9．3 分式方程 第2课时 分式方程的应用
知识点 列方程解应用题
1．(四川达州中考)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为( )
A.－＝30 B．－＝30
C．－＝ D．－＝
2．(四川巴中中考)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60 km，一部分学生乘慢车先行0.5 h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为( )
A．－＝ B．－＝
C．－＝ D．－＝
3．(四川广元中考)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是( )
A．－50＝ B．－50＝
C．＋50＝ D．＋50＝
4．(黑龙江绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为( )
A．5 km/h B．6 km/h
C．7 km/h D．8 km/h
5．(山东东营中考)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3.设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为__ __.
6．现有一项工程，甲单独做需要21天完成，甲、乙合作需要12天完成，如果乙单独做需要__ __天完成．
易错易混点 忽略应用题检验时分式方程的根的实
际意义
7．(山东泰安中考)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间．某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品．已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
8．(内蒙古中考)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( )
A．60，30 B．90，120
C．60，90 D．90，60
9．(内蒙古呼和浩特中考)2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2 400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2 200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为__ __元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”的售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为__ _ __元.
10．(广西北海月考)随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3 000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，______________，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？
根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是__ __.
解：设原计划平均每天制作x个，根据题意，得＝＋5.
11．某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检3 km，A型机器人巡检75 km所用时间与B型机器人巡检60 km所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路__ __km.
12．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级数是甲的2倍)，他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为__ __.
13．(广西桂林模拟)为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【母题P119练习T3】 甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，甲生产168个零件与乙生产144个零件所用的时间相同，问甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
【变式1】 (黑龙江大庆中考)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)：7：00－23：00，用电低谷时段(简称谷时)：23：00－次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【变式2】 (四川雅安中考)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
14．(应用意识&运算能力)在某市“创卫攻坚”行动中，某社区计划对面积为3 600 m2的区域进行绿化改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成的绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．若甲队每天绿化的费用是1.2万元，乙队每天绿化的费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？9．3 分式方程 第2课时 分式方程的应用
知识点 列方程解应用题
1．(四川达州中考)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为( D )
A.－＝30 B．－＝30
C．－＝ D．－＝
因为设乙每小时加工x个零件，所以甲每小时加工1.2x个零件．根据题意，得－＝.
2．(四川巴中中考)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60 km，一部分学生乘慢车先行0.5 h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为( A )
A．－＝ B．－＝
C．－＝ D．－＝
因为设慢车的速度为x km/h，所以快车的速度为(x＋20) km/h.根据题意，可得－＝.
3．(四川广元中考)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是( C )
A．－50＝ B．－50＝
C．＋50＝ D．＋50＝
因为A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，所以A种绿植单价是3x元．根据题意，得＋50＝.
4．(黑龙江绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为( D )
A．5 km/h B．6 km/h
C．7 km/h D．8 km/h
设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为(40＋x)km/h，沿江逆流航行的速度为(40－x) km/h，根据题意，得＝，解得x＝8，所以江水的流速为8 km/h.
5．(山东东营中考)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3.设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为__－＝3__.
因为该市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，且该市去年居民用水价格为x元/米3，所以该市今年居民用水价格为(1＋)x元/米3.根据题意，得－＝3.
6．现有一项工程，甲单独做需要21天完成，甲、乙合作需要12天完成，如果乙单独做需要__28__天完成．
设乙单独做需x天完成．根据题意，得(＋)×12＝1，解得x＝28，经检验，x＝28是原方程的根，且符合题意，所以乙单独做需要28天完成．
易错易混点 忽略应用题检验时分式方程的根的实
际意义
7．(山东泰安中考)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间．某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品．已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人．根据题意，得＝×1.2，解得x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
所以35－x＝35－20＝15.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
8．(内蒙古中考)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( D )
A．60，30 B．90，120
C．60，90 D．90，60
设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运(x＋30)千克化工原料．根据题意，得＝，解得x＝60，经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，所以x＋30＝60＋30＝90，所以A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料.
9．(内蒙古呼和浩特中考)2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2 400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2 200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为__55__元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”的售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为__1_260__元.
设小号“龙辰辰”的单价为x元，则大号“龙辰辰”的单价为(x＋15)元．根据题意，得＝1.5×，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，所以x＋15＝55，即大号“龙辰辰”的单价为55元．设该网店购进大号“龙辰辰”m个，则购进小号“龙辰辰”(60－m)个，由题，知010．(广西北海月考)随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3 000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，______________，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？
根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是__实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍__.
解：设原计划平均每天制作x个，根据题意，得＝＋5.
因为设原计划平均每天制作x个摆件，由＝＋5，知横线处空缺的条件应是实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍．
11．某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检3 km，A型机器人巡检75 km所用时间与B型机器人巡检60 km所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路__15__km.
设A型机器人每小时巡检线路x km，则B型机器人每小时巡检线路(x－3) km.由题意，得＝，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，故A型机器人每小时巡检线路15 km.
12．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级数是甲的2倍)，他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为__84__.
设电梯上行在单位时间内上升v级，单位时间内甲登楼级数为a级，由题意，列方程，得60＋·v＝70＋·v，解得＝，所以楼下到楼上自动扶梯级数为60＋·v＝60＋60×＝84(级).
13．(广西桂林模拟)为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x＋40)吨垃圾．
根据题意，得＝，解得x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
【母题P119练习T3】 甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，甲生产168个零件与乙生产144个零件所用的时间相同，问甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
设乙每时生产x个零件，则甲每时生产(x＋8)个零件．
根据题意，得＝，解得x＝48，
经检验，x＝48是原方程的解，且符合题意．
x＋8＝48＋8＝56.
答：甲每时生产56个零件，乙每时生产48个零件.
【变式1】 (黑龙江大庆中考)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)：7：00－23：00，用电低谷时段(简称谷时)：23：00－次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为(x＋0.2)元/度．
根据题意，得＝，解得x＝0.3，
经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元/度．
【变式2】 (四川雅安中考)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1＋25%)x＝1.25x米．
根据题意，得＋15＝，解得x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
所以1.25x＝50，则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工．由(1)知原计划施工天数为3 000÷40＝75(天)，
根据题意，得300×75y≤180 000，解得y≤8，
所以不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
14．(应用意识&运算能力)在某市“创卫攻坚”行动中，某社区计划对面积为3 600 m2的区域进行绿化改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成的绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．若甲队每天绿化的费用是1.2万元，乙队每天绿化的费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2，则甲工程每天能完成绿化的面积是2x m2.
根据题意，得－＝6，解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100(m2)，
设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务．
由题意，得100a＋50b＝3 600，则a＝＝－b＋36.
根据题意，得1.2a＋0.5b≤40，
所以1.2×(－b＋36)＋0.5b≤40，
解得b≥32，即至少应安排乙工程队绿化32天．
