10．1 相交线 第1课时 对顶角
知识点1 相交线
1．(广西贺州月考)下列图形满足“直线l1与直线l2相交，点M既在直线l1，又在直线l2上”的是( C )
2．下图中，能相交的是( A )
知识点2 对顶角
3．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是( C )
4．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( C )
知识点3 对顶角的性质
5．(广西柳州模拟)如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝66°，则∠BOD
的度数是( B )
A．55° B．66°
C．77° D．88°
易错易混点 忽视图形中的条件出错
6．(广西崇左期末)观察以下图形，寻找对顶角及邻补角.
(1)图(1)中共有__2__对对顶角，__4__对邻补角；
(2)图(2)中共有__6__对对顶角，__12__对邻补角；
(3)图(3)中共有__12__对对顶角，__24__对邻补角；
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若n条直线相交于一点，则可形成__n(n－1)__对对顶角，__2n(n－1)__对邻补角；
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
(5)若100条直线相交于一点，则可形成9 900对对顶角，19 800对邻补角．
7．(广西防城港期末)随着科技的发展，在公共区域内安装“360°智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点Q是图形内任意一点，点P1是图形内的点，连接P1Q，若线段P1Q总是在图形内或图形上，则称P1是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而P2不是“完美观测点”．如图2，以下各点是完美观测点的是( D )
A．M1 B．M2
C．M3 D．M4
如图．由题意，知虚线上及其内部的点都是“完美观测点”．
因为点M4在虚线上，所以点M4是“完美观测点”．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC∶∠AOD＝1∶3，则∠BOD的度数是( A )
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
因为直线AB，CD相交于点O，所以∠AOC＝∠BOD，∠AOC＋∠AOD＝180°.因为∠AOC∶∠AOD＝1∶3，所以∠AOD＝3∠AOC，所以∠AOC＋3∠AOC＝180°，所以∠AOC＝45°，所以∠BOD＝45°.
9．如图：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多是__45__．
2条直线相交，最多有1个交点.3条直线相交，最多有3个交点，即1＋2＝3；4条直线相交，最多有6个交点，即1＋2＋3＝6；5条直线相交，最多有10个交点，即1＋2＋3＋4＝10；…；10条直线相交，最多有45个交点，即1＋2＋3＋4＋…＋7＋8＋9＝45.
10．(广西柳州期末)如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角∠AOB的度数，但人站在墙外，无法直接测量．
甲、乙两名同学提供了间接测量方案：
方案Ⅰ：①延长AO到点C； ②测得∠COB的度数； ③再利用180°－∠COB的度数可得∠AOB的度数． 方案Ⅱ：①延长AO到C，BO到点D， ②测得∠COD的度数， ③根据∠AOB＝∠COD即可得到∠AOB的度数.
请问哪位同学的方案可行？
因为∠AOC＝180°，即∠COB＋∠AOB＝180°，所以∠AOB＝180°－∠COB，所以方案Ⅰ可行；因为∠AOB与∠COD是对顶角，所以∠AOB＝∠COD，所以方案Ⅱ可行．
【母题P129T2】 如图，两条直线相交，∠1＝35°，求∠2和∠3的度数．
因为∠1＝35°，∠1＋∠3＝180°，
所以∠2＝∠1＝35°，∠3＝180°－∠1＝145°.
【变式1】 如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，求∠3的度数．
因为∠1＝32°，∠2＝48°，
所以∠4＝180°－∠1－∠2＝100°，
所以∠3＝∠4＝100°.
【变式2】 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠AOC＝50°，求∠BOE的度数.
因为∠AOC＝50°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠AOD＝65°，所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－65°＝115°.
11．(运算能力)直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．
(1)因为∠DOF＝90°，∠BOD＝68°，
所以∠BOF＝∠DOF－∠BOD＝90°－68°＝22°.
因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠BOD＝34°，
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝22°＋34°＝56°；
(2)因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝∠DOE＝∠BOD，
所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－∠BOD.
因为OF平分∠COE，所以∠EOF＝∠COE＝(180°－∠BOD)＝90°－∠BOD.
因为∠BOF＝∠EOF－∠BOE，
所以90°－∠BOD－∠BOD＝30°，所以∠BOD＝80°.
12．(运算能力)已知：如图1，三条线段B1C2，B2C3，B3C1两两相交于点A1，A2，A3.
