为x1＝a，x2＝b，求a2＋b2的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程＝k－x的解为x1＝t＋1，x2＝t2＋2，求k2－4k＋4t3的值．