(1)求∠B1，∠C1，∠B2，∠C2，∠B3，∠C3的度数之和；
(2)如图2，四条线段两两相交于点A1，A2，A3，A4，求：∠B1，∠C1，∠B2，∠C2，∠B3，∠C3，∠B4，∠C4的度数之和；
(3)猜想：类比图1、图2的画法，n条线段两两相交于点A1，A2，A3，A4…An，那么∠B1＋∠C1＋∠B2＋∠C2＋…＋∠Bn＋∠Cn＝__360°__．
(1)因为∠B1A1C1＝∠A2A1A3，∠B2A2C2＝∠A1A2A3，∠B3A3C3＝∠A1A3A2，∠A1A2A3＋∠A2A1A3＋∠A1A3A2＝180，∠B1A1C1＋∠B1＋∠C1＝180°＝∠B2A2C2＋∠B2＋∠C2＝∠B3A3C3＋∠B3＋∠C3，
所以∠B1＋∠C1＋∠B2＋∠C2＋∠B3＋∠C3
＝180°×3－(∠B1A1C1＋∠B2A2C2＋∠B3A3C3)
＝180°×3－180°
＝360°；
(2)同(1)可知，
∠B1＋∠C1＋∠B2＋∠C2＋∠B3＋∠C3＋∠B4＋∠C4
＝180°×4－(∠B1A1C1＋∠B2A2C2＋∠B3A3C3＋∠B4A4C4)
＝180°×4－180°×2
＝360°；
(3)同(1)可知，
∠B1＋∠C1＋∠B2＋∠C2＋…＋∠Bn＋∠Cn
＝180°×n－180°×(n－2)
＝360°.10．1 相交线 第1课时 对顶角
知识点1 相交线
1．(广西贺州月考)下列图形满足“直线l1与直线l2相交，点M既在直线l1，又在直线l2上”的是( )
2．下图中，能相交的是( )
知识点2 对顶角
3．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是( )
4．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
知识点3 对顶角的性质
5．(广西柳州模拟)如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝66°，则∠BOD
的度数是( )
A．55° B．66°
C．77° D．88°
易错易混点 忽视图形中的条件出错
6．(广西崇左期末)观察以下图形，寻找对顶角及邻补角.
(1)图(1)中共有__ __对对顶角，__ __对邻补角；
(2)图(2)中共有__ __对对顶角，__ __对邻补角；
(3)图(3)中共有__ __对对顶角，__ __对邻补角；
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若n条直线相交于一点，则可形成__ __对对顶角，__ __对邻补角；
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
7．(广西防城港期末)随着科技的发展，在公共区域内安装“360°智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点Q是图形内任意一点，点P1是图形内的点，连接P1Q，若线段P1Q总是在图形内或图形上，则称P1是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而P2不是“完美观测点”．如图2，以下各点是完美观测点的是( )
A．M1 B．M2
C．M3 D．M4
8．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC∶∠AOD＝1∶3，则∠BOD的度数是( )
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
9．如图：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多是__ __．
10．(广西柳州期末)如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角∠AOB的度数，但人站在墙外，无法直接测量．
甲、乙两名同学提供了间接测量方案：
方案Ⅰ：①延长AO到点C； ②测得∠COB的度数； ③再利用180°－∠COB的度数可得∠AOB的度数． 方案Ⅱ：①延长AO到C，BO到点D， ②测得∠COD的度数， ③根据∠AOB＝∠COD即可得到∠AOB的度数.
请问哪位同学的方案可行？
【母题P129T2】 如图，两条直线相交，∠1＝35°，求∠2和∠3的度数．
【变式1】 如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，求∠3的度数．
【变式2】 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠AOC＝50°，求∠BOE的度数.
11．(运算能力)直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．
12．(运算能力)已知：如图1，三条线段B1C2，B2C3，B3C1两两相交于点A1，A2，A3.
(1)求∠B1，∠C1，∠B2，∠C2，∠B3，∠C3的度数之和；
(2)如图2，四条线段两两相交于点A1，A2，A3，A4，求：∠B1，∠C1，∠B2，∠C2，∠B3，∠C3，∠B4，∠C4的度数之和；
(3)猜想：类比图1、图2的画法，n条线段两两相交于点A1，A2，A3，A4…An，那么∠B1＋∠C1＋∠B2＋∠C2＋…＋∠Bn＋∠Cn＝__ __．
